大学物理 功和能

a
dv dt
dr ds vdt
AAB＝m
B dv vdt
A dt
m
vB vdv
vA
1 2
mvB2
1 2
mvA2
合外力对物体做功能改变质点的运动，在数 量上和功相应的是 1 m这v2个量的改变。
2
定义：Ek=mv2/2 为质点的动能
Ek
1 2
mv 2
p2 2m
Ek状态量
AAB=EKB-EKA
例.设两粒子之间的相互作用力为排斥力，
其变化规律为
f ， rkk3为常数。若取无
穷远处为零势能参考位置，试求两粒子
相距为r时的势能。（从定义出发）
例：一弹簧原长l0=0.1m，倔强系数k=50N/m，
其一端固定在半径为R=0.1m的半圆环的端点A， 另一端与一套在半圆环上的小环相连。在把小环 由半圆环中点B移到另一端C的过程中，弹簧的
（A）动能不变，动量改变 （B）动量不变，动能改变
（C）角动量不变，动量不变 （D）角动量不变，动能、动量都改变
R [D]
例.如图所示，圆锥摆的小球在水 平面内作匀速率圆周运动，判断 下列说法中正确的是
（A）重力和绳子的张力对小球都不作功。 （B）重力和绳子的张力对小球都作功。 （C）重力对小球作功，绳子张力对小球不作功。 （D）重力对小球不作功，绳子张力对小球作功。
B2
f 2 d(r 2 r1 ) B1
dr2
r 2 r1
AAB
r 21 dA f 2 dr 21
B
B
dA
A
A f2 dr21 o
dr1
m1 f1
r21 f2
m2
r1
r2
A1
A2
一对力做功只决定于质点间的相对位移， 和参考系的选取无关。
所以可用下述方法计算一对力的功：认为其中 一个质点静止以它所在位置为坐标原点，计算 另一质点在此坐标系运动时所受的内力所做的 功。这样用一个力计算出来的功，也就等于相 应的一对力所做的功。
（A）动量守恒，机械能守恒 F （B）动量守恒，机械能不守恒 （C）动量不守恒，机械能守恒
（D）动量不守恒，机械能不守恒
F [B]
如图所示，有一个小块物体，置于 一个光滑的水平桌面上，有一绳其 一端连接此物体，另一端穿过桌面 中心的小孔，该物体原以角速度w 在距孔为R的圆周上转动，今将绳 从小孔缓慢往下拉。则物体
解：
b
10
A Fxdx (4 5x)dx 290 (J)
a
0
例2、质量为 2 kg 的质点在F＝12ti (SI)力
的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运 动。求前三秒内该力所作的功。
ur r
W＝ Fgd r 12tvdt
v 3t 2
W
3
12t
3t
2dt
336t3dt 9t4 729J
例: 重力的功
中学已使用过这个结论。如：
一对正压力的功
dA
dA1
dA2
Nm
drmM
0
一对滑动摩擦力作功
A
fr
drmM fr
drmM
<0
Nm fr
drmM
m
M
中学熟知的例子
总功一定减少体系的动能
使用这些结果时，思考过是一对力作功之和吗？
§3 保守力的功与势能 一、 保守力
rB
B
两个质点之间的引力
在上述说法中：
(A) (1) 、 (2)是正确的． (B) (2) 、 (3)是正确的． (C)只有(2)是正确的． (D)只有(3)是正确的．
[C]
又如：两质量分别为m1、m2的小球，用 一倔强系数为k的轻弹簧相连，放在水 平光滑桌面上，如图所示。今以等值反 向的力分别作用于两小球时，若以两小 球和弹簧为系统，则系统的
如果 A外＝0 A非保内＝0 则EB ＝ EA＝常量
在只有保守内力做功的情况下，质点系的机 械能保持不变。
3、能量守恒定律
一个封闭系统内经历任何变化时，该系统的所有能 量的总和保持不变。这是普遍的能量守恒定律。
4、守恒定律的特点及其应用
特点和优点：不追究过程细节而能对系统的状态下
结论。
动量守恒： F外 0
A EK
动能定理
在一空间过程中，合外力对质点所做的功等于 质点动能的增量。
单位：J 量纲：ML2T－2
动能是否依赖于参考系?
说明
1、动能是状态量，任一运动状态对应一定的 动能。 2、EK=EKB-EKA为动能的增量，增量可正可 负，视功的正负而变。 3、动能是质点因运动而具有的做功本领。
二、质点系的动能定理
1 mv2 2
AP
l
P•dr
a
l mg xdx mg(l 2 a2 )
al
2l
前已得出：
Af
mg(l a)2
2l
mg(l 2 a2 ) mg(l a)2 1 mv2
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a2 ) (l a)2 2
➢一对力的功
内力成对出现，属一对作用力反作用力
B
f2
Gm1m2 r3
r
m2
AAB A f2 dr （一对力的功）
r
B
A
Gm1m2 r3
r
dr
rB Gm1m2 dr
rA
r2
m1
A rA
AAB
Gm1m2
(
1 rB
1) rA
如果一对力做功与相对路径的形状无关，而只决定于相 互作用的质点的始末相对位置，这样一对力就叫保守力。
f
dr
A1ab
A2ab
ANab
合力的功等于各分力沿同一路径所 做的功的代数和
讨论
单位：J 量纲：ML2T－2
功的其它单位：1eV=1.6×10-19J 1erg＝10-7J
1）A是标量 但有正负：取决于力与位移 的夹角。
2）功是过程量---反映力在空间过程中的积 累作用。
3）合力的功为各分力的功的代数和。
以弹簧原长为 势能零点
3)万有引力势能
EP
G
Mm r
以无限远为 势能零点
讨论 1、只要有保守力，就可引入相应的势能。
2、势能仅有相对意义,计算势能必须规定零势 能参考点。
3、保守力所做的功可用相应势能增量的负
值来表示，即A保内＝-（EPB－EPA）。
4、势能是属于具有保守力相互作用的质点 系统的。
角动量守恒： M外 0
机械能守恒：A外 0，A非保内 0
碰撞过程： 完全非弹性碰撞（碰后合在一起）：
动量守恒，动能不守恒 完全弹性碰撞：动量守恒，动能守恒 第4章结束
如：对质点组有以下几种说法：
（1）质点组总动量的改变与内力无关
（2）质点组总动能的改变与内力无关
（3）质点组机械能的改变与保守内力无关 在上述说法中：
记作：A外＋A内＝EKB - EKA
质点系的动 能定理
上述结论可以推广到任意多个质点 组成的质点系
注意：内力能改变系统的总动能，但 不能改变系统的总动量。
例：炸弹爆炸
思考：为什么内力之和一定为零，而 内力作功之和不一定为零呢？
例4、一链条总长为l ，质量为m。放在桌面上并使其
下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数 为，令链条从静止开始运动，则：（1）到链条离开 桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条 离开桌面时的速率是多少？
dA
F
dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
二、变力做功 曲线运动
如果力是位置(时间）的函数，质
点在力的作用下沿一曲线运动，
则功的计算如下：
元位移：dr
在元位移dr中将力
视为恒力
F
dr
b
元功：
dA
F
dr
从a到b，力对质点做功：
a
A
b
dA
b
Fdr
b
F
drr
cos
所以 A外+ A保内＋A非保内= EkB - EkA
又因为 A保内＝-（ EPB－EPA）
所以
A外＋ A非保内＝ (EkB+EPB )-(EkA +EPA)
即
A外＋ A非保内＝EB - EA
质点系在运动过程中，它所受外力的功与系统内非保 守力的功的总和等于它的机械能的增量----功能原理。
2、机械能守恒定律
0
L r f • m2 m1 •
保守力沿任意闭合路径做的功必然是零
重力作功 Aab mgha mghb
弹性力的功
Aab
1 2
k xa2
1 2
k xb2
km x
o xa xb
二、势能
在保守力场，可引入一个只与两质点相对位
置有关的函数，EP势能函数。
保守力做功与
势能的关系
AAB
b
r f保
r dl
1）沿圆弧（a—b）；2）沿直径（a—b）
解： Aab
b
fs
dr
b
fs
dr
圆弧 a
a
m fs dr
a
Rb
(b)
fs ds mg R
(a)
Aab
fs
r
mg
2R
直径
摩擦力的功与路径有关 一定是负的吗？
§2 动能定理
一、质点的动能定理
AAB＝
B
F dr
A
B
A F d r
B
m A a d r
4）功与参考系有关。
三、功率：力在单位时间内所作的功
平 均 功 率 ： P A t
瞬时功率：P lim A dA t0 t dt
dA F d r
P F dr F v dt
单位：W或Js-1 量纲：ML2T－3
例1：某质点在力
F
4
5xiˆ
的作用下沿
x轴做直线运动 ， 求在从x=0移到x=10m的 过程中，力 F 所做的功。
A2
B2 A2
f
2
dr2
1 2
m2v22B
1 2
m2v22A
两式相加得：
B1 F1 dr1 A1
B2 A2
F
2
d
r
2＋
B1 A1
f
1
d
r1
B2 A2
f
2
dr2
1 2
m1v12B＋12
m2v22B
（1 2
m1v12A＋12
m2v22A）
即：所有外力的功之和＋所有内力的功之和 ＝系统末动能－系统初动能
a
a
a
解析式：A
b
a
(
Fx
dx
Fy dy)
质点同时受到N个力作用： F1, F2,, FN
在上述力作用下沿曲线由a运动到b
合力F 对质点做的功为：
b b
Aab
F dr
a
a (F1 F2 FN ) dr
b a F1 dr
b a F2 dr
b a FN dr
EPa
EPb
E p
a
若选末态为势能零点 Epb 0
任意状态A
的势能为：
EPa
势能参考点 f保
dr
AAB
(a)
势能零点可根据需要任意选取，对不同的 势能零点，势能不同，势能差是一定的。
三.常见的几种保守力和相应的势能
1)重力势能 EP mgh 地面为势能零点
2)弹性势能
EP
1 2
k x2
0
0
例3.一质点在如图所示的坐标平面内作圆周
运动，有一力
F
F0
(xiˆ
yˆj)
作用在质点
上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R)位
置过程中，力
F
对它所作的功为多少？
A
b Fr .drr
a
b
a (Fxdx
Fydy)
y R
x O
例4 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
大海的能量 (冲浪)
太阳能飞机
讨论：力在空间的积累效应—功，动 能、势能、动能定理、能量守恒定律 等。
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
F
F
M
M
S
位移无限小时：
解：(1)建坐标系如图 f mg(l x) / l f
l-a
dr
O
a
Af
ur r f dr
l mg (l x)dx
al
x
mg
l
(lx
1 2
x2 )la
mg
2l
(l
a)2
负号说明： 摩擦力作负 功！
(2)对链条应用动能定理：
据 :
A＝AP＋Af
1 2
mv2
1 2
mv02wk.baidu.com
v0 0 AP＋Af
B1
两个质点组成的质点系： m1 m2 F1 f1
内力： f1
f2 初速度：v1A
v 2 A m1
外力： F1 F2 末速度：v1B v 2B
A1
B2
f2
F2
m2
A2
m1 :
B1 F1 d r1
A1
B1 A1
f
1
d
r1
1 2
m1v12B
1 2
m1v12A
m2 :
B2 F 2 d r 2
（A）只有（1）是正确的
（B）（1）（3）是正确的
（C）（1）（2）是正确的
（D）（2）（3）是正确的
[B]
例：对功的概念有以下几种说法：
(1)保守力作正功时系统内相应的势能增加. (2) 质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功 为零. (3)作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以 两者所作的功的代数合必为零．
讨论一对力作功之和的特点与计算方法
B2
m1、m2组成一个封闭系统
B1
dr2
一对力所做功之和
dA f 1 dr1 f 2 dr 2
dr1
m1 f1
r1
r2
o
A1
f2 m2
A2
一对力所做功之和 dA f 1 dr1 f 2 dr 2
f 1 f 2 dA f 2 (dr 2 dr1 )
拉力对小环所做的功为 -0.207 J B
提示：
A (E P2 - EP1)
R
(
1 2
k x2 2
1 2
k
x12
)
A
O
c
x2 2R l0 R x1 2R l0 2 1 R
§4 功能原理 机械能守恒定律
1、质点系的功能原理
质点系的动能定理：A外+A内=EkB - EkA
因为 A内=A保内＋A非保内