2.4《用向量讨论垂直与平行》课件(北师大版选修2-1)
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3 3
)
(A)EF至多与A1D,AC之一垂直
(B)EF是A1D,AC的公垂线 (C)EF与BD1相交 (D)EF与BD1异面
【解题提示】建立空间直角坐标系分析各直线的方向向 量之间的关系. 【解析】选B.建立如图空间直角坐标系.
4.设平面α 的法向量为(1,2,-2),平面β 的法向量为(-2,4,k),若α ∥β ,则k=( (A)2 (C)4 (B)-4 (D)-2 )
9.(10分)已知M为长方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC的中点,点P在 长方体ABCD—A1B1C1D1的面CC1D1D内,且PM∥平面BB1D1D,试探 讨点P的确切位置. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设 AB=b,AD=a,AA1=c,可得如下各点的坐标:
D(0,0,0),B(a,b,0),D1(0,0,c),M(
学习目标定位
基础自主学习
典例精析导悟
课堂基础达标
知能提升作业
一、选择题（每题4分，共16分） 1.(2010·南充高二检测）直线 x + y =1 的一个方向向量是
a b
（
）
(A)(a,b)
(C)(b,-a)
(B)(a,-b)
【解析】(1)以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角
坐标系,设正方体的棱长为a, (1)A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0) A1(a,0,a),C1(0,a,a) 设E(0,a,e),则A1E=(-a,a,e-a),
BD=(-a,-a,0),
A1E·BD=(-a)·(-a)+a·(-a)+(e-a)·0=0, ∴A1E⊥BD,即A1E⊥BD.
=(a-1,-2,b+4)，
∵A,B,C共线,∴AB∥AC,则 答案：3 2
a-1 -2 b+4 ,解得a=3,b=2. = = 1 -1 3
6.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC，BP=(x-1,y,-3), 且BP⊥平面ABC,则BP=______. 【解析】∵AB⊥BC,∴AB·BC=0, 即(1,5,-2)·(3,1,z)=3+5-2z=0,则z=4, ∴BC=(3,1,4),
(D)(-a,-b)
b x y 【解析】选B.直线 + =1 可化为y=- x+b, a a b b ∴斜率k=. a
【解析】选C.①正确;②不正确, n1∥ n 2 ;③正确,n ⊥ a ;④正确.
3.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上, 且A1E= 2 A1D,AF= 1 AC,则(
1 a,2a,0).因 2 3 a 为M,N分别为AE,CD1的中点,所以M( a,a,0),N(0,a, ),所以 4 2 a MN=(- 3 a,0, ),取向量 n =(0,1,0),显然 n ⊥平面ADD1A1,又 2 4 MN· n =0,所以MN⊥ n .又因为MN 平面ADD1A1,所以MN∥平面
又∵BP⊥平面ABC,∴BP⊥AB,且BP⊥BC,由BP⊥AB知
BP·AB=(x-1,y,-3)·(1,5,-2) =x-1+5y+6 =x+5y+5=0 ①
答案：
三、Leabharlann Baidu答题（每题8分，共16分）
7.已知在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E,M,N分别是BC,AE,CD1的
中点,AD=AA1=a,AB=2a,求证:MN∥平面ADD1A1. 【解题提示】证明MN⊥平面ADD1A1的法向量即可. 【证明】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
a ,b,0),P(0,y,z). 2
∴DB=(a,b,0),DD1=(0,0,c),PM=( ,b-y,-z). ∵PM∥平面BDD1B1,根据空间向量基本定理,必存在实数对 (m,n),使得PM=mDB+nDD1, 即( ∴
a ,b-y,-z)=m(a,b,0)+n(0,0,c), 2 1 a =ma m= 2 2 b-y=mb, 得 y= 1 b 2
则A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),E(
ADD1A1.
8.(2010·新余高二检测)已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为棱 CC1上的动点.
(1)求证:A1E⊥BD;
(2)若平面A1BD⊥平面EBD,试确定E点的位置.
【解题提示】找直线的方向向量和平面的法向量.
【解析】选C.∵α∥β,∴法向量互相平行,
∴ -2 = -4 = k ,
∴k=4.
1 2 -2
二、填空题（每题4分，共8分） 5.如果三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一直线上,
那么a=_______,b=________.
【解题提示】由向量共线列式求解. 【解析】AB=(2,4,1)-(1,5,-2) =(1,-1,3)， AC=(a,3,b+2)-(1,5,-2)
a 2
-z=nc
2
z∈R,n∈R.
∴点P(0, 1 b,z).∴点P在CD的中垂线上.
)
(A)EF至多与A1D,AC之一垂直
(B)EF是A1D,AC的公垂线 (C)EF与BD1相交 (D)EF与BD1异面
【解题提示】建立空间直角坐标系分析各直线的方向向 量之间的关系. 【解析】选B.建立如图空间直角坐标系.
4.设平面α 的法向量为(1,2,-2),平面β 的法向量为(-2,4,k),若α ∥β ,则k=( (A)2 (C)4 (B)-4 (D)-2 )
9.(10分)已知M为长方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC的中点,点P在 长方体ABCD—A1B1C1D1的面CC1D1D内,且PM∥平面BB1D1D,试探 讨点P的确切位置. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设 AB=b,AD=a,AA1=c,可得如下各点的坐标:
D(0,0,0),B(a,b,0),D1(0,0,c),M(
学习目标定位
基础自主学习
典例精析导悟
课堂基础达标
知能提升作业
一、选择题（每题4分，共16分） 1.(2010·南充高二检测）直线 x + y =1 的一个方向向量是
a b
（
）
(A)(a,b)
(C)(b,-a)
(B)(a,-b)
【解析】(1)以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角
坐标系,设正方体的棱长为a, (1)A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0) A1(a,0,a),C1(0,a,a) 设E(0,a,e),则A1E=(-a,a,e-a),
BD=(-a,-a,0),
A1E·BD=(-a)·(-a)+a·(-a)+(e-a)·0=0, ∴A1E⊥BD,即A1E⊥BD.
=(a-1,-2,b+4)，
∵A,B,C共线,∴AB∥AC,则 答案：3 2
a-1 -2 b+4 ,解得a=3,b=2. = = 1 -1 3
6.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC，BP=(x-1,y,-3), 且BP⊥平面ABC,则BP=______. 【解析】∵AB⊥BC,∴AB·BC=0, 即(1,5,-2)·(3,1,z)=3+5-2z=0,则z=4, ∴BC=(3,1,4),
(D)(-a,-b)
b x y 【解析】选B.直线 + =1 可化为y=- x+b, a a b b ∴斜率k=. a
【解析】选C.①正确;②不正确, n1∥ n 2 ;③正确,n ⊥ a ;④正确.
3.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上, 且A1E= 2 A1D,AF= 1 AC,则(
1 a,2a,0).因 2 3 a 为M,N分别为AE,CD1的中点,所以M( a,a,0),N(0,a, ),所以 4 2 a MN=(- 3 a,0, ),取向量 n =(0,1,0),显然 n ⊥平面ADD1A1,又 2 4 MN· n =0,所以MN⊥ n .又因为MN 平面ADD1A1,所以MN∥平面
又∵BP⊥平面ABC,∴BP⊥AB,且BP⊥BC,由BP⊥AB知
BP·AB=(x-1,y,-3)·(1,5,-2) =x-1+5y+6 =x+5y+5=0 ①
答案：
三、Leabharlann Baidu答题（每题8分，共16分）
7.已知在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E,M,N分别是BC,AE,CD1的
中点,AD=AA1=a,AB=2a,求证:MN∥平面ADD1A1. 【解题提示】证明MN⊥平面ADD1A1的法向量即可. 【证明】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
a ,b,0),P(0,y,z). 2
∴DB=(a,b,0),DD1=(0,0,c),PM=( ,b-y,-z). ∵PM∥平面BDD1B1,根据空间向量基本定理,必存在实数对 (m,n),使得PM=mDB+nDD1, 即( ∴
a ,b-y,-z)=m(a,b,0)+n(0,0,c), 2 1 a =ma m= 2 2 b-y=mb, 得 y= 1 b 2
则A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),E(
ADD1A1.
8.(2010·新余高二检测)已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为棱 CC1上的动点.
(1)求证:A1E⊥BD;
(2)若平面A1BD⊥平面EBD,试确定E点的位置.
【解题提示】找直线的方向向量和平面的法向量.
【解析】选C.∵α∥β,∴法向量互相平行,
∴ -2 = -4 = k ,
∴k=4.
1 2 -2
二、填空题（每题4分，共8分） 5.如果三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一直线上,
那么a=_______,b=________.
【解题提示】由向量共线列式求解. 【解析】AB=(2,4,1)-(1,5,-2) =(1,-1,3)， AC=(a,3,b+2)-(1,5,-2)
a 2
-z=nc
2
z∈R,n∈R.
∴点P(0, 1 b,z).∴点P在CD的中垂线上.