第4章_投资组合的选择

资本配置线与无差异曲线的切点为最优投 资组合的标准差和期望收益
投资于风险资产的比例：
可见，风险态度决定风险资产的配置比例
练习

一个投资组合的期望收益率是0.15， 标准差是0.15，无风险利率是6%，根 据效用函数，A取何值时风险资产和无 风险资产组合之间无差异？（A=8）
两个风险资产的组合
期限短，违约风险和信用风险基本不存在； 如：短期国库券 系统性风险与非系统性风险
一个无风险资产与一个风险资产 的组合

假设投资者投资到风险资产的财富比例为 w，投资到无风险资产的财富比例为1-w， 则投资组合的期望收益和标准差可以写成 如下形式：
E (r c ) wE ( rp ) (1 w) r f , p ) rf ] rf w[ E (r
2 2 2 S 2 2 B
w (1 w) 2w(1 w) S , B S B
2 2 S 2 2 B
风险与回报率：选择有效投资组 合

考虑英特尔和可口可乐公司，英特尔在9604年均回报率为25.6%，波动率为48%，同 期可口可乐公司的年均回报率为6.3%，波 动率为27%，并且两公司相关系数为0
两个风险资产
两个风险资产


当市场中存在两个风险资产时，供投资者 选择的有效资产组合就是上图中的双曲线 上半部分的效率边界。随着无差异曲线向 左上方移动，两者相切的切点即为最优资 产组合。 不同投资者无差wk.baidu.com曲线的形状不同，与效 率边界的切点位置也不同。对于风险规避 程度较高的投资者而言，他们会选择效率 边界左侧、风险较低的资产组合。
风险容忍度与资产配置



投资者试图通过选择风险资产的最优配置w 使其效用最大化， 效用函数： 当风险配置增加（w增加），期望收益增加， 但收益的波动性（风险）也增加，因此效 用可能增加也可能减少。 风险资产的比例变化见图片
无差异曲线的构造



保证投资者获得的效用U不变 风险态度相同，上面的无差异曲线获得的 效用大 风险态度不同，高风险厌恶程度的投资者 的无差异曲线比低风险厌恶程度的投资者 的无差异曲线陡峭（期望用更多的期望收 益来补偿风险）
一个无风险资产与两个风险资 产的组合
我们容易发现，在所有资本配置线中，斜率最高的资本配置 线在相同标准水平下拥有最大的期望收益率，也即与风险资 产组合效率边界相切的一条线，我们称之为最优资本配置线， 相应的切点组合P0被称为最优风险资产组合。
最优风险组合中风险资产的权重
最优资产组合选择

对投资者的个人特征和行为准则做几个假定：
风险
r r 212 12
2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2
r r 212 1 2
E ( rp )
第4章 最优资产组合选择
经济与管理学院 王鹤
第一种情况：一种无风险资产和 一种风险资产的投资组合
（一）无风险资产
分离定理


分离定理（Separation Theorem）：当市场中存在无 风险资产和多个风险资产的时候，只要投资者是风险 规避者，不管他具体的效用函数如何，他们选择的风 险资产组合都是一样的，也就是无风险资产与效率边 界相切的P点。投资者的效用函数或者说风险规避程 度只决定了他持有的无风险资产和风险资产组合P的 比例。 根据这一定理，投资组合的选择过程可以分为两个阶 段：



Markowitz资产组合模型
1 min w 'Vw w 2 p s.t.w ' e E r w '1 1
其中，w是风险资产组合中各资产的权重构成
的向量；V为风险资产收益率的方差协方差矩 阵；e为风险资产组合中各资产期望收益率构 成的向量；1为单位向量。
Markowitz资产组合模型的求解


首先，投资者要根据各风险资产的期望收益、方差以及协方 差确定最优风险资产组合。 之后，投资者在确定了最优风险资产组合的基础上，根据自 身的风险规避程度确定投资在最有风险资产组合和无风险资 产上的比例，从而得到最终的最优资产组合。
马科维茨资产组合选择模型

Markowitz（1952）的资产选择模型考察的是存在 多个风险资产时，投资者最优资产组合的选择。 边界资产组合（Frontier Portfolio）：如果一个资 产组合在其期望收益相同的资产组合中拥有最小 的方差，我们就称其为边界资产组合，所有边界 资产组合构成的资产组合集构成一个投资组合边 界（Portfolio Frontier）。
股票
英特尔 可口可乐
期望回报率
26% 6%
波动率
50% 25%
股票见的相关系数 英特尔 1 0 可口可乐 0 1
风险与回报率：选择有效投资组 合
E R4060 xI E RI
xc E RC
风险与回报率：选择有效投资组 合
相关系数的影响
相关说明： 最小方差的投资组合（显示了投资分 散化的结果） 投资组合的可行集 表示了两个资产构造的所有期望收益 和标准差的组合，曲线说明分散化投资 是有意义的。 相关系数<1时，分散化投资带来的好 处，并且相关系数越小，好处越大
上节课内容回顾
收益的计算：
1、持有期收益率： 2、多期收益率的衡量
( Pt P0 ) Dt HPR P0
（1）算术平均法： HPR （2）几何平均法： 3、投资组合的收益率
HPR
i 1
n
i
1 n n n HPR (1 HPR i ) 1 i 1

Markowitz资产组合模型的假设

市场中存在N>=2个风险资产。每个资产的期望和方差是有 限的。 投资者是风险规避的，在收益相等情况下，投资者会选择 风险最低的投资组合。 投资期限为一期，在期初时，投资者按照效用最大化的原 则进行资产组合的选择。 市场是完善的，无交易成本，且风险资产可以无限细分， 投资者还可以对风险资产进行卖空操作。 投资者在最优资产组合的选择过程中，只关心风险资产的 均值、方差以及不同资产间的协方差。
R P W1R1 W2R 2 Wn R n
W 1。
i i 1
n
4、期望收益率
E(HPR) Pj HPR j Pj 1
j1 j1 n n
风险的计算（标准差法）：
σ2 Pj (HPR j HPR)2
j1 n
两个资产构成的资产组合： 收益
定义效用为收益率的均值和标准差的函数，即
, U U ( , ), 其中 E r

) Var (r


给定效用水平 U ，在期望值-标准差平面中 就是投资者的无差异曲线。 对于风险规避的投资者而言，期望收益的增加会 提高投资者效用水平，标准差或者风险水平的增 大则会降低效用水平，因此有：
两个风险资产的组合
两个风险资产的组合

在情形二和情形三中，我们可以根据最小 方差点将可行集分为两个部分：位于最小 方差点上方的部分（SE1和SE2）和位于最 小方差点下方的部分（E1B和E2B）。对于 风险规避的投资者而言，只会选择最小方 差点上方的资产组合，我们称这部分资产 组合为全部资产组合的效率边界（Efficient Frontier）
一个无风险资产和一个风险资 产
一个无风险资产和一个风险资 产


此时，投资组合可行集就是通过无风险资产和风 险资产的资本配置线。给定投资者的效用函数， 我们可以通过描述不同效用水平下的无差异曲线， 得到投资者的最优投资组合。 不同的投资者风险规避程度是不同的，因而在风 险和收益之间的权衡也存在差异，对于风险规避 程度较高的投资者而言，会将财富更多地投入到 无风险资产中，从而获得较低风险水平的资产组 合。
一个无风险资产与一个风险资产 的组合
一个无风险资产与一个风险资产 的组合

p rf E r
rf E r

p

在“期望收益-标准差”平面中对应着一条直线， 穿过无风险资产 rf 和风险资产r，我们称这条直
线 为 资 本 配 置 线 （ capital allocation line,
P右边的点是什么呢？ 借贷——资本配置线的扭曲

一般来讲，存款利率要低于贷款利率。如果把存款利率视 为无风险收益率，那么投资者的贷款利率就要高于无风险 利率。此时，资本配置线就变成一条折线。
练习
根据均值-方差，下面哪个投资组合忧于其 他投资组合？ A、收益0.15，方差0.2 B、收益0.1，方差0.2 C、收益0.1，方差0.25 D、收益0.15，方差0.25 E、收益0.12，方差0.35


投资分散化与组合风险 系统性风险与非系统性风险
两个风险资产的组合

假设市场中的资产是两个风险资产，例如一个股 票和一个公司债券，且投资到股票上的财富比例 为w，则投资组合的期望收益和标准差为：
p wE r S (1 w) E r B E r S , r B ) p w (1 w) 2w(1 w)Cov(r
U U 0, 0
不同市场环境下最优资产组合的 选择


在期望值-标准差平面中，无差异曲线就是一条 向右上倾斜的曲线，并且左上方的无差异曲线 代表的效用高水平要高于右下方无差异曲线的 效用水平。 给定投资者的效用函数 U U ( , ) ，当风险 和期望的边际替代率是递减的时候，无差异曲 线就是凸向原点的。
c w p c w p
一个无风险资产与一个风险资产 的组合

进而容易得到投资组合期望收益与标准差 之间的关系：
p rf E r rf E r
c
p

上式就是当市场中只有一个风险资产和一 个风险资产的时候，资产组合所有可能的 风险-收益集合，又称为投资组合可行集。
一个无风险资产与两个风险资 产的组合


假设两个资产的投资权重分为w1和w2，无风险资 产的投资权重为1-w1-w2。两个风险资产构成一 个风险资产组合，三个资产构成的投资组合可行 集等价于一个风险资产组合与一个无风险资产构 成的可行集。 随着w1和w2的变化，风险资产的期望收益和方差 并不是确定的值，而是不断变化的。给定w1和w2 的某一比例k，在期望收益-方差平面中就对应着 一个风险资产组合，该组合与无风险资产的连线 形成了一条资本配置线，这条资产配置线就是市 场中存在三个资产时的投资组合可行集合。
CAL）。

资本配置线的斜率等于资产组合每增加以单位 标准差所增加的期望收益，也即每单位额外风 险的额外收益。因此，我们有时候也将这一斜
率称为报酬与波动性比率（夏普比率）。
关于夏普比率



是基金绩效评价标准化指标 是一个可以同时对收益与风险加以综合考虑的三 大经典指标之一 如果夏普比率为正值，说明在衡量期内基金的平 均净值增长率超过了无风险利率，在以同期银行 存款利率作为无风险利率的情况下，说明投资基 金比银行存款要好。夏普比率越大，说明基金的 单位风险所获得的风险回报越高。夏普比率为负 时，按大小排序没有意义。



投资者都是风险规避的，即在收益相同的条 件下，投资者会选择风险最低的投资组合。 投资者在最有资产组合的选择中只关心资产 的均值、方差以及协方差。 最优资产组合就是使投资者效用达到最大的 资产组合，换句话说，投资者在资产组合的 选择过程中遵循效用最大化原则。
不同市场环境下最优资产组合的 选择


构造Lagrange函数
min
1 p w ' e 1 w '1 w 'Vw E r w, , 2
一个无风险资产和两个风险资 产
一个无风险资产和两个风险资产


当市场存在一个无风险和两个风险资产时，投资 者会在两个风险资产构成的风险资产组合和无风 险资产之间进行财富分配。 在所有通过无风险资产的资本配置线中，与效率 边界相切的资本配置线在相同风险水平下拥有最 大的期望收益，因此对于所有的投资者来说，他 们都会在这条资本配置线上进行最优资产组合的 选择。最优资产组合就是无差异曲线与资本配置 线相切的点。