抛物线经典例题

抛物线习题精选精讲

（1）抛物线——二次曲线的和谐线

椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.

【例1】P 为抛物线px y 22

=上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴（ ）

.A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 位置由P 确定

【解析】如图，抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫

⎪⎝⎭

，准线是 :2

p

l x =-

.作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么PF PH =， 且2p

QH OF ==.作MN ⊥y 轴于N 则MN 是梯形PQOF 的

中位线，()111

222MN OF PQ PH PF =+==.故以

PF 为直径的圆与y 轴相切，选B.

【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的.

（2）焦点弦——常考常新的亮点弦

有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.

【例2】 过抛物线()022

φp px y =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，求证：

（1）12AB x x p =++ （2）

p

BF AF 2

11=+ 【证明】（1）如图设抛物线的准线为l ，作

1AA l ⊥11111,2

p

A B

B l B AA x ⊥==+

于，则AF ， 122

p

BF BB x ==+.两式相加即得：

12AB x x p =++

（2）当AB ⊥x 轴时，有

AF BF p ==，

112

AF BF p

∴+=成立； 当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为：

2p y k x ⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭.代入抛物线方程：

l X

Y F

A(x,y)11

B(x,y)

22

A 1

B 1l

2

2

22p k x px ⎛⎫-= ⎪⎝

⎭.化简得：()()2222

22014p k x p k x k -++=

∵方程（1）之二根为x 1，x 2，∴12

24

k x x ⋅=.

()1221112

1212111111

2224x x p p p

p p AF BF AA BB x x x x x x +++=+=+=

+++++ ()()121222

12122

2424

x x p x x p p p p p

p x x p x x ++++=

==+++++

. 故不论弦AB 与x 轴是否垂直，恒有

p

BF AF 2

11=+成立.

（3）切线——抛物线与函数有缘

有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.

【例3】证明：过抛物线2

2y px =上一点M （x 0，y 0）的切线方程是：y 0y=p （x+x 0）

【证明】对方程2

2y px =两边取导数：22.p

y y p y y

''⋅=∴=，

切线的斜率 0

0x x p k y y ='

==

.由点斜式方程：()()2000000

1p y y x x y y px px y y -=-⇒=-+

2

0021y px =Q ，代入（）即得： y 0y=p （x+x 0）

（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏

抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.

例如：1.一动圆的圆心在抛物线x y 82

=上，且动圆恒与直线02=+x 相切，则此动圆必过定点 （ ）

()()()().4,0.2,0.0,2.0,2A B C D -

显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B. 2.抛物线2

2y px =的通径长为2p ；

3.设抛物线2

2y px =过焦点的弦两端分别为()()1122,,,A x y B x y ，那么：212y y p =-

以下再举一例

【例4】设抛物线2

2y px =的焦点弦AB 在其准线上的射影是A 1B 1，证明：以A 1B 1为直径的圆必过一定点

【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A 1B 1=AB=2p ，而A 1B 1与AB 的距离为p ，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB 的一般情形给于证明.

【证明】如图设焦点两端分别为()()1122,,,A x y B x y ，

那么：22

121112.y y p CA CB y y p =-⇒⋅==

设抛物线的准线交x 轴于C ，那么.CF p =

2

111111.90A FB CF

CA CB A FB ∴∆=⋅∠=︒中故.

这就说明：以A 1B 1为直径的圆必过该抛物线的焦点.

● 通法 特法 妙法

（1）解析法——为对称问题解困排难 解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）. 【例5】（07.四川文科卷.10题）已知抛物线

y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点

A 、

B ，则|AB|等于（ ）

A.3

B.4

C.32

D.42

【分析】直线AB 必与直线x+y=0垂直，且线段 AB 的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.

【解析】∵点A 、B 关于直线x+y=0对称，∴设直线AB 的方程

为：y x m =+.

由()22

3013

y x m

x x m y x =+⎧⇒++-=⎨=-+⎩

设方程（1）之两根为x 1，x 2，则121x x +=-. 设AB 的中点为M （x 0，y 0），则120122x x x +=

=-.代入x+y=0：y 0=12.故有11,22M ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

. 从而1m y x =-=.直线AB 的方程为：1y x =+.方程（1）成为：2

20x x +-=.解得：

2,1x =-，从而1,2y =-，故得：A （-2，-1），B （1，2）

.AB ∴=，选C.

（2）几何法——为解析法添彩扬威

虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.

【例6】（07.全国1卷.11题）抛物线2

4y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F

的直线与抛

X

Y

A

B F

A 1

B 1

1

M C X

O

Y A

B

M

l x y +=ÿ