王振发版-分析力学-课件-第2章-动力学普遍方程和拉格朗日方程

a
Mg
Fg1
Fg1= m1a， Fg2= m2a，
Mg
J
J
a r
,
Mg
Fg2 Fg1
m2g
m1g
给连杆以平行于斜面向下
m1g
N2
的虚位移s，则相应地两 s
轮有转角虚位移，且
α
s
N1
r
根据动力学普 遍方程，得:
于是
(2m1 m2 )g sin s (2F g1F g2)s 2M g 0
1 2
mi
vi
vi
d dt
q&k
n i 1
1 2
mi vi2
qk
n i 1
1 2
mi
vi2
n
i 1
mi&r&i
ri qk
d dt
T q&k
qk
T
得到
d T T
dt
q&k
qk
Qk
,
(k 1, 2,L , N)
这就是第二类拉格朗日方程，是一个方程组，该方程组 的数目等于质点系的自由度数，各方程均为二阶常微分 方程，揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。
若作用于质点系的主动力均为有势力（保守力）
则广义力Qk可写成质点系势能表达的形式
Qk
V qk
于是，对保守系统，拉格朗日方程可写成
d dt
T qk
T qk
V qk
,
(k 1,2, , N)
用函数L表示系统的动能T与势能V之差，即 L = T－V
L称为拉格朗日函数或动势。 L Lqk , qk ,t
拉格朗日
1736 — 1813,法籍 意大利人，数学家、 力学家、天文学家， 十九岁成为数学教 授，与欧拉共同创 立变分法，是十八 世纪继欧拉后伟大 的数学家。
设质点系由n个质点组成，具有s个完整理想约束，则有 N=3n-s个自由度（广义坐标）。
用q1，q2，…qN表示系统的广义坐标，第i个质点质量为mi， 矢径为ri。则
行星轮瞬心为P， 角速度为
A
vA r
(R r
r)
∴系统的动能为
vA
Ⅰ A
r
M
RO
P
Ⅱ
T
=
TOA+
T轮
1 2
JO2
1 2
m2v
2 A
1 2
J
AA2
1 2
1 3
m1
(
R
r)22
1
2
m2 (R
r)22
1 2
1 2
m2
r
2
R
r
r
2
2
1 12
(2m1
Байду номын сангаас
9m2
)(R
r)22
又关于广义坐标的广义力为
Q
WF
M
M
代入Lagrange方程：
d dt
T
&
T
Q
vA
Ⅰ A
r M
RO
Ⅱ
Q
T
&
1 12
(2m1
9m2
)(R
r)2
2&,
d dt
T
&
1 6
(2m1
9m2 )(R
r)2&&
T 0
∴
1 6
(2m1
9m2
)(
R
r
)2
&&
M
于是得
OA
(2m1
6M 9m2 )(R
r)2
例2 质量为m的质点悬在不计质量的软线上，线的另一 端绕在半径为R的固定圆柱上。设在平衡位置时，线的下
2.拉格朗日方程是标量方程，以动能为方程的基本量，是 用广义坐标表示的运动微分方程。
3.拉格朗日方程形式简洁，运用时只需要计算系统的动能； 对于保守力系统，只需要计算系统的动能和势能。
用拉格朗日方程概述
1.静力学：对受完整约束的多自由度的平衡问题，根据虚
位移原理，采用广义坐标，得到与自由度相同的一组独立平 衡方程。这种用分析方法建立的平衡条件，避开了未知的约 束反力，使非自由质点系的平衡问题的求解变得简单。
vO2 x12 x22 2x1x2 cos
对整个质点系来说，在运动的任意瞬时，虚加于质点系的各质 点的惯性力与作用于该质点系的主动力、约束反力将组成形式 上的平衡力系。
即 ∑Fi + ∑ FNi +∑Fgi=0 或∑MO(Fi) + ∑ MO( FNi ) +∑ MO( Fgi ) =0
质点系的 达朗伯原理
1 .动力学普遍方程 动力学普遍方程是虚位移原理与达朗伯原理简单结合的产物。
2
m
m
L m(l R )2,
d L 2mR(l R)2 m(l R)2 dt
L mR(l R)2 mg (l R)sin
已求得
d L 2mR(l R)2 m(l R)2 dt L mR(l R)2 mg (l R)sin
将式上式代入保守系统的拉氏方程
d dt
i 1
n
或 (Fi miai ) δri 0 i 1
动力学普遍方程
表明：在理想约束条件下，在任意瞬时，作用于质点系上 的主动力和惯性力在质点系的任意虚位移上所做虚功之和 等于零。
若 Fi X ii Yi j Zik, ai xii yi j zik,
ri xii yi j zik,
ri r&i qk q&k
代入第一项中的括号内
d dt
ri qk
r&i qk
代入第二项中的括号内
得 所以
n
i 1
mi&r&i
ri qk
n
mi
i 1
d dt
vi
vi q&k
n i 1
mi vi
vi qk
d
dt
n i 1
mi
vi
vi q&k
qk
n i 1
例1 位于水平面内的行星轮机构中，质量为m1的均质细 杆OA，可绕O轴转动，另一端装有质量为m2、半径为r的 均质小齿轮，小齿轮沿半径为R的固定大齿轮纯滚动。当
细杆受力偶M的作用时，求细杆的角加速O度A
。
Ⅰ A
r
M
R O
Ⅱ
解：研究整个系统，选广义坐标，
则 OA OA vA (R r)
2.动力学：对受完整约束的多自由度的动力学问题，可以
根据能量原理，采用广义坐标，推导出与自由度相同的一组 独立的运动微分方程。这种用广义坐标表示的动力学普遍方 程，称为拉格朗日第二类方程，简称为拉格朗日方程。
用拉格朗日方程解题的步骤
1.确定系统的自由度数（广义坐标数）； 2.选广义坐标； 3.计算系统的动能T，且用广义速度来表示动能； 4.计算广义力（对保守系统可计算势能）； 5.代入拉格朗日方程即可得质点系运动微分方程。
垂部分长度为l。求此摆的运动微分方程。
R O
l
m
解：此摆为单自由度保守系统，选广义坐标，
系统的动能为 T 1 m(l R)22
2 选=0处为系统势能的零势点，则
R
O
V = mg[（l+Rsin）－（l＋R）cos]
系统的动势为
l
L T V
1 m(l R )22 mg[(l Rsin ) (l R )cos ]
(2m1 m2 )g sin s
(2m1 m2 )as
2J
a r
s
r
0
解得
a
(2m1 (2m1
m2 )r2 sin
m2 )r2 2J
g
(a) (b)
2. 拉格朗日方程
将动力学普遍方程用广义坐标表示，即可推导出第二类拉 格朗日方程。
mj &x&j
Fx j
k i 1
i
Qk
n i 1
miri
ri qk
0
(k =1，2，……，N)
广义力
以广义坐标表示的达朗伯原理
广义惯性力
对式
Qk
n i 1
miri
ri qk
0
中广义惯性力进行变换：
Qk
n i1
mi&r&i
ri qk
n
mi
i1
d dt
vi
ri qk
n i1
mi
vi
d dt
ri qk
mi
引言3：达朗伯原理
一、质点的达朗伯原理
设质点M的质量为m，受力有主动力F、
M Fg
约束反力FN，加速度为a，则根据牛顿 第二定律，有 ma = F+FN
FN
a
令 Fg=－ ma
F
则 F+FN+Fg = 0
形式上的平衡方程
结论：在质点运动的任意瞬时，如果在其上假想地加上一惯性 力Fg，则此力与主动力、约束反力在形式上组成一平衡力系。 这就是质点的达朗伯原理。
L
L
0
得摆的运动微分方程
(l R) R2 g sin 0
例3 已知质量为m1的三棱柱放在光滑水平面上，质量 为m2的均质圆柱体O由静止沿三棱柱的斜面向下纯滚动。
求三棱柱的加速度。
O Oω
θ
解：系统具有两个自由度，
选x1、x2为广义坐标，
o2
x2
则三棱柱速度为 x1, 加速度为 x1
圆柱中心的速度为
达朗伯（1717-1785）通过引入惯性力的概念，建立了著名的 达朗伯原理（用静力学建立平衡方程的方法处理动力学问 题）；
约翰·伯努利（1667-1748）于1717年精确表述了虚位移原理 （建立虚位移、虚功的概念，用动力学的方法研究静力学中 的平衡问题）；
拉格朗日（1736-1813）应用达朗伯原理，把虚位移原理推广 到非自由质点系的动力学问题中，建立了动力学普遍方程， 进一步导出了拉格朗日方程。
则在保守系统中，用动势表示的拉格朗日方程的形式为
d dt
L qk
L qk
0
(k 1,2, , N)
若作用于质点系的主动力为有势力及非有势力两部分构成时
Qk
V qk
Qk
d dt
L qk
L qk
Qk
(k 1,2, , N)
用拉格朗日方程的意义
1.拉格朗日方程是解决具有完整约束的质点系动力学问题 的普遍方程，是分析力学中的重要方程。
二、质点系的达朗伯原理
设质点系由n个质点组成， 第i个质点质量为mi，受力有主动力 Fi ，约束反力FNi ，加速度为ai ，假想地加上其惯性力Fgi=－ miai ，则根据质点的达朗伯原理，Fi 、 FNi与Fgi应组成形式上的 平衡力系，即
Fi + FNi +Fgi=0 （i =1，2，…，n）
则动力学普遍方程的坐标分解式为
n
Xi mixi xi Yi mi yi yi Zi mizi zi 0
i 1
例1. 两均质轮质量皆为m1，半径皆为r，对轮心的转动惯量为 J；中心用质量为m2的连杆连接，在倾角为α的斜面上纯滚动。 求连杆的加速度。
α
解：研究整个系统，进行受力分析；
设杆的加速度为a，则
图示圆锥摆摆长为l，摆锤M的质量m， 在水平面内作匀速圆周运动，速度为v，
锥摆的顶角为2φ，摆锤 M 受力如图。
其加速度为
a an v2
l sin
令 R=P+T
φ l T
an
则 ma = R = P + T
摆锤M在受到P、T的同时，将给施力体
M v
P
（地心和绳子）一对应的反作用力，
反作用力的合力为
d dt
vi
ri qk
mi
dvi dt
ri qk
mi vi
d dt
ri qk
miri
ri qk
mi vi
d dt
ri qk
n
i 1
mi
d dt
vi
ri qk
n i 1
miri
ri qk
n i 1
mi vi
d dt
ri qk
将下列两个恒等式（有关证明请参阅教材P46）（qk 广义速度）
第二章 动力学普遍方程和拉各朗 日方程
1.动力学普遍方程 2.拉格朗日方程 3.动能的广义速度表达式 4.拉格朗日方程的初积分 5.碰撞问题的拉格朗日方程 6.拉格朗日方程的应用举例
引言1：非自由质点系的动力学问题
K
φ1 φ2
多杆摆问题
摆长不定，如何确定 其摆动规律？
混沌摆问题
引言2：惯性力的概念
fi x j
mj &y&j
Fy j
k i 1
i
fi y j
mj&z&j
Fz j
k i 1
i
fi z j
n个质点的系统受到k 个如 下形式的完整约束fi ,又若系统中 质量为mj的第j个质点受主动力 Fj，则系统的运动满足3n个方程
如左，称为第一类拉格朗日方 程，λi称为拉各朗日未定乘子。
*第一类拉格朗日方程用到的较少
R'=－R=－ ma
此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的“反作用力”， 称为惯性力。
结论：质点在作非惯性运动的任意瞬时，对于施力于它的物 体会作用一个惯性力，该力的大小等于其质量与加速度的乘 积，方向与其加速度方向相反。
若用Fg表示惯性力，则有 Fg =－ ma
说明： 1.此力是不是真实的力！ 2.此力作用于施力给质点的物体上！ 3.此力又称为牛顿惯性力！
ri= ri(q1，q2，…qN，t) 对上式求变分得
δri
ri q1
δq1
ri q2
δq2
ri qN
δqN
ri t
δt
N i1
ri qk
δqk
动力学普遍方程可写成 其中
n
n
Fi δri miai δri 0
i 1
i 1
n
i 1
miai
δri
n i 1
miri
N k 1
ri qk
设质点系由n个质点组成，第i个质点质量为mi，
受主动力Fi，约束反力FNi，加速度为ai，虚加上 M
Fgi
其惯性力Fgi=－miai
则根据达朗伯原理， Fi 、FNi 与Fgi， 应组成形式上的平衡力系，即
FNi
ai Fi
Fi + FNi +Fgi= 0
若质点系受理想约束作用，应用虚位移原理，有
n
(Fi Fgi ) δri 0
δqk
N k 1
n i 1
miri
ri qk
δqk
根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有
n
N
Fi δri Qkδqk
i 1
k 1
n
n
Fi δri miai δri
i 1
i 1
N Qk
k1
n i1
miri
ri qk
δqk
0
因为系统为完整约束，广义坐标相互独立，所以广义坐标 的变分qk是任意的，为使上式恒成立，须有