数列递推规律

递推数列是数列推理中较为复杂的一类数列。其推理规律变化多样，使得很多考生不易察觉和掌握。要想掌握递推数列的解题方法，需要从两个方面入手。一是要清楚递推数列的“鼻祖”，即最典型、最基础的递推数列;二是要明确递推规律的变化方式。

(一)递推数列的“鼻祖”

1，1，2，3，5，8，13，21……

写出这个数列之后，有不少考生似曾相识。其中有一些考生知道，这个数列被称为“斐波那契(Febonacci，原名Leonardo，12-13世纪意大利数学家)数列”或者“兔子数列”。这些考生中还有一些人知道这个数列的递推规律为：从第三项开始，每一项等于它之前两项的和，用数学表达式表示为

这个递推规律是整个数列推理中递推数列的基础所在。在公务员考试中，曾经出现过直接应用这个规律递推的数列。

例题1：(2002年国家公务员考试A类第4题)1，3，4，7，11，( )

A.14

B.16

C.18

D.20

【答案】：C。

【新东方名师詹凯解析】：这道题可以直接应用斐波那契数列的递推规律，即

因此所求项为

7+11=18

(二)递推规律的多种变式

例题2：(2006年北京市大学应届毕业生考试第1题)6，7，3，0，3，3，6，9，5，( )

A.4

B.3

C.2

D.1

【答案】：A。

【新东方名师詹凯解析】：这是很别致的一道试题。从形式上看，这个数列很特殊，不仅给出的已知项达到了9项之多，而且每一项都是一位数字，由此可以猜到这个数列的运算规律。这个数列从第三项开始存在运算递推规律

取“

•”的尾数

由此可知所求项为

取“9+5=14”的尾数，即4

这道题的运算递推规律是将两项相加之和变为了取尾数。

例题3：(2005年国家公务员考试二卷第30题，2006年广东省公务员考试第5题)1，2，2，3，4，6，( )

A.7

B.8

C.9

D.10

【答案】：C。

【新东方名师詹凯解析】：初看这道题容易将题目错看为一个简单的等差数列1，2，3，4，5，6……正是因为存在这样“先入为主”的观点，使得这道题的运算递推规律被隐藏起来。其实本题的运算递推规律很简单。这个数列从第三项开始存在运算递推规律

由此可知所求项为

4+6-1=9

这道题的运算递推规律是在两项相加的基础之上添加了常数项，在本题中常数项为“-1”，在其余题目当中，常数项还可能发生变化，如变为“+1”、“+2”、“-2”等。

例题4：(2006年北京户口京外大学应届毕业生考试第2题)3，2，8，12，28，( )

A.15

B.32

C.27

D.52

【答案】：D。

【新东方名师詹凯解析】：在近几年的各类公务员考试中，这种类型的运算递推规律逐渐增多起来。这个数列从第三项开始存在运算递推规律

由此可知所求项为

28+2×12=52

这道题的运算递推规律是在相加的两项中添加了系数。有时候添加的系数是2、3等整数，可以添加在第一项上，也可以添加在第二项上。有时候添加的系数较为复杂，甚至出现了分数等情况。

例题5：(2005年江苏省公务员考试第3题)12，4，8，6，7，( )

A.6

B.6.5

C.7

D.8

【答案】：B。

【新东方名师詹凯解析】：从选项中看来，B选项较为特殊，唯有这个选项是一个小数，由此可以猜得这个数列的运算规律之中很可能包含“除以2”这个运算。这个数列从第三项开始存在运算递推规律

由此可知所求项为

1/2(6+7)=6.5

这道题的运算递推规律是两项相加之后添加了1/2的系数。

例题6：(2002年国家公务员考试B类第4题)25，15，10，5，5，( )

A.10

B.5

C.0

D.-5

【答案】：C。

【新东方名师詹凯解析】：这个数列从第三项开始存在运算递推规律

由此可知所求项为

5-5=0

这道题的运算递推规律是将原运算递推的计算符号“+”变为了“-”，由加法运算变为了减法运算。但这类数列可以从后向前观察，发现仍然类似于两两相加得到第三项的规律。

例题7：(2006年广东省公务员考试第3题)1269，999，900，330，( )

A.190

B.270

C.299

D.1900

【答案】：D。

【新东方名师詹凯解析】：在与众多考生交流中，新东方北斗星詹凯老师经常提及这道题，这道题的运算规律很难发现。在没有思路的情况下，新东方北斗星詹凯老师建议各位考生仍然回到“数列的三个性质”当中来寻找突破口。从增减性看来，这个数列是单调递减数列，但是递减快慢没有规律;从整除性看来，数列存在规律，所有数字都能够被3整除。再看选项

当中，只有B选项能够被3整除，由此猜测这道题的答案为B选项270。但是细心的考生也许会发现，以往所有符合“整除性”规律的试题，将“猜”出的答案带入原数列当中通过逐项作差，总能得到简单的等差或者等比数列。然而这道题将270带入原数列当中之后，并不能够通过逐项作差得到有规律的数列。这道题是目前为止唯一一道考过的真题中既不符合增减性又不符合整除性的数列推理试题。这个数列从第三项开始存在运算递推规律

由此可知所求项为

(900-330)10/3=1900

回过头来思考这道试题，发现出题人并没有给出这道试题的关键信息，如果1269之前还有一项则会出现小数，这样考生在推理运算递推规律时就有依可循。

有些考生也许对于“增减性”、“整除性”来判断选项这个方法产生了怀疑。新东方北斗星詹凯老师以为，鉴于该种方法对绝大多数试题适用，而且类似本道例题的如此特殊的运算规律很少见，因此希望考生在实际考试当中能够仍然大胆的利用“整除性”来快速求解，赢得时间。

这道题的运算递推规律是将原运算递推的计算符号“+”变为了“-”，由加法运算变为了减法运算，同时加入了10/3的系数。

例题8：(2007年国家公务员考试第42题)1，3，4，1，9，( )

A.5

B.11

C.14

D.64

【答案】：D。

【新东方名师詹凯解析】：新东方北斗星詹凯老师反复强调，在进行数字推理练习时，一定要对六则运算关系非常熟悉，养成良好的数字敏感度。如果发觉这个数列的第三项4、第四项1、第五项9都是完全平方数，则运算规律不难推出。这个数列从第三项开始存在运算递推规律