离散数学第五版 耿素云 屈婉玲 张立昂编著

AAA AAA
3. 交换率
AB B A
AB B A
4. 结合律
(AB)C A(BC) (AB)C A(BC)
5. 分配律
(AB)C (AC)(BC)
(AB)C (AC)(BC) 30
等值式
6. 德摩根律 (AB)AB (AB)AB
2) 其它类型的句子，如疑问句、祈使句、感叹句均没有真假 意义，因为均不是命题。 在数理逻辑中，命题的真值的真和假，有时分别用1和0来 表达，也有时分别用T和F来表达。
7
命题与联结词
如何判断命题：
1) 首先判断其是否为陈述句
2) 其次判断其是否有唯一真值
例1：判断下列句子是否为命题，真值如何？
（1）10是整数。
可符号化为 。
不要见到“与”或“和”就使用联结词 。
13
命题与联结词
例4：将下列命题符号化。
（1）吴颖既用功又聪明。 （2）吴颖不仅用功而且聪明。 （3）吴颖虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学。
p q p q
p q
p q
s
p:吴颖用功。 r:张辉是三好学生。
2) 多次使用联结词集中的联结词，可以组成更为复杂的复合命 题。求复杂复合命题的真值时，还要规定联结词的先后顺序。 将括号也算在内，这个顺序为（），，，，，对， 同一优先级 的联结词，先出现者先运算。
例如: ( ((P∧Q)∨R)→((R∨P)∨Q))
可写成:(P∧Q∨R)→R∨P∨Q
6
命题与联结词
一、命题 定义：能判断真假的陈述句，被称为命题。
说明：1) 命题的真值：作为命题所表达的判断只有两个结果：正确和
错误，此结果称为命题的真值。 命题是正确的，称此命题的真值为真；命题是错误的，称此 命题的真值为假。 真值为真的命题称为真命题 ；真值为假的命题称为假命题。 任何命题的真值都是唯一的。
3
学习目的
❖ 初步掌握现代数学的观点和方法； ❖ 初步掌握处理离散结构和方法，提高计算机系
统设计和程序设计的逻辑数字的能力； ❖ 初步掌握计算机在进行数的处理时的方法和计
算； ❖ 培养学习抽象思维和缜密思考的能力；
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离散数学
第一章 命题逻辑
首都师范大学教育技术系
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第一章 命题逻辑
一、 命题与联结词 二、 命题公式及其赋值 三、等值式 四、析取范式与合取范式 五、联结词的完备集 六、推理的形式结构 七、自然推理系统P
真命题
（2）北京是我们祖国的首都。
真命题
（3）雪是黑的。 （4）x大于y。 （5）向右看齐！ （6）你吃饭了吗？
假命题
真值不唯一 非命题 祈使句 非命题 疑问句 非命题
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命题与联结词
例1： 判断下列句子是否为命题，真值如何？
（7）本命题是假的 。
悖论 非命题
（8）我正在说谎。
悖论 非命题
（9）2014年元旦是晴天。
（3）2+2 4当且仅当3是奇数。 （4）2+2 4当且仅当3不是奇数。
p: 2+2=4。 q: 3是奇数。
p q pq p q
p q
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命题与联结词
6. 说明
1) 由联结词集｛，，，｝中， 的一个联结词联结一个或两个原 子命题组成的复合命题是简单的复合命题，可以称他们为基 本的复合命题。
7. 吸收律 A(AB)A A(AB)A
8. 零律 A11
A00
9. 同一律 A0A
A1A
10. 排中律 AA1
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等值式
11. 矛盾律
A 0
12. 蕴涵等值式 A A B
13. 等价等值式 AB (AB)(BA)
14. 假言易位 AB B A
p:张明正在睡觉。 q:张明正在游泳 pq 排斥或 p:李强是位排球队员。 q:李强是位足球队员 pq 相容或
p:张静挑选202房间。 q:张静挑选203房间 （ p q）（p q）
p q不正确
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命题与联结词
4. 蕴含 符号：
定义1.4：设p，q为二命题，复合命题“如果p，则q” 称为p与q的蕴
离散数学
1
教材及参考书(1) 教材
耿素云，屈婉玲，张立昂：离散数学(第三版)，清 华大学出版社
2
教材及参考书(2)
参考书
耿素云：离散数学(修订版)， 高等教育出版社
屈婉玲，耿素云，张立昂：离散数学题解 （修订版），清华大学出版社
李盘林，李丽双，李洋，王春立：离散数学， 高等教育出版社
① p:0 q:0 r:0 ② p:1 q:0 r:1 ③ p:0 q:1 r:0
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第一章 命题逻辑
一、 命题与联结词 二、 命题公式及其赋值 三、等值式 四、析取范式与合取范式 五、联结词的完备集 六、推理的形式结构 七、自然推理系统P
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等值式
一、等值 1. 定义2.1
设A、B是两个命题公式，若A，B构成的等价式AB为重 言式，则称A与B是等值的，记作AB。
1. 否定 符号：
定义1.1：设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否
定式，记作 p ，符号称为否定联结词。规 定 p为真当
且仅当p为假。
真值表： p p
0
1
1
0
性质： pp
说明： 1) 是一元联结词
2) 念作“等值”，表示该符号两边的两个命题在任
价式，记作p q ，符号 称为等价联结词。并规定p q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假。
真值表： P Q
00 01 10 11
PQ
1 0 0 1
p q 的逻辑关系为q与p的互为充
分必要条件。
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命题与联结词
例7：将下列命题符号化。
（1）2+2=4当且仅当3是奇数。 （2）2+2=4当且仅当3不是奇数。
含式，记作p q ，并称p是蕴含式的前件，q为蕴含式的后件， 符号 称为蕴含联结词。并规定p q为假当且仅当p为真q
为假。
真值表：
PQ 00 01 10 11
PQ
1 1 0 1
p q的逻辑关系为q是p的必要条件
p是q的充分条件。
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命题与联结词
4. 蕴含 符号：
注意：1) 在自然语言和数学中，有很多方式来描述蕴含，例如：“只 要p，就q”，”因为p，所以q”，”p仅当q”，”只有q才 p”，”除非q才p”，”除非q，否则非p”，q是p的必要条件，
因而所用的联结词应符号化为 ，各种描述方式都应该符 号化为p q。
2) 在自然语言中，“如果p，则q”中的前件p与后件q往往具有 某种内在联系，而在数理逻辑中，p与q可以无任何内在联系。
3) 在数学或其它自然科学中，“如果p，则q”往往表达的是前 件p为真，后件q也为真的推理。但在数理逻辑中，作为一种
但有时为了看起来清楚醒目, 也可以保留某些原可省去的括号。
3) 我们只关心复合命题中命题之间的真值关系，而不关心命题
的内容。
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命题与联结词
例 8 将下列命题符号化
① 设P表示“他有理论知识”, Q表示“他有实践经验”, 则“他
既有理论知识又有实践经验”可译为:
。
② 设P: 明天下雨, Q: 明天下雪, R: 我去学校。 则
自然语言中的“或”具有二义性，用它做联结的命题有时具 有相容性，有时具有排斥性，对应的联结词分别称为相容或 和排斥或
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命题与联结词
例5：将下列命题符号化。
（1）张明正在睡觉或游泳。 （2）李强是位排球队员或是足球队员。 （3）他昨晚做了二十或三十道题。 或表示约数，不能用析取 （4）张静只能挑选202或203房间。
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等值式
q:吴颖聪明。 s:王丽是三好学生。
t:张辉与王丽是同学。
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命题与联结词
3. 析取 符号：
定义1.3：设p，q为二命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，
记作p q ，符号称为析取联结词。并规定pq为假当且仅当
p与q同事为假。
真值表：
PQ
00
P Q
0
01
1
10
1
11
1
注意：1)
（5）若2+2=4，则太阳从西方升起。
（6）若2+2 4，则太阳从西方升起。
s t st
s r sr
p:天下雨。 q:我骑自行车上班。 s:2+2=4。 t:太阳从东方升起
r:太阳从西方升起。
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命题与联结词
5. 等价 符号：
定义1.5：设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q” 称为p与q的等
((pq)(pr))(p(qr))
((pq)(pr)) 1 1 1 1 0 0 0 1
(p(qr)) 1 1 1 1 0 0 0 1
((pq)(pr))(p(qr)) 1 1 1 1 1 1 1 1
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等值式
二、16组重要的等值式
1. 双重否定 A A
2. 等幂律
15. 等价否定等值式 AB AB
16. 归谬论
(AB)(AB) A
32
等值式
注意： 以上的16组等值式都是用元语言符号书写的， 称这样的等值式为等值式模式。可以将这些元 语言符号用具体的命题公式代替，则这些具体 命题公式被称为等值式模式的代入实例。
33
等值式
三、等值演算 1. 定义
2. 注意
不是联结符，它是用来说明A与B的等值，要与区分清楚。
3. 如何判断两个命题公式是否等值？
方法一：通过真值表比较在各相同赋值情况下，真值是否相同。 方法二：将A，B构成 AB等价式，判断其是否为重言式。
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等值式
例1：判断下面两个公式是否等值：
(pq)
pq
PQ 00 01 10 11
(pq) 0 0 0 1
pq 0 0 0 1
(pq) (pq) 1 1 1 1
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等值式
例2：判断下面公式是否等值：
(pq) (p q) q
pq
(pq)
(pq)
00
0
0
01
0
0
10
0
1
11
1
0
(pq)(pq)
0 0 1 1
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等值式
pqr 000 001 010 011 100 101 110 111
规定，当p为假时，无论q是真还是假，p q均为真，也
就是说，只有p为真q为假这一种情况，使得复合命题p
q为假。
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命题与联结词
例6：将下列命题符号化。
（1）只要不下雨，我就骑自行车上班。 （2）只有不下雨，我才骑自行车上班。
p q
qp
（3）若2+2=4，则太阳从东方升起。
（4）若2+2 4，则太阳从东方升起。
是命题 真假未定
9
命题与联结词
二、命题符号化
本书中用小写字母p，q，r来表示命题。 例 2: p:10是整数。
q：北京是我们祖国的首都。 r:雪是黑的。 三、原子命题（简单命题） 定义：不能被分解为更简单的命题的命题，称为原子命题。 四、复合命题
定义：由若干个原子命题用命题联结词联结而成的命题， 称为复合命题。
由已知等值式推演出另外一些等值式的过程为等值演算。
2. 等值演算规则
置换规则 设(A)是含公式A的命题公式，(B)是用公式B 置换了(A)中所有的A后得到的命题公式，若A B，则
(A) (B)
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等值式
3. 等值演算的用途
（1） 证明等值式
例3：用等值演算法验证等值式： (pq)r(pr)(qr) (pq)((pq)(pq))
(i) “如果明天不是雨夹雪则我去学校”可写成
;
(ii) “如果明天不下雨并且不下雪则我去学校”可写成
;
(iii) “如果明天下雨或下雪则我不去学校”可写成
;
(iv) “ 当 且 仅 当 明 天 不 下Fra Baidu bibliotek雪 并 且 不 下 雨 时 我 才 去 学
校
;
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命题与联结词
例9：求式子的真值。
(q r) ( p r)
何情况下真值相同。
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命题与联结词
2. 合取 符号：
定义1.2：设p，q为二命题，复合命题“p并且q”（或“p与q”）称为p
与q的合取式，记作pq ，符号称为合取联结词。并规定pq
为真当且仅当p与q同时为真时为真。
真值表：
PQ
PQ
00
0
01
0
10
0
11
1
注意：1) 2)
自然语言中的“既……，又……”，“不但……，而且……”， “虽然……，但是……”，“一面……，一面……”等联结次
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命题与联结词
例3：判断下列命题是否为复合命题。
（1）5能被2整除。
原子命题
（2）2是素数当且仅当三角形有三条边。 复合命题
（3）4是2的倍数或是3的倍数。
复合命题
（4）李明与王华是同学。
原子命题
（5）蓝色和黄色可以调配成绿色。
原子命题
（6）2不是合数。
复合命题
11
1.1 命题与联结词
五、命题联结词