正方形的性质与判定精品PPT课件

B
CB
CB
C
对边平行，
四条边都 相等
四个角 都是直角
对角线互相垂直 平分且相等，每 条对角线平分一 组对角
∵四边形ABCD是 正方形
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是 正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠ D=90°
∵四边形ABCD是正 方形
∴AC⊥BD,AC=BD,O A=OB=OC=OD
1、一组邻边相等且有一个角是直角的平行 四边形是正方形
（对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形）
4.已知正方形的一条对角线长为4cm,则它的边长
为 2 2c，m 面积为
。8cm2
AE
P O
F
B
C
5.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为AB上任
意一
5cm
点,PE⊥AC,PF⊥BD,E、F为垂足,则PE+PF= 。
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
A
D
O
B
C
结论：
四边形
平行四边形
矩形 菱形
你觉得什么样的四 边形是正方形呢?
探究（一）
矩形怎样变化后就成了正方形呢 ?
正方矩形 形
〃
2、要使一个矩形成为正方形需 添加的条件是 有一组邻边相等
（填上一个条件即可）
探 究（二） 菱形怎样变化后就成了正方形呢?
正方形
1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是 有一个角是直角 （填上一个条件即可）
正方形对角线AC= 8√2 cm
。
A
B
O
D
C
12.正已方知形正具方有形而的菱一形条不边一长定为具2c有m的,则性这质个是正（方形C）的
周长A为.对8角c线m,对互角相线垂长直为B.对2角,面线2积c互m为相平分. 4cm2
3.正C方.对形角的线对相角等线和它D的.对边角所线成平的分角一是组对4角5度°.
Ｅ
Ａ Ｆ
Ｂ
Ｄ
Ｈ Ｃ
Ｇ
小结
1、正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、正方形有那些性质
边：对边平行，四条边都相等
角：四个角都是直角 对角线：对角线互相垂直平分且相等，
每条对角线平分一组对角等于45°
3、正方形有那些判定方法（请各同学根 据自己的实际具体分类）
正方形的判定方法：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ； △AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
正方形、矩形、菱形、平行四边形四者之间有什么关系？
平行四边形
正
矩方 菱 形形 形
小结
性质
图形
对边平行且相等
四条边都相等 对角相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分 一组对角
平行四 边形
矩形
√√
√√ √
√√
√
菱形 正方形
√√ √√ √√
√ √√ √√
√
√√
知识拓展:与同学讨论后填写下表：
几种特殊四边形的性质
对边平行 且相等
对角相等， 邻角互补
对角线互相平分
中心对称图形
对边平行 四个角 且相等 都是直角
对角线相等 且互相平分
轴对称图形、 中心对称图形
又∵ ∠3+∠2=90°且 ∠1＝∠3 ∴ ∠1+∠2=90° ∴ ∠EFG=90°
∴ 四边形EFGH是正方形（有一个角是直角的 菱形是矩形）．
3
2
1
练习.如图，四边形ＡＢＣＤ是正 方形，Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是四 边的中点。你知道四边形EFGH的 形状吗？为什么？
ＡＨ Ｄ
Ｅ
Ｇ
Ｂ ＦＣ
2.已知:如图,△ABC中.∠ABC=90°,BD是角 平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F.
试说明：四边形DEBF是正方形.
解:∵ DF⊥BC,DE⊥AB,
A
∴ ∠DEB= ∠DFB=90°,
又∵ ∠ABC=90°,
∴四边形DEBF是矩形
ED BF C
∵ BD平分∠ABC, DF⊥BC , DE⊥AB, ∴ DE= DF
∴四边形DEBF是正方形
如图，在矩形ＡＢＣＤ中，四个 角的平分线相交于点Ｅ、Ｆ、Ｇ 、Ｈ，试说明四边形EFGH是正 方形。
对 四 等边边平都行相，对邻角角相互等补，
对角线互相垂直 平分，每条对角 线平分一组对角
轴对称图形、 中心对称图形
对四都边条相平边等行，都四是个直角角
对角线互相垂直平 分且相等，每条对 角线平分一组对角
轴对称图形、 中心对称图形
知识点二：
正方形的判定
图形之间的变化关系
矩形
平行四边形
有一组邻边相等 有一个角是直角
正方形
菱形
正方形的判定方法：
1、一组邻边相等且有一个角是直角的平行 四边形是正方形
（对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形）
2、有一组邻边相等的矩形是正方形
3、有一个角是直角的菱形是正方形
巩固练习：判断下列命题是否正确，不是正 方形的补充什么条件能让它成为正方形？
四个角都相等的四边形是正方形； (×)
探究小结
邻边 相等
发现：
矩形
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
正方形
一组邻边相等的矩形
叫正方形
菱 形 一个角是直角
正方形定义
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正 方形
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
讨论总结:正方形有那些性质?
知识点一：
正方形的性质
观察思考：正方形是中心对称图形吗?
A
DA
∟
∟D A
D
O
∟
轴对称图形 中心对称图形 ∟
证明：∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠ABC=∠BCD=90°；
AB=AD=DC=BC （正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
又∵ AE=BF=CG=DH ∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF 即BE=AH=DG=CF ∴ △AEH≌△BFE≌△CGF ≌△DHG．
∴ EH=EF=FG=GH ∴ 四边形EFGH是菱形
四条边都相等的四边形是正方形； (×)
对角线相等的菱形是正方形；
(√ )
对角线互相垂直的矩形是正方形； (√ )
对角线垂直且相等的四边形是正方形; (×)
四边相等，有一个角是直角的四边形
是正方形.
(√ )
已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别在 AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判 断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
二、例1、如图，正方形ABCD中，
正 （1）一条对角线把它分成 2 个全等的三
方
形
角形。 问：这些三角形是什么三角形？
的A 性 质
（2）两条对角线把
B
它分成 4 个全等的
等腰直角 三角形。
的 应D 用
O
C
（3）对角线AC与正
方形的一边所成的角
为 45 度。
例2、如图，正方形ABCD中，
正方形的面积为64平方厘米，则