高等数学---高阶导数

内容小结
高阶导数的求法
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式
如,
a
1
x
(n)
(1)n
(a
n! x)n1
1 ax
(n)
n! (a x)n1
(4) 利用莱布尼兹公式
思考与练习
1. 如何求下列函数的 n 阶导数?
(1) y 1 x
解:
1 x
y(n)
2 (1)n
,
,
y(n)
(1)n1
(n 1)!
(1 x)n
规定 0 ! = 1
思考:
例4. 设
求
解:
y
cos x
sin(x
2
)
y
cos(
x
2)ຫໍສະໝຸດ sin(x22
)
sin(x
2
2
)
y
cos( x
2
2
)
sin(x
3
2
)
一般地 ,
(sin
x)(n)
sin( x
n
2
)
类似可证:
(cos
x)(n)
cos(
x
n
2
)
例5 . 设 y eax sin bx (a ,b为常数), 求 y(n).
解: y aeax sin bx beax cos bx eax (a sin bx b cos bx)
eax a2 b2 sin(bx ) ( arctan b)
a y a2 b2
a2 b2 eax a2 b2 sin(bx 2)
a
2
b2 (
a
y(n) (aa22
提示: f (x) 2 f (x) f (x) 2![ f (x)]3
f( x) 2! 3[ f (x)]2 f (x) 3! [ f (x)]4
3. 试从
导出
解：d2 x d y2
d dy
dx dy
d dx
1 y
dx dy
1 y
同样可求
d d
3x y3
(见 P101 题4 )
snin b22)2 e
abxxsin(bax2bnb2
cos bx)
) (
arctan
b
)
a
cos
sin
例6. 设 f (x) 3x3 x2 x , 求使 f (n) (0) 存在的最高
阶数 2
分析:
f
(x)
4x3, 2x3,
x0 x0
f
(0)
lim
x 0
2x3 x
0
0
f (0)
lim
x0
4x3 0 x
0
f
(
x)
12x 2 , 6x2,
x0 x0
又
f
(0)
lim
x0
6
x x
2
0
f
(0)
lim
x0
12x x
2
0
f
( x)
24x 12x
, ,
x0 x0
但是 f(0) 12 , f(0) 24 , f (0) 不存在 .
二、高阶导数的运算法则
设函数
及
都有 n 阶导数 , 则
(C为常数) n(n 1) 2!
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
例1. 设
求
解: y a1 2a2 x 3a3x2 nan xn1 y 2 1a2 3 2a3x n(n 1)an xn2
依次类推 , 可得
y(n) n!an
思考: 设 y x ( 为任意常数), 问
n! (1 x)n1
(2) y x3
解:
1 x
y(n)
n! (1 x)n1
,
n3
(3)
y
x2
1 3x
2
提示:
令
1
(x 2)(x 1)
AB x 2 x 1
A (x 2) 原式
1
x2
B (x 1) 原式
1
x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)
(1)n n!
( x
1 2)n1
(1) 设
f
(x)
(x2
3x
2)n
cos
x2
16
,
则
f (n) (2)
n!
2 2
提示:
(x 2)n (x 1)n cos x2
16
各项均含因 子(x–2)
n! (x 1)n cos x2
16
(2) 已知 f (x) 任意阶可导, 且 f (x) [ f (x)]2 , 则当
n 2 时 f (n) (x) n ! [ f (x)]n1
n(n 1)(n k 1) k!
莱布尼兹(Leibniz) 公式
例7.
求
解: 设 u e2x , v x2 , 则
u(k) 2k e2x ( k 1 , 2 ,, 20 )
v 2x , v 2 ,
v(k) 0 (k 3 ,, 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
y(20) 220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2
第三节 高阶导数
一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则
一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动
速度
即 v s
加速度
即
a (s)
定义. 若函数 y f (x) 的导数 y f (x) 可导, 则称
的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 或
即
y ( y)
或
d2 y d x2
d (dy) d x dx
2!
例8. 设
求
解:
y
1
1 x
2
,
即
(1 x2 ) y 1
用莱布尼兹公式求 n 阶导数
(1 x2 )
2x
2
令
得
由
得
y(2 m) (0) 0
由
得 y(2m1) (0) (1)m (2m)! y(0)
即 y(n) (y0()2m1)((010))m,((2m1)!m,(2mnn )!22ymm(0)1 (m 0,1, 2,)
(x
1
1)
n1
(4) y sin6 x cos 6 x
解:
sin4 x sin2 x cos 2 x cos 4 x
1 3 sin2 2x 4
sin2 1 cos 2
2
y(n)
3 8
4n
cos(4x
n
2
)
a3 b3 (a b) (a2 ab b2 )
2. (填空题)
例2. 设 y eax , 求 y(n).
解: y aeax , y a2 eax , y a3eax , ,
y(n) aneax
特别有: (ex )(n) e x
例3. 设
求
y 1 1 x
y
1 (1 x)2
解:
y 1 , 1 x
y
1 (1 x)2
,
y
(1)2
1 (1
2 x)3