数列解答题专项训练

数列专题解答题
1.【 A 】已知数列 { an} 中， a1
3 5
，
an
1
2
( n 2, n
an 1
N ) ，数列 {bn} 满足
bn
1 (n N )
an 1
（1） 求证：数列 { bn } 是等差数列；
（2） 求数列 { an} 中的最大值和最小值，并说明理由
解： (1) bn
1 an 1
1
1
(2
n 2 n 1 Sn
1 2 2 3 22
2Sn 2 2 22 3 23
n 2n 两式相减得
Sn 1 2 22 23
2n 1 n 2n
Sn (n 1) 2n 1
n 2n 1
4.【 A 】已知数列 an 是递增的等比数列，且 a1 a4 9,a2a3 8.
（Ⅰ）求数列 an 的通项公式；
（Ⅱ）设 Sn 为数列 an 的前 n 项和， bn
)1
an 1
an 1 an 1 1
,而 bn
1
1,
an 1 1
∴ bn bn 1 1(n 2, n N ) , b1
1
a1 1
5 ；故数列 {bn} 是首项为 5 ，公差为 1 的等差
2
2
数列；
（ 2）由（ 1）得 bn
n
7 2
，则
an
1 1
bn
1 2 ；设函数 f (x)
2n 7
1 2 ，函数
2x 7
（ II）由（ I）可得 bn an 1 2an
3 2n 1 ，
an 1 2n 1
an 2n
3 4
数列
{
an 2n
}
是首项为
1 2
，公差为
3 4
的等比数列．
an 2n
1
3
( n 1)
2
4
3 n
4
1 4
， an
(3n 1) 2n 2
3.【 B】在数列 an 中， a1 1, an 1 2an 2n
（ 1）设 bn
( n 16) ( n 16)
3.【 A 】设数列 { an} 的前 n 项和为 Sn, 已知 a1 1, Sn 1 4an 2
（ I）设 bn an 1 2an ，证明数列 { bn} 是等比数列
（ II）求数列 { an } 的通项公式 ,及前 Tn
解 ： （ I ） 由 a1 1, 及 Sn 1 4an 2 ， 有 a1 a2 4a1 2,
bn （ II）
log 2 [64
1 (
)n
1]
2
log 2 2 7 n
7n
7n n7 | bn | n 7 n 7
(6 7 n) n(13 n)
当 n 7时 ,| b1 | 6,Tn
2
n
当n
7时 ,| b8 | 1,Tn
T7
(1 n 7)(n 7) 2
(n 6)( n 7) 21
2
n(13 n) (n 7)
a2 3a1 2 5, b1 a2 2a1 3 由 Sn 1 4an 2 ，．．．① 则当 n 2 时，有 Sn 4an 1 2 ．．．．．② ②－①得 an 1 4an 4an 1, an 1 2an 2(an 2an 1) 又 bn an 1 2an ， bn 2bn 1 { bn} 是首项 b1 3 ，公比为２的等比数列．
an 1 ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn . Sn Sn 1
【解析】（Ⅰ）由题设可知 a1 a4 a2 a3 8 ，
又 a1 a4 9，
可解的 a1
1 或
a1
8 （舍去）
a4 8 a4 1
由 a4 a1q3 得公比 q 2 ，
故 an a1qn 1 2n 1 .
（Ⅱ） Sn
a1(1 qn ) 1 2n 1q 12
2n 1
又 bn
an 1
Sn 1 Sn 1
1
SnSn 1
Sn Sn 1
Sn Sn 1
所以 Tn b1 b2 ... bn
11 S1 S2 11 S1 Sn 1
11 S2 S3
故1
1
1 (n≥1)
an 1 2 an 2 2
1 即 bn+1－bn= (n≥ 1)
2
∴数列 { bn} 是等差
数列．
1
1
1
1n
2
(2)【解】∵ {
} 是等差数列∴
(n 1)
∴an=2+
an 2
a n 2 a1 2
22
n
2 ∴数列 { an} 的通项公式 an=2+
n
2.【 A】 已知等比数列 { an}中,a2 , a3 , a4 分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项，且 a1 64,公比 q 1
以后皆负． ∴当 n≤16时， Sn′｜＝a1｜ +｜ a2｜+…＋｜an｜ =a1+a2+…＋an=33n－n2．
当 n＞16 时， Sn′a＝1+a2+…＋a16－ a17－ a18－…－an=S16－ (Sn－ S16)＝2S16－Sn＝ 512 － 32n＋n2．
∴ Sn '
32n n 2 512 32n n 2
an 2n 1
,
证明
bn
是等差数列 ;（ 2）求数列
an
的前 n 项和 Sn 。
解：（ 1）由已知 an 1 2an 2n 得 bn 1
an 1 2n
2an 2n 2n
an 2n 1
1
bn
1，
又 b1 a1 1 bn 是首项为 1，公差为 1 的等差数列；
（ 2）由（
1）知
an 2n 1
n, an
4
1
1.【 B】已知数列 { an} 满足 a1=4,an=4－
(n≥ 2，) 令 bn=
,
an 1
an 2
(1)求证数列 { bn} 是等差数列； (2)求数列 { an} 的通项公式．
4 (1)【证明】 an+1－2=2－
an
2(an
2) ∴
1
an
an
an 1 2 2(an 2)
11 (n
2 an 2
（Ⅰ）求 an ； （Ⅱ）设 bn log 2 an ，求数列 {|b n |}的前 n项和 Tn . 解析：（I）依题意 a2 a4 3( a3 a4 ),即2a4 3a2 a2 0
2a1q3 3a1q3 a1q 0
2q2 3q 1 0
来自百度文库
1 q 1或 q
2
q1
1 q
2
故an
64 ( 1 ) n 1 2
f ( x) 1 2 在 ( , 7 ) 和 ( 7 , ) 上均为减函数， 当 x 3 时，f ( x) f (3) 1 ；当 x 4 时，
2x 7
2
2
f ( x) f ( 4) 3 ；且 f (1) 3 ，当 n 趋向于
5
时， f ( x) 接近 1，∴ (an )min a3
1，
( an )max a4 3 ．
Tn
2
(n 6)(n 7)
21( n 7)
2
2.【 B】已知数列｛ an｝的前 n 项和是 Sn=32n－n2,求数列｛｜ an｜｝的前 n 项和
Sn′． 解：∵ a1=S1=32×1－12=31,
当 n≥２时，an=Sn－Sn－1=33－ 2n,又由 an＞ 0，得 n＜16．5,即｛an｝前 16 项为正，