第5章 代数系统-2

定理5.2.2 设*是S中的二元代数运算且 r与θl分别是 关于“*” 中的二元代数运算且θ 分别是S关于 ” 关于“ 定理 是 中的二元代数运算且 的右零元和左零元， 的右零元和左零元，则 θr=θl=θ,使对任意元素 ∈S有 使对任意元素x∈ 有 x*θ=θ*x=θ，即元素θ是S中关于运算 的零元且是唯一的。 ，即元素 是 中关于运算 的零元且是唯一的。 中关于运算*的零元且是唯一的 因为θ 分别是S关于 关于“ ”的右零元和左零元， 证明 因为 r和θl分别是 关于“*”的右零元和左零元，故有 θl*θr=θl，θl*θr=θr，所以 r=θl。 所以θ 令其为θ， 令其为 ，有 x*θ=θ*x=θ,所以 为S关于“*”的零元 所以θ为 关于 关于“ ”的零元. 所以 设另有一零元θ′， 设另有一零元 ，那么 θ=θ*θ′=θ′ 关于“ ”运算的唯一零元。 故θ是S关于“*”运算的唯一零元。 证毕 是 关于 同样，需强调零元是针对于哪个运算的。 同样，需强调零元是针对于哪个运算的。
是集合， 的幂集2 【例5.2.2】 设A是集合，在A的幂集 A上的二元代 】 是集合 的幂集 数运算并∪ 满足交换律、 数运算并∪、交∩满足交换律、结合律、吸收律、 满足交换律 结合律、吸收律、 幂等律且彼此满足分配律。 幂等律且彼此满足分配律。 【 例 5.2.3】 设 A={a,b}, A上的运算“ *”、 “ 。 ” 上的运算“ ” 】 上的运算 分别如表5.2.1、5.2.2所示。 、 所示。 分别如表 所示
5.2 二元运算
5.2.1 二元运算的性质 二元运算的性质 5.2.2 集合中关于二元代数运算的特殊元素 5.2.3 利用运算表判断代数运算的性质
5.2.1 二元运算的性质 二元运算的性质 定义5.2.1 设“*”，“。”均为集合 上的二元运 均为集合S上的二元运 定义 ” 算。
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∀ ∀
（1）若xy z(x,y,z∈S→x*(y*z)=(x*y)*z)，则称 ） ∈ ， “*”运算满足结合律。 ”运算满足结合律。 ∀ ∀ （2）若xy(x,y∈S→x*y=y*x)，则称 “*”运算 ） ∈ ， 则称“ ” 满足交换律 。
（1） b。(a*b)=b。b=b ）
(b。a)*(b。b)=a*b=b
（2） a。(a*b)=a。b=a , (a。a)*(a。b)=a*a=a ） b。(a*a)=b。a=a , (b。a)*(b。a)=a*a=a b。(b*b)=b。a=a , (b。b)*(b。b)=b*b=a a。(a*a)=a。a=a , (a。a)*(a。a)=a*a=a a。(b*b)=a。a=a , (a。b)*(a。b)=a*a=a
表 5.2.1
* a b
a a b
b b a
从“*”运算表可知，“*”是可交换的。因为 ”运算表可知， ”是可交换的。 (a*a)*b=a*b=b a*(a*b)=a*b=b (a*b)*b=b*b=a a*(b*b)=a*a=a 所以“*”是可结合的。 所以“ ”是可结合的。
表 5.2.2
【例5.2.1】 加法、乘法运算是自然数集上的 】 加法、 二元代数运算，减法和除法便不是。 二元代数运算，减法和除法便不是。但是减法是 有理数集、实数集上的二元运算，除法却仍不是。 有理数集、实数集上的二元运算，除法却仍不是。 加法、乘法满足结合律、交换律，乘法对加法、 加法、乘法满足结合律、交换律，乘法对加法、 减法满足分配律，但减法不满足这些定律。 减法满足分配律，但减法不满足这些定律。加法 "+"对乘法 。"运算不满足分配律。 对乘法"。 运算不满足分配律。 对乘法 运算不满足分配律
∀ （4）设“*”，“。”均可交换，若x，y∈A,有 ） ” 均可交换， ∈ 有 ∀ ，
x*(x。y)=x 。 x。(x*y)=x 。 则称运算“*”和“。”运算满足吸收律。 运算满足吸收律。 则称运算“ ” （5） 若 ∀x∈A，x*x=x,则称“*”运算满足幂等律 。 ） ∈ ， 则称“ ” 则称
【例5.2.6】 设S＝｛a，b，c｝,S上*运算由运算表 】 ＝ ， ， ｝ 上 运算由运算表 (如表 如表5.2.3所示 确定，那么 是右零元，a是幺元。 所示)确定 是右零元， 是幺元。 如表 所示 确定，那么b是右零元 是幺元 我们注意到，关于同一运算可能同时有幺元和零元， 我们注意到，关于同一运算可能同时有幺元和零元，甚 至可能有这样的元素，它关于同一运算既是左（ 至可能有这样的元素，它关于同一运算既是左（右）幺元， 幺元， 又是右（ 第一行（ 又是右（左）零元，例如表5.2.3第一行（不计表头）改为三 零元，例如表 第一行 不计表头） 和右幺元a。 个a时，那么“*”运算有左零元 和右幺元 。 时 那么“ ”运算有左零元a和右幺元 表 5.2.3 * a b c a a b c b b b b c c c b
∗
中的一种二元代数运算， ”是集合S中的一种二元代数运算，对任意 是集合 中的一种二元代数运算
定理5.2.1 设*是S中的二元代数运算 且er与el分别是 对于“*”的 中的二元代数运算,且 分别是S对于 ” 对于“ 定理 是 中的二元代数运算 右 幺元和左幺元， 幺元和左幺元，则er=el=e,使对任意元素 ∈S有x*e=e*x=x， 使对任意元素x∈ 有 ， 即元素e为S关于运算“*”的幺元且 关于运算“*”的幺元是唯一 关于运算“ ”的幺元且S关于运算 ” 关于运算“ 即元素 为 关于运算 的。 因为e 分别是*的右幺元和左幺元 的右幺元和左幺元， 证明 因为 r和el分别是 的右幺元和左幺元，故有 el*er=el，el*er=er，所以er=el， 所以 令其为e， 令其为 ，有 , x*e=e*x=x 设另有一幺元为e′， 设另有一幺元为 ，那么 e=e*e′=e′
∀x ∈ S
运算， 是幺元 是幺元； 【例5.2.4】 在实数集 中，对加法 】 在实数集R中 对加法"+"运算，0是幺元； 运算 在实数集 R 中，对乘法"×"运算，1是幺元； 对乘法 × 运算， 是幺元； 运算 是幺元 对于全集E的子集的并 ∪ 运算 是幺元； 运算， 对于全集 的子集的并"∪"运算，∅ 是幺元； 的子集的并 对于全集E的子集的交 运算， 是幺元 是幺元; 对于全集 的子集的交"∩"运算，E是幺元 的子集的交 运算 在命题集合中，对于吸取 ∨ 运算 矛盾式是幺元； 运算， 在命题集合中，对于吸取"∨"运算，矛盾式是幺元； 在命题集合中，对于合取 ∧ 运算 重言式是幺元； 运算， 在命题集合中，对于合取"∧"运算，重言式是幺元； 运算， 是幺元。 在AA={f | f : A→A}中，对于复合"。"运算，IA是幺元。 中 对于复合 运算 强调:幺元是针对于哪个运算的。 强调 幺元是针对于哪个运算的。 幺元是针对于哪个运算的
定理5.2.3 设*是S上的二元代数运算 e为幺元， 上的二元代数运算, 为幺元， 定理 是 上的二元代数运算 为幺元 θ为零元，并且|S|≥2，那么 为零元，并且 为零元 ，那么θ≠e 。 证明:用反证法 设 证明 用反证法.设θ=e，则对任意 ∈S，有 用反证法 ，则对任意a∈ ， θ＝θ*a＝e*a＝a ＝ ＝ ＝ 矛盾， 得证。 与|S|≥2矛盾，故θ≠e得证。 矛盾 得证
2．零元
定义5.2.3 设“*”是集合 中的一种二元代数运算，对任 中的一种二元代数运算， 定义 ”是集合S中的一种二元代数运算 意元素x∈ 意元素 ∈S, (1)如果存在元素 l ∈S, 使 θl *x= θl ，则称元素 l 为S关于 如果存在元素θ 则称元素θ 如果存在元素 关于 运算“ ”的左零元。 运算“*”的左零元。 (2)如果存在元素θ S,使 (2)如果存在元素θr ∈S,使 x*θr =θr ，则称元素θr 为S关于 则称元素θ S关于 如果存在元素 运算“ ”的右零元。 运算“*”的右零元。 (3)如果存在元素 ∈S,使 x*θ=θ*x=θ，则称元素 为S关于 如果存在元素θ∈ 使 如果存在元素 ，则称元素θ为 关于 运算“ ” 运算“*”的零元 。
。
a a a
b a b
a b
运算表可知， 是可交换的。 从“。”运算表可知， “。”是可交换的。因为 (a。a)。b=a。b=a 。 。 。 (a。b)。b=a。b=a 。 。 。 所以“ 所以“。”是可结合的。 是可结合的。 a。(a。b)=a。a=a 。 。 。 a。(b。b)=a。b=a 。 。 。
【例5.2.5】 】 在实数集 R 中，对加法“+”运算，没有零元； 对加法“ 运算，没有零元； 运算 对乘法"× 运算 运算， 是零元 是零元； 在实数集 R 中，对乘法 ×"运算，0是零元； 对于全集E的子集的并 ∪ 运算 运算， 是零元 是零元； 对于全集 的子集的并"∪"运算，E是零元； 的子集的并 对于全集E的子集的交 运算， 是零元; 对于全集 的子集的交"∩"运算，是零元 的子集的交 运算 在命题集合中，对于吸取“ 运算， 在命题集合中 ， 对于吸取 “ ∨"运算，重言式是零元； 运算 重言式是零元； ∅ 在命题集合中，对于合取"∧"运算，矛盾式是零元。 在命题集合中，对于合取 ∧ 运算， 运算
3．元素的逆元 ．
定义5.2.4 设*是集合 中的一种二元代数运算，且e为S关于 是集合S中的一种二元代数运算 定义 是集合 中的一种二元代数运算， 为 关于
中的元素a, “*”的幺元，对S中的元素 ”的幺元， 中的元素 则称a关于 ” 关于“ (1)如果存在元素 l-1∈S, 使 a l-1 * a = e ，则称 关于“*”是左 如果存在元素a 如果存在元素 可逆的,且称元素 l-1为a(关于运算“*”的)左逆元。 关于运算“ ” 左逆元 左逆元。 可逆的 且称元素a 且称元素 关于运算 (2)如果存在元素 r-1 ∈S,使 a * a r-1 =e ，则称 关于“*”是右 如果存在元素a 则称a关于 关于“ ” 如果存在元素 使 可逆的,且称元素 关于运算“ ” 右逆元 右逆元。 可逆的 且称元素a r-1为a(关于运算“*”的)右逆元。 且称元素 关于运算 (3)如果存在元素 -1 ∈S,使 a * a -1 = a -1 * a =e，则称 关于“*” 如果存在元素a 关于“ 如果存在元素 使 ，则称a关于 ” 是可逆的,且称元素 关于运算“ ” 逆元 逆元。 是可逆的 且称元素a -1为a(关于运算“*”的)逆元。 且称元素 关于运算
（3）若xyz ） ∀ ∀ ∀ (x, y, z∈S→x*(y。z)=(x*y)。(x* z))， ∈ 。 ， 则称“ ”运算对“ 运算满足左分配律； 则称“*”运算对“。”运算满足左分配律； 若xy z ∀ ∀ ∀ (x, y, z∈S→(y。z)*x=(y*x)。(z*x))， ∈ 。 。 ， 则称“ ”运算对“ 运算满足右分配律。 则称“*”运算对“。”运算满足右分配律。 若二者均成立，则称“*”运算对“。”运算满足分 若二者均成立，则称“ ”运算对“ 配律。 配律。
所以“ 所以“。”对“*”是可分配的。 ”是可分配的。 运算满足交换律成立， （由于“。”运算满足交换律成立， 由于“ 因此右分配也成立。 因此右分配也成立。）
（3）b *(a。b)=b *a=b ）
(b*a)。(b *b)=b。a=a
是不可分配的。 故“*”对“。”是不可分配的。 ” 又由b*(b。b)=b*a=a可知“ 。 ” 和 “ *”不 。 可知“ 又由 可知 ” 满足吸收律。 由运算表可知， 满足吸收律 。 由运算表可知 ， “ 。 ” 满足幂等 律，而“*”不满足幂等律。 ”不满足幂等律。 下面我们来定义与集合A中的二元运算有关 下面我们来定义与集合 中的二元运算有关 的集合A中的特异元素。 的集合 中的特异元素。 中的特异元素
5.2.2 集合中关于二元代数运算的特殊元素 １．单位元（或幺元） 单位元（或幺元）
定义5.2.2 设“ 定义 元素x∈ 元素 ∈S, (1)如果存在元素 l∈S, 使 el*x=x，则称元素 l 为S关于运算“*” 如果存在元素e 关于运算“ ” 如果存在元素 ，则称元素e 关于运算 的左幺元或左单位元。 的左幺元或左单位元。 (2)如果存在元素 r∈S,使 x*er=x，则称元素 r为S关于运算“*” 如果存在元素e 关于运算“ ” 如果存在元素 使 ，则称元素e 关于运算 的右幺元或右单位元。 的右幺元或右单位元。 (3)如果存在元素 ∈S,使 x*e= e*x= x，则称元素 为S关于运算 如果存在元素e∈ 使 如果存在元素 ，则称元素e为 关于运算 “*”的幺元或单位元 。 ”