第二章修改

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定义 由一个谓词和若干个体变元组成的表达式 称为简单命题函数 简单命题函数。 简单命题函数 由n元谓词和n个个体变元x1, x2,…xn 组成的 命题函数, 表示为P(x1,x2,…xn)。 由有限个简单命题函数以及逻辑联结词组 成的命题形式称为复合命题函数 复合命题函数。简单命题函数 复合命题函数 和复合命题函数统称为命题函数 命题函数。 命题函数
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定义 谓词(predicate)：用来刻划一个个体的性质或 谓词
多个个体之间关系的词，常用大写字母P, Q, R…来表示。 客体： 客体：可以独立存在的事物称为客体。
客体变元： 客体变元 ： 表示抽象的、泛指的、或在一定
范围内变化的个体词, 称为, 常用小写字母x, y, z…来表示。 客体变元的取值范围称为个体域 个体域(domain), 常 个体域 用D表示 全总个体域： 全总个体域 ： 最大的个体域是包含宇宙全体 事物的个体域
注：由定义知，命题公式也是谓词公式 由定义知， ┐(∀X)R(X)， 例：(∀X)R(X) ∨ ┐(∀X)R(X)， A↔B∨ C， (∀X)R(X)→(∃X)S(X) ↔（┐(∀X)R(X) X)R(X)→(∃ (∃X)S(X)） → (∃X)S(X)） 等命题公式均是谓词公式
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谓词逻辑的翻译（步骤） 谓词逻辑的翻译（步骤）:
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将下列命题符号化： 例3 将下列命题符号化： (1) 熊猫是动物。 熊猫是动物。 (2) 上海位于南京与杭州之间。 上海位于南京与杭州之间。 (3) 2是偶数且是素数。 是偶数且是素数。 是偶数且是素数 解 (1) A(x): x是动物, 这里x是个体变元, 它 可在动物范围内任意取值。b: 熊猫, b是 个体常元, 则命题可符号化为A(b)或A(熊 猫)。
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注：带有量词的命题函数必须确定其个体域 否 带有量词的命题函数必须确定其个体域, 必须确定其个体域 则无法准确表达命题含义。 则无法准确表达命题含义。
• 特性谓词 为讨论个体域中某部分个体的 特性谓词:为讨论个体域中某部分个体的 为讨论个体域中 性质, 性质 就要引入刻划这部分个体性质的 谓词. 谓词 • 全总个体域实际上就是一切事物构成的 集合。而对个体变化的真正取值范围 真正取值范围, 集合。而对个体变化的真正取值范围 用特性谓词加以限制。 用特性谓词加以限制。
（∀x） （P(x) → Q(x)） ） ） （ ∃ x） （ Q(x) ∧ P (x) ） ） ┐（∀x）（ Q(x) → P(x) ） ）（ ┐（ ∃ x）（ R(x) ∧ P(x) ）/（∀x）(Q(x) → ┐ P(x) ） ）（ （ ）
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三.
谓 词 公 式
1.原子公式 1.原子公式 定义： 定义：不出现命题联结词和量词的谓词命名式 称为谓词演算的原子公式。 P(x1,x2,…xn)称为谓词演算的原子公式。 谓词演算的合式公式简称谓词公式 2 . 谓词演算的合式公式简称谓词公式 定义: 定义: 1)谓词演算的原子公式是谓词演算公式 1)谓词演算的原子公式是谓词演算公式 2)若 是谓词演算公式， 2)若A， B是谓词演算公式，则 (┐A)，(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(A↔B)， (┐A)，(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(A↔B)， (∀X）A和(∃X）A是谓词演算公式 3)只有有限次应用步骤1 3)只有有限次应用步骤1）和2）构成的公式 只有有限次应用步骤 20 才是谓词演算公式
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全总个体域 F(x)： 例：F(x)：x是不怕死的 D(x)： D(x)：x是要死的 M(x)： M(x)：x是人 若论述域是全人类： 若论述域是全人类： 则人总是要死的 可译为 （∀x）D(x) 有些人不怕死 可译为 （∃x）F(x) 若论述域不是全人类： 若论述域不是全人类： 则人总是要死的 可译为 （∀x）（ M(x) → D(x)） D(x)） F(x)） 有些人不怕死 可译为 （∃x）（ M(x) ∧ F(x)）
对于谓词A, A(x)实际上是个体变元x的函数。
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(2) B(x, y, z): x位于y与z之间。A: 上海, b: 南京, c: 杭州, 则命题可符号化为B(a, b, c)或符号化为 B(上海, 南京, 杭州)。 (3) E(x): x是偶数, P(x): x是素数, a: 2, 则命题可 符号化为E(a)∧P(a) 或 E(2)∧P(2)。 • 一般地, 一个由n个个体和n元谓词所组成的命 题可表示为P(a1, a2, …, an), 其中P表示n元谓词, a1, a2,…, an 分别表示n个个体。 • a1, a2,…,an 的排列次序通常是重要的。 B(a, b, c)不同于B(b, a, c)。
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谓词常元： 谓词常元：谓词表示有具体确定意义的性质或
关系的谓词，否则称为谓词变元。 谓词变元。 谓词变元
元数： 元数：谓词中包含个体的数目称为谓词的元数。 一元谓词/多元谓词 多元谓词： 一元谓词 多元谓词 元谓词：命题是0 0元谓词：命题是0元谓词 谓词填式： 谓词填式：把谓词字母后填以客体所得的 式子。 。 一元谓词表达了个体的“性质”, 而多元 谓词表达了个体之间的“关系”。
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二. 量 词
1.全称量词（ 1.全称量词（∀x） 全称量词 （∀x）读作‘对任意x’ 读作‘对任意x （∀x）P(x)表示‘对一切x,P(x)为真’ P(x)表示‘对一切x,P(x)为真’ 表示 x,P(x)为真 ┐（∀x）┐P(x)表示 P(x)表示 并非对任意x, ┐P(x)是真 是真’ ‘并非对任意x, ┐P(x)是真’
P ∧ Q →(∃X)(M(x) ∧ N(x)) X)(
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并非一切劳动都能用机器代替。 例 6.并非一切劳动都能用机器代替。 并非一切劳动都能用机器代替 是一种劳动, 是一种机器, 解 设 L(x): x是一种劳动 M(y): y是一种机器 是一种劳动 是一种机器 R(x, y): x被y代替。命题表示为 代替。 被 代替 命题表示为: ¬(∀x) (L(x) → (∃y) (M(y)∧R(x,y))) ∀ ∃ ∧ 例 7. 勇敢者未必都是成功者。 勇敢者未必都是成功者。 是勇敢者, 是成功者。 解 设 B(x): x是勇敢者 S(y): x是成功者。命题表 是勇敢者 是成功者 示为: 示为 ¬(∀x) (B(x) → S(y)) ∀ 或 (∃x)(B(x)∧¬S(y)) ∃ ∧
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例1：将以下内容符号化： ：将以下内容符号化： 李四能够到达山顶。 李四能够到达山顶。 老虎能够到达山顶。 老虎能够到达山顶。 汽车能够到达山顶。 汽车能够到达山顶。 在命题逻辑中符号化为： ∧ 在命题逻辑中符号化为： P∧Q ∧ R。 符号化为 。 在谓词演算中, 在谓词演算中 为了进一步分析命题间的共同 特性等将简单命题分解 分解为 主语)与 特性等将简单命题分解为个体词 (主语 与谓词百度文库主语 (谓语 两部分 谓语)两部分 谓语
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举例
• (P(x)∨Q(y, z)) ↔ R(x, z) 是命题函数， 是命题函数， ∨ 只有当谓词变元和客体变元取确定的真值 才能确定此命题函数的真值。 后，才能确定此命题函数的真值。
注：在命题中分析出个体和谓词后, 仍不足以表达 在命题中分析出个体和谓词后 仍不足以表达 逻辑三段论, 问题在于“所有的” 有一个” 逻辑三段论 问题在于“所有的”和“有一个”这 全称量词和存在量词还没有分析出来, 种全称量词和存在量词还没有分析出来 因此必须 引入量词
第二章谓词逻辑 第二章谓词逻辑
一.谓词 二.量词 全称量词∀ 1. 全称量词∀x 存在量词∃ 2．存在量词∃x 3．全总个体域 4．举例 三. 谓词公式 1.原子公式 1.原子公式 2.谓词演算的合式公式 2.谓词演算的合式公式
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第二章谓词逻辑 第二章谓词逻辑
一.谓词 二.量词 全称量词∀ 1. 全称量词∀x 存在量词∃ 2．存在量词∃x 3．全总个体域 4．举例 三. 谓词公式 1.原子公式 1.原子公式 2.谓词演算的合式公式 2.谓词演算的合式公式
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2．存在量词（∃x） 存在量词（ （∃x）读作‘至少有一x’，‘存在一x’ 读作‘至少有一x ， 存在一x P(x)表示 （∃x） ┐P(x)表示 存在一x 为真’ ‘存在一x，使┐P(x) 为真’ P(x)表示 ┐（∃x） ┐P(x)表示 并非存在一个x P(x)为真 为真’ ‘并非存在一个x，使┐ P(x)为真’
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例 4 设F(x): x会飞 D为鸟集合。 会飞, 为鸟集合。 会飞 为鸟集合 表示所有的鸟都会飞。 （∀x） F(x)表示所有的鸟都会飞。 ） 表示所有的鸟都会飞 若无D集合可表示为： 是鸟， 若无 集合可表示为： P(x):x是鸟， F(x): x会飞 集合可表示为 是鸟 会飞 （∀x） （P(x) → F(x)） ） ） 是白的, 为菊花集合。 例 5 设Y(x): x是白的 D为菊花集合。 是白的 为菊花集合 表示有些菊花是白的。 （∃x） Y(x)表示有些菊花是白的。 ） 表示有些菊花是白的 若无D集合可表示为： 是菊花， 若无 集合可表示为： P(x):x是菊花， F(x): x是 集合可表示为 是菊花 是 白的 ） （ ∃ x）（ P(x) ∧ F(x)） ）（
找出原子命题之间的关系 将原子命题分解:个体 谓词、 个体、 将原子命题分解 个体、谓词、量词 找出恰当的量词： 找出恰当的量词： （∀X） (∃ X) 使用恰当的联结词
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举例：
今天有雨雪，有些人会跌交。 今天有雨雪，有些人会跌交。
符号化： ：今天有雨； ： 符号化：P：今天有雨；Q：今天有雪 M(x):x是人 是人 N(x):x会跌交 会跌交
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•在使用量词时 应注意下列几点 在使用量词时, 应注意下列几点: 在使用量词时 不同的个体域中 命题符号化的形式可能不一 (1) 在不同的个体域中, 命题符号化的形式可能不一 样。 (2) 若没有说明个体域, 则应以全总个体域为个体域。 若没有说明个体域 则应以全总个体域为个体域。 (3) 在引入特性谓词后 使用全称量词与存在量词符 在引入特性谓词后, 号化的形式是不同的: 全称量词后的特性谓词应 号化的形式是不同的 对全称量词后的特性谓词应 作为蕴涵式 前件; 存在量词后的特性谓词应作 蕴涵式的 作为蕴涵式的前件 对存在量词后的特性谓词应作 合取式的一项. 为合取式的一项 (4) 多个量词同时出现时 不能随意颠倒它们的次序 多个量词同时出现时, 不能随意颠倒它们的次序 次序, 颠倒后会改变原命题的含义。 颠倒后会改变原命题的含义。
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练习：用谓词表达式写出下列命题： 练习：用谓词表达式写出下列命题：
• • • • 每一个有理数是实数。 每一个有理数是实数。 某些实数是有理数。 某些实数是有理数。 并非每一个实数都是有理数。 并非每一个实数都是有理数。 没有无理数是有理数。 没有无理数是有理数。
P(x):x是有理数； Q(x)：x是实数 R(x):x是无理数 P(x):x是有理数； Q(x)：x是实数；R(x):x是无理数 是实数； 是有理数
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例2
a.小陈是大学生 a.小陈是大学生 b.小张生于苏州 b.小张生于苏州 c. 8=3*2
x是大学生 x生于y 生于y x=y*z 小陈-----客体；是大学生-----谓词： 小陈-----客体；是大学生-----谓词： -----客体 -----谓词 是大学生刻划了x 是大学生刻划了x 的性质 生于-----谓词：刻划了x -----谓词 生于-----谓词：刻划了x和y的关系 ….= ..------谓词：刻划了x，y，z三 .=…..------谓词 刻划了x .= ..------谓词： 元的关系
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四. 自由变元与约束变元 1.量词的辖域 1.量词的辖域 2.自由变元与约束变元 2.自由变元与约束变元 3.约束变元改名规则 3.约束变元改名规则 五. 谓词演算的推理理论
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一. 谓 词
Socrates 三段论：所有的人总是要死的。 三段论：所有的人总是要死的。 Socrates是人。 是人。 是人 所以Socrates是要死的。 是要死的。 所以 是要死的 符号化为： ∧ → 。 符号化为： P∧Q→R。 并不是P、 的有效结论 的有效结论。 但R并不是 、Q的有效结论。 并不是