关于无穷限反常积分与无界函数反常积分的研究

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01.ln 1ln A B A 00A B 00B A xdx B dx x

x x x x ======⎰⎰关于无穷限反常积分和无界反常积分的研究

判断无界反常积分(暇积分)和定积分

请分别判断，是定积分还是反常积分因为中处被积函数无界，所以是它的暇点，所以是反常积分。

因为中处被积函数有界为0，所以不是它的暇点，所以是定积分。

2.无穷限反常积分与无界反常积分的审敛法比较

a.无穷限反常积分(书上的结论全部是在当f(x)>00()()()()()()()a a p f x g x a x g x f x M M f x f x x x

+∞+∞≤≤≤≤+∞≤≤⎰

⎰的情况下给出的，

至于f(x)<0时会怎么样呢？)

反常积分的审敛首先要清楚的一点是，被积函数收敛性与反常积分收敛性的关系。收敛函数的反常积分也收敛，发散函数的反常积分也发散。

比较审敛原理：时，若收敛，则比较审敛法和极限审敛法，这两个其实是一回事，都是将被积函数和p 级数进行比较。 时收敛 ()().1()()p q b

q a x f x xf x b x a dx x a +≤-∞-⎰时发散存在时收敛 存在时发散

无界函数反常积分(暇积分)能不能也将被积分函数和p 级数比较呢？

是不是也有q 1时发散，p>1时收敛呢的结论呢？ 答案是否定的！！！

因为无穷限反常积分和幂级数里面都是x->,所以审敛法与级数审敛法很接近，

很好理解，而无界函数在暇点处则不是趋近于无穷而是0。所以审敛法有些不一样。现在考虑这个暇积分()11()

0()()11q p b q b q a a x a p x x a dx x a x a q +--∞-->⎡⎤-⎢⎥--⎣⎦≥⎰

被积函数为，暂且把它叫作q 级数，它和级数有些相似，但p 级数中x->而q 积数中。正是因为这个区别导致=的敛散性与p 级数有着相反的结论: 当q<1时积分收敛，当q 时积分发散