高中数学第四讲数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式同步检测含解析新人

4.2用数学归纳法证明不等式 一、选择题
1. 用数学归纳法证明不等式：2413212111>+++++n n n （1>n ，*∈N n ），在证明1+=k n 这一步时，需要证明的不等式是（ ）
A ．2413
212111>+++++k k k B ．
2413
121213111>+++++++k k k k C ．
24
13
121213121>+++++++k k k k D ．
24
13
221121213121>+++++++++k k k k k 答案：D
解析：解答：当1+=k n 时，那不等式左边的式子中的n 都换成1+k ，得到
24
13
221121213121>+++++++++k k k k k ． 分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据
2. 用数学归纳法证明不等式()111
1n 1>23
22
n n N *-++++
∈，第二步由k 到k+1时不等式左边需增加（ ） A ．12k B.111
212k k
-++
C.
111
1121222k k k --+
+++ D.
1111
1
21222k k k
--+++
++ 答案：D
解析：解答：由题意，n=k 时，最后一项为11
2k -，n=k+1时，最后一
项为12
k ∴由n=k 变到n=k+1时，左边增加了2k -（2k-1+1）+1=2k-1
项，
即为
111
1
1
2122
2k k k
--++
+
++故选D ． 分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据根据数学归纳法证明的步骤分析计算即可
3. 用数学归纳法证明24
13212111>+++++n n n 时，由k 到k+1，不等式左端的变化是（ ）
A.增加)1(21+k 项
B.增加121+k 和2
21
+k 两项
C.增加
121+k 和221+k 两项且减少1
1
+k 一项 D.以上结论均错 答案：C
解析：解答：n=k 时，左边=11k ++12k ++......+1
k k
+，
n=k 时，左边=()111k +++()112k +++……+()()1
11k k +++
=(
11k ++12k ++......+1k k +)-11k ++121k ++
1
22
k + 故选C
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根
据观察不等式“2413
212111>+++++n n n 左边的各项，他们都是以 11n +开始，以 1
2n
项结束，共n 项，当由n=k 到n=k+1时，项数也由k 变到k+1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论．
4. 用数学归纳法证明：“*
11
11(1,)23
21
n
n n n N +
+++
<>∈-”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是（ ）
A ．12k -
B ．21k -
C ．2k
D ．21k + 答案：C
解析：解答：因为用数学归纳法证明：“*111
1(1,)2
3
21
n
n n n N +++
+
<>∈-”时，由(1)n k k =>不等式成立，等式左边有21k -，因此推证1n k =+时，左边应121+-k ，因此应该增加的项数是2k ，选C
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的方法分析计算即可 5. 用数学归纳法证明111
123
21
n
n ++++<- （,1n N n +∈>）时，第一步应验证不等式（ ）
A ．1122+<
B ．111223
++<
C ．11132
3
++< D ．11113234
+++< 答案：B
解析：解答：数学归纳法中，一般情况下第一步验证1n =时的情况。

因为本题中要求1n >，所以第一步验证2n =的情况，而2213-=，所以此时验证不等式11
1223
+
+<，故选B. 分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤分析计算即可 6. 用数学归纳法证明不等式1
1111271()2
4
264
n n N *-++++
>∈成立，其n 的初始值至少应为 ( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10 答案：B
解析：解答：因为1111111212112
4
2212
n n n n ---
-+++
+==-，当8n =时，左边
=
255127
12864
> 分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式分析计算即可 7. 利用数学归纳法证明不等式111
123
21
n +
+++
-<f （n ）（n≥2，n ∈N *
）的过程中，由n ＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了（ ） A ．1项 B ．k 项 C ．2k －1
项 D ．2k
项
答案：D
解析：解答：n k =时左面为111
123
21
k ++++
-，1n k =+时左面为1111123
21
k +++++
-，所以增加的项数为()()121212k k k
+---=
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤分析计算即可解决问题 8. 用数学归纳法证明不等式3331
1111223n n
<-＋＋＋＋ (n ≥2,n ∈N ＋)时,第一步应验证不等式（ ） A.3111222<-＋ B.3311112233
<-＋＋ C.3111223<-＋
D.33111
12234
<-＋＋ 答案：A
解析：解答：n 0＝2时,首项为1,末项为
3
1
2 分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤分析即可
9. 在用数学归纳法证明不等式“当2n ≥ 时
1119
12
310
n n n +++
>++ ”时，第2步由n =k (k ≥2)不等式成立，推证n =k +1时左边的表达式为（ ）
A. 111123k k k
++
+++
B.
111
1231
k k k ++++++ C.()111111233313231k k k k k k +++
++++++++ D.()
111111123313231k k k k k k ++
+
++++++++ 答案：C
解析：解答：本题考查了数学归纳法的步骤的第二步②注意从k 到
k +1的变化. 显然
1
3k
不是第k 项，应是第2k 项，数列各项分母是连
续的自然数，最后一项是以3k 收尾故n =k +1时最后一项应为()1
31k +
所以在3k 后面还有3k +1、3k +2.最后才为3k +3即3(k +1)应选择C 分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据观察不等式结合数学归纳法证明不等式的步骤分析即可
10. 1n ＋ (n ∈N ＋)”的过程中的第二步
n ＝k ＋1时(n ＝1已验，n ＝k 已假设成立)，这样证明：
()11k ＋＋ ，
∴当n ＝k ＋1时，命题成立，此种证法( )
A.是正确的
B.归纳假设写法不正确
C.从k 到k ＋1推理不严密
D.从k 到k ＋1的推理过程未使用归纳假设
答案：D 解析：
解答：∵在上面的证明中，当n ＝k ＋1时证明过程没有错误，但没有用到当n ＝k 时的结论，这样就失去假设当n ＝k 时命题成立的意义，也不能构成一个递推关系，这不是数学归纳法.∴A 、B 、C 都不对，选D.
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤分析即可 二、填空题
11. 利用数学归纳法证明不等式：111
1(,1)23
21
n n n N n +++⋅⋅⋅+
<∈>-时，由()1n k k =>不等式成立推证1n k =+时，左边应添加的代数式是 答案：
1111221
21
k k
k ++++
+-
解析：解答：利用数学归纳法证明不等式：
1111(,1)2321
n n n N n +++⋅⋅⋅+<∈>-时，由()1n k k =>不等式成立推证1n k =+时，左边应添加的代数式是
111
1221
21
k k k ++++
+-
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据
12.用数学归纳法证明不等式111112712
4
264
n -++++
>成立，起始值至少应取为 ． 答案：8
1n
22-=-，当n=8时，和为2-2-7故答案为8
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据注意观察式子的结构特点，先求和，再确定使不等式成立的n 值
13. 用数学归纳法证明不等式11n +＋12n +＋…＋1n n +>13
24
的过程中，
由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是_______ 答案：()()1
2122k k ++
解析：解答：不等式的左边增加的式子是
121k +＋122k +－1
1
k +＝()()12122k k ++，故填()()1
2122k k ++.
分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤分析计算即可 三、解答题
14. 用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=
*)(2
)
4)(3(N n n n ∈++． 答案：证明：①当n=1时，左边=1+2+3+4=10，右边=
2
)
41)(31(++10= 左边=右边．
②假设n=k 时等式成立，即1+2+3+…+（k+3）=
2
)
4)(3(++k k 那么n=k+1时，等式左边=1+2+3+…+（k+3）+（k+4）=2
)
4)(3(++k k +
（k+4）
=2
)5)(4(++k k 等式成立．
综上1+2+3+…+（n+3）=
*)(2
)
4)(3(N n n n ∈++成立． 解析： 分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据第一步验证当n=n 0时命题成立，第二步假设当n=k 时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第
二步假设中结论证明当n=k+1时成立 15、用数学归纳法证明不等式*)(2131211N n n n
∈<+
+++
答案：证明：①当n=1时，左边=1，右边=2，∴n=1不等式成立． ②假设当n=k （k≥2）时成立，即*)(2131211N k k k
∈<++++
那么当n=k+1时，左边=1
121
113
1211++
<++++++
k k k k
∵4k 2+4k ＜4k 2
+4k+1，可得k k +2212+<k ，
即：121
221
1
21
1
121
122+=++<
+++=
+++=
++
k k k k k k k k k k k ．这就是说
n=k+1时不等式也成立．
综上①②可知不等式对所有的n ∈N *
解析： 分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据第一步验证当n=n 0时命题成立，第二步假设当n=k 时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立
16. 若),,3,2,1(0n i x i ⋅⋅⋅=>，观察下列不等式：
,,9)1
11)((,4)11)(
(3
213212121⋅⋅⋅≥++++≥++x x x x x x x x x x 请你猜测)1
11)((2121n
n x x x x x x ⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++满足的不等式，并用数学归纳法加以证明.
答案：解答：满足的不等式为)2()1
11)(
(22121≥≥⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++n n x x x x x x n
n , 证明如下：①当n=2时，猜想成立；
②假设当n=k 时，猜想成立，即2
2121)111)((k x x x x x x k
k ≥⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++，
那么n=k+1时
121121
12121121122221111()()1111111()(
)()()1121(1)k k k k k k k k k k
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k k k k ++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅++⋅⋅⋅+≥+≥++=+ 则当n=k+1时猜想也成立，根据①②可得猜想对任意的n(n 2,≥∈n N 且)都成立.
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式结合所给不等式分析计算证明即可 17. 观察下列各不等式：
213
1,22+< 221151,233
++< 22211171,2344+++< 2222111191,23455
+
+++< …
（1）由上述不等式，归纳出一个及正整数(2)n n ≥有关的一般性结论；
答案：解：（1）观察上述各不等式，得到及正整数n 有关的一般不等式为
222
2111
1211,*,234n n N n n
-+
++++
<∈且2n ≥.
（2）用数学归纳法证明你得到的结论． 答案：以下用数学归纳法证明这个不等式． 证明：①当n=2时，由题设可知，不等式显然成立. ②假设当n=k 时，不等式成立，即
222
2111
1211,234k k k
-+
++++
<
那么，当n=k+1时，有
222
22111111234(1)k k +++++
++2
211(1)k k k -<++ 211
(1)k k k k -<
++
111(2)()1
k k k =-+-+
12(1)1
211
k k k +-=-
=++. 所以当n=k+1时，不等式也成立.
根据①和②，可知不等式对任何*n N ∈且2n ≥都成立.
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据1）由上述不等式，归纳出表达式的左侧的关系及右侧分子及分母的特征写出一个正整数*n N ∈，2n ≥有关的一般性结论；（2）利用数学归纳法证明步骤，直接证明即可.
18. 设()n n n f n
-⎪⎭
⎫
⎝⎛+=11，其中n 为正整数．
（1）求)1(f ，)2(f ，)3(f 的值；
答案：解：分别把n=1、2、3代入()n n n f n
-⎪⎭
⎫
⎝⎛+=11
求得27
17)3(,21)2(,1)1(-==
=f f f （2）猜想满足不等式0)(<n f 的正整数n 的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．
答案：猜想：0)11()(,3<-+=≥n n
n f n n
证明：①当3=n 时，027
17
)3(<-
=f 成立 ②假设当k n =),3(*N n n ∈≥时猜想正确，即()011<-⎪⎭
⎫
⎝⎛+=k k k f k
∴k k k
<⎪⎭
⎫
⎝⎛+11 由于)1
11()11()111()111(1111
+++<++++
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++k k k k k k k k 11
)111(+<++=++
<k k k
k k k ∴1)111(1+<+++k k k ，即()0)1(11111
<+-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++=++k k k f k 成立
由①②可知，对
0)11()(,3<-+=≥n n
n f n n
成立 解析： 分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据（1）数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决及正整数有关的数学问题；（2）用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值0n 是多少；（3）由k n =时等式成立，推出1+=k n 时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写. 19. 设n 个正数12,,
,n a a a 满足12n a a a ≤≤
≤（*N n ∈且3n ≥）．
（1）当3n =时，证明：
2331
12123312
a a a a a a a a a a a a ++++≥； 答案：证明：因为n a （*N n ∈且3n ≥）均为正实数，
左—右=1323231312
12123231312111222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
123111222222a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
≥
=0，
所以，原不等式231312
123123
a a a a a a a a a a a a ++++≥成立
（2）当4n =时，不等式23341241
12343412
a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++≥也成立，请你
将其推广到n （*N n ∈且3n ≥）个正数12,,,n a a a 的情形，归纳出一般性
的结论并用数学归纳法证明． 答案：归纳的不等式为：
23
2111
121234
12
n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---+++
++++≥+（*N n ∈且3n ≥）．
记()23
2111
12123412
n n n n n n n n a a a a a a a a a a a F a a a a a a a ---=
+++
+-++++，
当3n =（*N n ∈）时，由（1）知，不等式成立； 假设当n k =（*N k ∈且3k ≥）时，不等式成立，即
()23
2111
121234
12
0k k k k k k k k a a a a a a a a a a a F a a a a a a a ---=
+++
+-+++≥+．
则当1n k =+时，
()23
211111
12112134
112
k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a F a a a a a a a a a ---+++++=
+++
++-+++++
=111111
111212
k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a F a a a a a a -++-+++
+---+ =()11111
112111k k k k k k k k a a F a a a a a a
a a a -+++⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ ()2
1111111101k k k k k k k a a a a a a a a a a +++⎛⎫
⎛⎫+-+--
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
≥+
=()1111
1k k k k k k k a a a a a a a a a +++⎛⎫
+-+-
⎪⎝⎭， 因为1k k a a +≥，112k k a a a a +≥，111
11
2k k k k k k a a a a a a +++++++=≤， 所以10k F +≥，
所以当1n k =+，不等式成立．
综上所述，不等式23
2111
121234
12
n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++
+
++++≥+（*N n ∈且3n ≥）
成立．
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据（1）由于
12
3
a a a 及
231
a a a 积为22a ，
所以利用基本不等式进行证明：
23122312a a a a a a a +≥=，23313122a a a a a a a +≥，3112132a a a a a a a +≥2，三式相加得2331
12123312
2(
)a a a a a a a a a a a a ++++≥2()，即
2331
12123312a a a a a a a a a a a a ++++≥（2）本题结构对称，易于归纳出
23
2111
121234
12
n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---+++
++++≥+，用
数学归纳法证明时的难点在于明确1n k =+时式子及n k =式子关系：其差为
111111
11212
k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a -++-++--+，问题转化为证明
111111
111212
k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a -++-+++--≥+，这可利用作差，因式分解得证. 20. 已知
11
1()123
f n n
=+++
+
．经计算得
5
(4)2,(8),2
f f >>7(16)3,(32)2f f >>．
（1）由上面数据，试猜想出一个一般性结论；
答案：解：由题意知，2
322532
(2)2,(2)222
f f ++>=
>=…1分 4542752
(2)3,(2)222
f f ++>=
>=． 由此得到一般性结论：1
3
(2)2
n n f ++>
（或者猜测2
(2)(2,)2
n
n f n n N +>
≥∈也行） （2）用数学归纳法证明你的猜想．
答案：证明：①当1n =时，2
11125413(2)12341222
f +=+++=
>=， 所以结论成立
②假设(1,)n k k k N =≥∈时，结论成立，即1
3
(2)2
k k f ++>
那么，1n k =+时，21112
11
1111(2)123
22122
2k k k k k f +++++=++++
++++++
112
311
122122
2k k k k ++++>
++++++
1222
231113213
222
2222
k k k k k k k k +++++++++>+++
+
=+=
所以当1n k =+时，结论也成立．
综上所述，上述结论对1,n n N ≥∈都成立，所以猜想成立．
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据（1）由归纳推理进行猜想；（2）利用数学归纳法的步骤进行证明
21. 已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于任意n ∈N *
，都有
1111
11
22111
n n n n
a a a a n n ++++<<+-+ 成立，且24a =． （1）求1a ，3a 的值；
答案：解：因为11111122111
n n n n
a a a a n n ++++
<<+-+ ，24a = 当1n =时，由21211111
222a a a a ⎛⎫+
<+<+ ⎪⎝⎭
，即有1112212244a a +<+<+，
解得1283
7
a <<．因为1a 为正整数，故11a =．
当2n =时，由331111
26244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭
，
解得3810a <<，所以39a =．
（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并给出证明． 答案：解：由11a =，24a =，39a =，猜想：2
n a n =
下面用数学归纳法证明．
①当1n =，2，3时，由（1）知2
n a n =均成立．
②假设()3n k k =≥成立，则2
k a k =，
由条件得()22111111
212k k k k a k a k ++⎛⎫+
<++<+ ⎪⎝
⎭， 所以()()23121111
k k k k k k a k k k ++-+<<
-+-， 所以()()2
2
1
2111111k k k a k k k k +++-
<<++-+- 因为3k ≥，21011k k k +<
<-+，
1
011
k <<-， 又1k a *
+∈N ，所以()2
11k a k +=+． 即1n k =+时，2
n a n =也成立．
由①，②知，对任意n *∈N ，2
n a n =．
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据（1）先列出1a 所满足条件21211111
222a a a a ⎛⎫+
<+<+ ⎪⎝⎭
，化简得128
37
a <<，再根据数列{}n a 的各项均为正整数这一限制条件求出11a =，同理可得39a =（2）猜想：2
n a n =，用数学归纳法证明的关键由k 成立推出k+1成立，其推导思路同（1）：由条件得
()22111111212k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭
，所以()()23121111k k k k k k a k k k ++-+<<-+-，所以()()2
2
12111111k k k a k k k k +++-
<<++-+-因为3k ≥，2
1011
k k k +<<-+，1011
k <
<-，所以()2
11k a k +=+ 22. 证明：)(121
215
13
11*N n n n ∈-≤-+
++
+
答案：证明： ①当1=n ，不等式显然成立．
②假设),1(*N k k k n ∈≥=时不等式成立， 即,121
21311-≤-+
++
k k
当1+=k n 时， 左边=1
21121
211
21311++
-≤++
-+
++
k k k k
1
21
2)
12()12(1211212++++-≤
+++-=
k k k k k k .121
212+=++=
k k k 不等式成立．
由①②可知，对一切*
N n ∈都有).(121
213
11*N n n n ∈-≤-+
++
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据
23. 由下列不等式：1
12>，1
1
1123++>，1
1
13123
72++++
>，11
1
1223
15
++++
>，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．
答案：解：根据给出的几个不等式可以猜想第n 个不等式，即一般不等式为：
1111()23
212
n
n
n *++++
>∈-N ． 用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，1
12>，猜想成立； ②假设当n k =时，猜想成立，即1
1
1123212
k k
++++
>-， 则当1n k =+时，
111111111111211232122121222121222k k k k k k k k k k k k ++++++++++++>++++>+=-+-+-，即当1n k =+时，猜想也正确，所以对任意的n *∈N ，不等式成立．
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关
键是根据根据已知不等式猜想第n 个不等式，然后利用数学归纳法证明即可
24. 设曲线cx bx ax y ++=2
3213在点(,)A x y 处的切线斜率为()k x ,且(1)0k -=.对一切实数x ,不等式2
1()(1)2
x k x x ≤≤
+恒成立(a ≠0). (1) 求(1)k 的值； 答案：解：由1)1(1)1(2
1)(2
≤≤+≤
≤k x x k x 得，所以1)1(=k (2) 求函数()k x 的表达式；
答案：解：)0()(2≠++='=a c bx ax y x k ，由1)1(=k ，0)1(=-k 得
21
,210
1==+⇒⎩⎨
⎧=+-=++b c a c b a c b a 又)1(21
)(2+≤≤x x k x 恒成立，则由)0(02
12≠≥+-a c x ax 恒成立得
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨
⎧
=+≤-=∆>2104410c a ac a 41==⇒c a ， 同理由02121)21(2≥-++-c x x a 恒成立也可得: 4
1==c a
综上41==c a ，21=b ，所以4
12141)(2
+
+=x x x k (3) 求证:)(1)2(1)1(1n k k k +++ ＞2
2+n n ．
答案：证明：方法一：2
22)1(4)(14)1(412)(+=⇒+=++=n n k n n n n k 要证原不等式，即证42)1(1312122
2+>++++n n
n 因为21
11)2)(1(1)1(12+-+=++>+n n n n n
所以211141313121)
1(131212
22+-+++-+->++++n n n 2121+-=n =42+n n 所以)(1)
2(1)1(1n k k k +++ >2
2+n n
方法二：由2
22)
1(4)(14)1(412)(+=⇒+=++=n n k n n n n k 当1=n 时，左边=1，右边=3
2
，左边>右边，所以1=n ，不等式成立
假设当m n =时，不等式成立，即2
2)(1)2(1)1(1+>++m m m k k k 当1+=m n 时，
左边=2)2(422)1(1)(1)2(1)1(1+++>+++++m m m m k m k k k 2
2)
2(4
42+++=m m m 由0)
3()2(4
3)1(2)2(4422
22>++=++-+++m m m m m m m 所以3
)1()
1(2)1(1)(1)
2(1)1(1+++>+++++m m m k m k k k 即当1+=m n 时，不等式也成立。

综上得
2
2)(1)2(1)1(1+>+++n n n k k k 解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤结合所给条件分析计算得到
4
1
2141)(2++=
x x x k ，然后运用数学归纳法证明所求结论即可 25. 已知0(1,2,,)i a i n >=，考查 ①11
1
1a a ⋅
≥； ②1212
11
()(
)4a a a a ++≥； ③123123
111
()(
)9a a a a a a ++++≥． 归纳出对12,,,n a a a 都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．
答案：解答：归纳：21212
111
()(
)n n
a a a n a a a ++
++++
≥， 证明：①当1n =时，显然成立； ②假设当n k =时，不等式成立， 即21212
111
()(
)k k
a a a k a a a ++
++++
≥， 则1n k =+时，
12112
1
1111()(
)k k k k a a a a a a a a ++++
+++++
+ 1212111()(
)k k a a a a a a =++++++11212
1
1111(
)()1k k k k a a a a a a a a +++++++++++
21
1121
1121
1
111111
()()()1k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a ++++++≥++++++++ 221k k ≥++2
(1)k =+
由①②，不等式对任意正整数n 成立.
解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证0n n =时成立,注意
0n 不一定为1;(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤
其要弄清由k 到k+1时命题的变化
26. 设x N ∈满足2013
12014
.2013
x x +⎛⎫
<
⎪
⎝⎭
数列122013,,,a a a 是公差为2013x ，首项220121(1)1a x x =+-的等差数列； 数列122013,,,b b b 是公比为1,x
x
+首项20131(1)b x x =+的等比数列，求证：11220122013b a b a b <<<
<<
答案：解答：首先， 2013
20122)1(1)1(x i x x a i -+-+=，
i i i i x x x
x x x b --+=++=20141
2013)1()1()1(，
i
i i x
x x b b )1(20131+=-+
用归纳法证明 20131,2013
20142013
≤≤-≥-i i
x b a i i ，
由于201320122013111x x x b a ≥-+=-，即i=1成立， 假设 20121≤≤i 成立，
则)()1()()()(201320131111i i i
i
i i i i i i i b a x
x x x b a b b a a b a -++-=-+---=-++++ )(20131
)()1(201320320132013i i i i b a x b a x x x x -+-≥-++-≥
2013
)1(201420131201320131201320132013
+-=+-+-≥i x i x x 。

所以，2013,,2,1, =>i b a i i 。

归纳证明2012,,2,1,1 =>+i a b i i ，
首先 0112>=-a b ，假设 20111≤≤i 成立， 则)()()(111212i i i i i i i i a b a a b b a b -+---=-++++++
0)()1(120131
2013>-+-+=++i i i a b x x
x x 。

故命题成立。

解析：分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤结合所给条件及等差数列，等比数列有关性质分析计算证明即可，有一定难度
高中数学第四讲数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式同
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