关于幂等矩阵的组合的几个秩等式及其应用
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口十Ｄ—Ｃ （ＰＱＰ）‘
０ ０
１
ｒＥ（艘Ｐ）‘＋（０３＇Ｑ）‘］，当ｃ≠ａ＋ｂ时．
（１４）
证明用两种方法证明（１４）式． 方法１考察下面的分块矩阵
口（飑Ｐ）６一ａ（ＰＱ）ｋ＋１
（缈，Ｑ）‘
０
（ＱＰＱ）‘
Ｉ（ＰＱＰ）‘６（ＱＰＱ）‘一（ｃ一也）（璎）抖１
的秩． 注意到 式成立． 方法２
Ｐ２＝Ｐ，Ｑ２一Ｑ，（艘Ｐ）‘＝Ｐ（ＱＰ）‘一 （地）‘Ｐ，（ＱＰＱ）‘ ＝ Ｑ（地）‘ 一 （ＱＰ）‘Ｑ， （ａ１２Ｐ）‘Ｑ一（恐）抖１＝Ｐ（ＱＰＱ）‘．
＋
所有正整数组成的集合． 下面的引理１是文献［９］的重要结论． （ＱＰＱ）‘］一
引理１设Ｐ，Ｑ∈Ｃ：，那么下面的秩等式
成立：
唧聊謇：馓聊
誉：謇：ｏ聊ｏ
（ＰＱＰ）‘］．
（６）
收稿日期：２０１０—１２—１８． 基金项目：国家自然科学基金项目（７０８７１０５０）．
＊Ｅ－ｍａｉｌ：ｘｉａｎｇｚｕ０２８＠１６３．ｃｏｍ．
Ｐ，那么Ｐ（飑）‘＝（飑）‘，（ＱＰ）‘Ｐ一（ＱＰ）‘，从而 一（艘）‘０ （飑）‘
ｒ
Ｊｒ［（地）‘一（ＱＰ）门，警ｃ＿口４－６时，（１１）
１
ｒ［（飑）‘＋（ＱＰ）‘］，当ｃ≠ｎ＋ｂ时．
证明用两种方法证明（１１）式． 方法１考察下面的分块矩阵
０
（ＱＰ）‘（ＱＰ）‘ （ＱＰ）‘０
／＼
（地）‘
冰
０
口（艘）‘一ａＰ（ＱＰ）‘
另一方面，
（１２）
万方数据
３６８
华中师范大学学报（自然科学版） ａ（ＰＱ）‘一ａｅ（Ｑｅ）‘、 （ＱＰ）‘
０
第４５卷
（ｅＱ）‘
０
Ｏ
（ＱＰ）‘ ｂ（ＱＰ）‘一（ｃ—ａ）Ｐ（ＱＰ）‘ （ｆ—ａ—ｂ）Ｐ（ＱＰ）‘ （ＱＰ）‘ ｂ（ＱＰ）‘一（ｃ—ａ）Ｐ（ＱＰ）‘ （ｃ一口一ｂ）Ｐ（ＱＰ）‘
Ｏ
（恐）‘
ｒ ０
Ｏ
０
飑妒璎妒
妒ｏ
（艘）‘
ｏ妒㈣ｏ妒 ）
勉１Ｊ
｝
当．『
洋
：
（１３）
组合（１２）式、（１３）式、（８）式和（７）式就得出 （１１）式． 方法２ 因为口，ｂ∈Ｃ＼｛０），Ｐ是幂等矩阵，那么当Ｃ＝
口＋ｂ时，Ｉ—Ｃ ｐ是可逆矩阵．而
ｃＰ（ＱＰ）‘］（Ｊ＋糟）一
羔［（恐）‘＋（ＱＰ）‘］，
ｃＰ（ＱＰ）４］一ｒＥ（ｅＱ）６＋（ＱＰ）６］． ∈ｚ十，那么下面的秩等式成立：
（ｃ）（璎）‘＋（ＱＰ）‘一２Ｐ（ＱＪＰ）‘可逆；
Ｒ（（ＱＰ）‘）一Ｒ（（Ｑ。Ｐ。）‘）
证明（ａ）舒（ｂ）与（ａ）甘（ｃ）是由定理１中的等
（ｄ）净（ａ）由引理３中的（７）式直接得出．
得出ｒ［（艘）‘＋（Ｐ＿Ｊｅ）‘］一咒，从而（艘）‘＋（０３）‘
可逆．
（ａ）甘（ｅ）考虑共轭转置，由（ａ）舒（ｄ）及Ｐ。∈
本文恒设Ｃ表示复数域，用Ｃ““表示Ｃ上的所 有ｍ Ｘ，ｚ矩阵构成的Ｃ上的线性空间．若Ａ∈ Ｃ仇ד，用Ａ。，ｒ（Ａ），Ｒ（Ａ）和Ｎ（Ａ）分别表示Ａ的 共轭转置，秩，值域和核子空间．用Ｉ表示咒阶单 位矩阵，用Ｃ￡表示ｃ上的所有ｎ阶幂等矩阵组成的 集合，即ｃ｝＝｛Ａ Ａ∈ｃ积”，Ａ２一Ａ）．用ｚ＋表示
ｃ恐，‘＋ｃＱＰ朋一ｒｆ：嚣；：‘等弘］一
口十０一Ｃ
又因为当ａ≠０，ｂ≠０，Ｃ≠ｎ＋ｂ时，那么
Ｐ，Ｑ都是幂等矩阵，从而Ｉ＋生譬Ｐ，Ｉ＋
生＃鼬都可逆．由等式
（ａ）（璎）‘＋（ＱＰ）‘可逆； （ｂ）口（地）‘＋６（９＿２）‘一ｃＰ（ＰＹ）’可逆； （ｃ）（艘）‘＋（ＱＰ）‘一Ｐ（９３＂）‘可逆；
㈤ｒ暖］一咒且Ｒ膨］ｎ
Ｒ（‘９３。＂ｒ）邛）； （ｅ）ｒ（（删御ｎ一孢Ｒ Ｒ悟霸ｎ
（１．湖北师范学院数学系，湖北黄石４３５００２；２．华中师范大学数学与统计学学院，武汉４３００７９）
摘要：研究了幂等矩阵的组合ｎ（ＰＱ）‘＋６（ＱＰ）‘一ｃＰ（ＱＰ）‘和ａ（ＰＱＰ）‘＋６（ＱＰＱ）‘一ｃ（ＰＱ）抖１ 的秩（其中口≠０，ｂ：／：Ｏ，Ｐ是幂等矩阵，Ｑ是幂等矩阵或任意矩阵）．用两种方法证明了这些组合的 几个秩等式，推广了Ｔｉａｎ和Ｓｔｙａｎ的有关结果．作为应用，用这些秩等式给出了（ＰＱ）‘士（ＱＰ）‘和 （ＰＱＰ）‘士（ＱＰＱ）‘可逆的一些充分必要条件． 关键词：幂等矩阵；矩阵的秩；可逆性
［３３
Ｋｏｌｉｈａ ｓｕｍ ｏｆ
第４５卷
中的（ｄ）和（ｅ）得出
ｆ（ｒＱ）‘１
Ｊ Ｊ。Ｒａｋｏ ｂｉ ６ Ｖ。Ｓｔｒａ§ｋｒａｂａ Ｉ．Ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ａｎｄ
ｐｒｏｊｅｃｔｏｒｓ［Ｊ］．Ｌｉｎｅａｒ
Ａｌｇｅｂｒａ
Ａｐｐｌ，２００４，３８８：
２７９—２８８．
０
（瑚）‘
（ＱＰ）‘
（艘）‘（ＱＰ）‘０
的秩可以证明（８）式． 注记１在引理３中，没有要求Ｑ是幂等矩阵， 这样引理３就推广了Ｔｉａｎ和Ｓｔｙａｎ嘲中的秩等式 （３）和秩等式（４）．
｜Ｉ
（ＱＰ）‘
（飑）‘
的秩． 一方面
（ＱＰ）‘０
一（飑）‘
ｒ
０
０
（ＱＰ）‘
（ＱＰ）‘
０
２主要结果 本部分给出幂等矩阵的组合口（飑）‘＋６（ＱＰ）‘ 一ｃＰ（ＱＰ）‘和口（瑚Ｐ）‘＋６（舛您）‘一ｃ（ＰＯ）卅的几
／（艘）‘一（ＱＰ）‘、
（ａ）如果（艘）‘一（ＱＰ）‘可逆，那么（璎）４＋
（ＱＰ）‘可逆；
（ｂ）如果口（恐）‘＋６（Ｐ＿Ｙ）‘一ｃＰ（ＯＹ）‘可逆，
那么（ＰＱ）‘＋（ＱＰ）‘可逆．
再由（７）式就得出ｒ［（恐）‘］＋《（ＱＰ）‘］一恕．
证明（ａ）因为（艘）‘一（ＱＰ）‘可逆，由定理３
万方数据
３７０
华中师范大学学报（自然科学版）
用类似于证明定理１的方法１，可以证明（１４）
因为口，ｂ∈Ｃ＼｛０），Ｐ，Ｑ是幂等矩阵，那么当Ｃ ：口＋ｂ时，Ｉ—Ｃｐ是可逆矩阵．而
“
万方数据
第３期
左可正等：关于幂等矩阵的组合的几个秩等式及其应用
３６９
（卜≯）［ｎ（明Ｐ）‘ｄ－－ｂ（Ｑ】ＰＱ）‘一ｃ（璎）蚪１］
＝一ｂＦ（用２Ｐ）‘一（ＱＰＱ）‘］，
（Ｉ＋｝糟）［口（艘）‘＋６（ＱＰ）‘一
得出当Ｃ≠ａ＋ｂ时，ｒＥａ（１呵２）‘＋ｂ（ＱＰ）‘一
（Ｉ一詈。Ｐ）［口（艘）‘＋６（ＱＰ）‘一ｃＰ（ＱＰ）‘］一
一６［（地）‘一（ＱＰ）‘］，
所以，当ｃ＝ａ＋ｂ时，ｒＥａ（ＰＱ）‘＋ｂ（ＱＰ）‘一 ｃＰ（ＱＰ）‘］一ｒＥ（ＰＱ）‘一（ＱＰ）‘］． 因为当口≠０，ｂ≠０，Ｃ≠ａ＋ｂ时，有
“Ｐ—Ｑ’２
ｒ（Ｑ）＋“Ｐ＇Ｑ’－－ｒ（Ｐ）一“Ｑ）’
（１）
ｒｃＰ＋Ｑ，＝ｒ（荔等）一ｒｃＱ，一ｒ（；：）一ｒｃＰ，．
（２）
下面的引理２是文献［６］的重要结果． 引理２设Ｐ，Ｑ∈Ｃ：，ｋ∈ｚ＋那么下面的秩等 式成立：
ａ（Ｆ１１２）‘＋６（ＱＰ）‘一ｃＰ（ＱＰ）４和ａ（飑Ｐ）‘＋ ６（ＱＰＱ）‘．一ｃ（飑）抖１（其中ａ≠０，ｂ≠０，Ｐ是幂等
０
ａ（艘）‘一ａＰ（ＱＰ）‘
（ＱＰ）‘
０
Ｉ（璎）ｔ
０ Ｏ
ａ（ｅＱ）‘一ａＰ（ＱＰ）‘ （ＱＰ）‘
（ＰＱ）‘
Ｏ
，－
（ＱＰ）‘ （ｃ一口一ｂ）Ｐ（ＱＪＰ）‘
Ｏ
（ａｔ２）‘１
Ｏ
（ＱＰ）‘Ｉ一
０
（ＰＱ）‘
０ ０
（ＱＰ）‘
ｏ
（飑）“
（ＱＰ）‘
Ｏ
＋
一 ０
州汨
∥
ｒ
（ｅＱ）‘
Ｏ
ｒ
㈣
㈣
凯 ～
ｆ
口
），
（飑）‘
（ＱＰ）‘
（ａ）净（ｄ）因为（恐）‘＋（ＱＰ）‘可逆，那么
ｒ
ｆ（地）‘１
Ｉ（Ｑ３ｅ）ｔ Ｉ叫ｌ
ｆ（ＰＱ）‘＋（ＱＰ）‘１
（ＱＰ）・
Ｉ—
的秩等式，及引理２和引理３，得出了（ＰＱ）‘土 （ＱＰ）‘和（ＰＱＰ）‘土（ＱＰＱ）‘可逆的一些充分必 要条件． 定理３设Ｐ∈Ｃ：，Ｑ∈Ｃ积”，口，ｂ∈Ｃ＼｛０）， ｃ一口＋ｂ，ｋ∈ｚ十，那么下列各命题彼此等价：
Ｃ：可得出（ａ）甘（ｅ）．
ｒ
（ａ）净（ｄ）因为（地）‘一（ＱＰ）‘可逆，那么 ｆ（璎）‘１ ２ ｆ（地）‘一（ＱＰ）‘］ ２
ｒ
推论１设Ｐ∈饼，Ｑ∈ｅ“，ａ，ｂ∈Ｃ＼｛０），
Ｃ∈Ｃ，ｋ∈ｚ＋．
ｌ（ＱＰ）‘Ｉ
ｌ
（ＱＰ）‘
Ｉ
ｒ／０
广ｍ ｒ（（艘）‘，（ＱＰ）‘）一ｒ（（艘）Ｌ（ＱＰ）‘，（ＱＰ）‘）
＝ｒ（（ｔ１１２）‘一（ＱＰ）‘，Ｏ）一，ｌ，
万方数据
第３期
左可正等：关于幂等矩阵的组合的几个秩等式及其应用
０
ｒ
３６７
引理３设Ｐ∈Ｃ：，Ｑ∈Ｃ棋”，是∈ｚ＋，那么下 面的秩等式成立：
（恐）‘
（ＱＰ）‘
Ｐ（（
Ｏ
（飑）‘ ｒ［（地）‘一（ＱＰ）‘－１一ｒ
（ＱＰ）‘ ＋
，．
（恐）‘
Ｏ
Ｏ
ｂ弘弘
０
㈣妒妒ｏ
（
（怨）‘
（ＱＰ）‘
０
ｒ（（飑）。，（ＱＰ）‘）一ｒＬ（删）２ｊ—ｒＬ（妒）‘Ｊ，
中图分类号：０１５１．２１
文献标识码：Ａ
１有关记号及预备引理
研究两个幂等矩阵的和与差及它们的组合的 性质，一直是矩阵分析的重要课题之一．在文献 ［１－５－１中，作者研究了两个幂等矩阵（元）的和与差 及它们的线性组合的可逆性．很多作者研究了两 个幂等矩阵的和与差及它们的线性组合的秩、核子 空间和值域，可参看文献Ｅ６－１１］．本文用两种方 法：１）分块矩阵的初等变换，２）１个矩阵左乘、右 乘可逆矩阵其秩不变，证明了幂等矩阵的组合
矩阵，Ｑ是幂等矩阵或任意矩阵）的几个秩等式，这 些秩等式推广了Ｔｉａｎ和Ｓｔｙａｎ［６１的有关结果．作
ｒ［ｃ艘，Ｌ
ｃＱＰ朋一ｒｆ｛嚣翔＋
（３）
ｒ（（艘）ｔ，（ＱＰ）ｔ）一ｒ［（恐）ｔ］二ｒ［（ＱＰ）ｔ－Ｉ，
ｒｃ
为应用，用这些秩等式给出了（地）‘±（ＯＡＰ）‘和 （垃Ｐ）‘±（Ｑｆ他）‘可逆的一些充分必要条件．
ｒ（㈣ｒ吉㈣ｒ）～
再由，－ｆ｛罢薹‘：ｒ］＝水恐，‘＋ｃＱＰ朋＋
ｒ［（（Ｉ尸）‘－Ｉ一疗＋ｒ［（ＱＰ）‘－１， 及Ｒ
（ａ）（艘）‘一（９Ｊｅ）‘可逆；
（ｂ）口（璎）‘＋ｂ（ＱＪＰ）‘一护（ＰＪｅ）‘可逆；
ｆ：：；：‘等弘１一Ｒ ｆ｛：翔＋Ｒ（‘等ｙ）得
ｏＲ（（Ｐ。Ｑ。）‘）＝Ｃ”． 式直接得出．
叫署］ｎＲ（‘９３。＇ｒ）卸，． （ｄ）ｒ慝卜ｒ（（删，删９３＇）一 ㈤娟，由条件’ｒｆ并‘翻＝ ｒ［（艘）‘］＋ｒ［（Ｑｆｌ）‘］一，ｌ； （ｅ）Ｒ（（艘）‘）ｏ ｒｆ｛Ｚ翔＋ｒ（‘等ｒ）一行＋ｒ［ｃＱＰ朋，再由ｃ８，式
第４５卷第３期
２０１１年９月
华中师范大学学报（自然科学版）
ＪＯＵＲＮＡＩ。ｏＦ ＨＵＡＺＨＯＮＧ ＮｏＲＭＡＬ ＵＮｌＶＥＲＳＩＴＹ（Ｎａｔ．Ｓｃｉ．）
Ｖ０１．４５
Ｎｏ．３
Ｓｅｐｔ．２０１１
文章编号：１０００—１１９０（２０１１）０３—０３６６—０５
关于幂等矩阵的组合的几个秩等式及其应用
左可正¨，朱小琨２，余盛利１
（Ｊ＋鬻Ｐ）［口（聊）‘＋ｂ（ＱＰＱ）Ｌ ｃ（恐尸］（Ｉ＋瓣）＝ 羔［（恐Ｐ）‘＋（ＱＰＱ）‘］
作为应用，本部分利用定理１和定理２所给出
Ｒ（∞‘∥）邛，．
证明（ａ）∞（ｂ）与（ａ）甘（ｃ）
式直接得出． 由定理１中的等
得出，当ｃ≠口＋ｂ时，ｒ［ａ（ＰＱＰ）‘＋６（ＱＰＱ）‘一
பைடு நூலகம்
ｃ（艘）抖１］一ｒＥ（ａ２Ｐ）‘＋（ＱＰＱ）６］． ３应用
（７）
（艘）‘
ｏ妒 ｐ
承艘，‘＋ｃＱＰ朋一ｒｆ｛罢；：‘：弘１一 以ＱＰ朋一ｒ『｛芝；：‘等ｒ１一ｒ［ｃ璁朋．
（８）
ｒ膨］＋ｒ（ｃ删御ｎ．㈣，
组合（９）式和（１０）式就得出了（７）式．
类似于秩等式（７）的证法，考虑下面的分
块矩阵
（飑）‘０
０
（艘）‘
（ＱＰ）‘
证明老察下而的分操矩阵
（ＱＰ）‘
一（艘）‘０
（ＱＰ）‘
０
（ＱＰ）‘
（
飑。飑 冰
６
，Ｌ
妒
Ｐ 一（ｆ一口）Ｐ（ＱＰ）‘
的秩．一方面，
（艘）‘０
ｒ
口（恐）‘一ａＰ（ＯＪ＇）‘
（ＱＰ）‘
０
（ＱＰ）‘
（艘）‘ｂ（ＱＰ）‘一（ｃ一口）Ｐ（ＱＰ）‘０
（飑）‘０
ｒ
０
０ ０
（ＱＰ）‘０
０
～口（艘）‘一６（ＱＰ）‘＋护（ＱＰ）‘ ｒ［（璁）‘］＋ｒ［（ＱＰ）‘］－ｔ－ｒ［ｎ（艘）‘－Ｉ－６（ＱＰ）‘一ｃＡＰ（ＱＰ）‘］．
个秩等式． 定理１设Ｐ∈ｃ｝，Ｑ∈Ｃ积”，口，ｂ∈Ｃ＼｛０）， ｃ∈Ｃ，ｋ∈Ｚ＋，那么下面的秩等式成立： ｒＥａ（ＰＱ）‘４－ｂ（ＱＰ）‘一护（ＱＰ）‘］一
（艘）‘ 一（艘）‘
ｒ
垃一妒。
ｏ
Ｏ ０
（ＱＰ）‘
Ｏ
垃
ｏ一 妒
（９）
ｒ［（．ＰＱ）‘］－ｔ－ｒ［（ＱＰ）‘］＋ｒ［（璎）。一（ＱＰ）‘］．
另一方面，注意到（地）‘Ｐ—Ｐ（ＱＰ）‘，又因为Ｐ２一
（ｄ）错（ｅ）由值域的定义和直和的性质得出．
定理４设Ｐ∈Ｃ：，Ｑ∈ｅ妯，ａ，ｂ∈Ｃ＼｛０）， Ｃ∈Ｃ，Ｃ≠ｎ＋ｂ，ｋ∈ｚ＋，那么下列各命题彼 此等价：
所以当ｃ一口＋ｂ时，ｔｅａ（琏驴）‘＋６（ＱＰＱ）‘一
ｃ（璎）小］＝ｒＥ（ＰＱＰ）‘一（ＱＰＱ）‘］．
生皇≠一１，生掣≠一１，—咎≠００， ｉ干再≠一１’了干再≠一’了干再≠’
定理２设Ｐ，Ｑ∈ｃ：，ａ，６∈Ｃ＼｛０），ｆ∈Ｃ，ｋ
ｒＥａ（ＰＱＰ）‘＋６（ＱＰＱ）‘一ｃ（ｐＱ）Ｈ－１］＝ ｒｒ［（ＰＱＰ）‘一（ＱＰＱ）‘］，当ｃ一口＋ｂ时，
望｛型≠一１，蚓等型≠一１，ｌ警；４－０． ｉ丽≠一１’ｉ丽≠一１’ｉ丽；‘ 又因Ｐ是幂等矩阵，从而Ｉ＋生譬Ｐ，Ｊ＋ 生掣Ｐ都可逆．由等式
０ ０
１
ｒＥ（艘Ｐ）‘＋（０３＇Ｑ）‘］，当ｃ≠ａ＋ｂ时．
（１４）
证明用两种方法证明（１４）式． 方法１考察下面的分块矩阵
口（飑Ｐ）６一ａ（ＰＱ）ｋ＋１
（缈，Ｑ）‘
０
（ＱＰＱ）‘
Ｉ（ＰＱＰ）‘６（ＱＰＱ）‘一（ｃ一也）（璎）抖１
的秩． 注意到 式成立． 方法２
Ｐ２＝Ｐ，Ｑ２一Ｑ，（艘Ｐ）‘＝Ｐ（ＱＰ）‘一 （地）‘Ｐ，（ＱＰＱ）‘ ＝ Ｑ（地）‘ 一 （ＱＰ）‘Ｑ， （ａ１２Ｐ）‘Ｑ一（恐）抖１＝Ｐ（ＱＰＱ）‘．
＋
所有正整数组成的集合． 下面的引理１是文献［９］的重要结论． （ＱＰＱ）‘］一
引理１设Ｐ，Ｑ∈Ｃ：，那么下面的秩等式
成立：
唧聊謇：馓聊
誉：謇：ｏ聊ｏ
（ＰＱＰ）‘］．
（６）
收稿日期：２０１０—１２—１８． 基金项目：国家自然科学基金项目（７０８７１０５０）．
＊Ｅ－ｍａｉｌ：ｘｉａｎｇｚｕ０２８＠１６３．ｃｏｍ．
Ｐ，那么Ｐ（飑）‘＝（飑）‘，（ＱＰ）‘Ｐ一（ＱＰ）‘，从而 一（艘）‘０ （飑）‘
ｒ
Ｊｒ［（地）‘一（ＱＰ）门，警ｃ＿口４－６时，（１１）
１
ｒ［（飑）‘＋（ＱＰ）‘］，当ｃ≠ｎ＋ｂ时．
证明用两种方法证明（１１）式． 方法１考察下面的分块矩阵
０
（ＱＰ）‘（ＱＰ）‘ （ＱＰ）‘０
／＼
（地）‘
冰
０
口（艘）‘一ａＰ（ＱＰ）‘
另一方面，
（１２）
万方数据
３６８
华中师范大学学报（自然科学版） ａ（ＰＱ）‘一ａｅ（Ｑｅ）‘、 （ＱＰ）‘
０
第４５卷
（ｅＱ）‘
０
Ｏ
（ＱＰ）‘ ｂ（ＱＰ）‘一（ｃ—ａ）Ｐ（ＱＰ）‘ （ｆ—ａ—ｂ）Ｐ（ＱＰ）‘ （ＱＰ）‘ ｂ（ＱＰ）‘一（ｃ—ａ）Ｐ（ＱＰ）‘ （ｃ一口一ｂ）Ｐ（ＱＰ）‘
Ｏ
（恐）‘
ｒ ０
Ｏ
０
飑妒璎妒
妒ｏ
（艘）‘
ｏ妒㈣ｏ妒 ）
勉１Ｊ
｝
当．『
洋
：
（１３）
组合（１２）式、（１３）式、（８）式和（７）式就得出 （１１）式． 方法２ 因为口，ｂ∈Ｃ＼｛０），Ｐ是幂等矩阵，那么当Ｃ＝
口＋ｂ时，Ｉ—Ｃ ｐ是可逆矩阵．而
ｃＰ（ＱＰ）‘］（Ｊ＋糟）一
羔［（恐）‘＋（ＱＰ）‘］，
ｃＰ（ＱＰ）４］一ｒＥ（ｅＱ）６＋（ＱＰ）６］． ∈ｚ十，那么下面的秩等式成立：
（ｃ）（璎）‘＋（ＱＰ）‘一２Ｐ（ＱＪＰ）‘可逆；
Ｒ（（ＱＰ）‘）一Ｒ（（Ｑ。Ｐ。）‘）
证明（ａ）舒（ｂ）与（ａ）甘（ｃ）是由定理１中的等
（ｄ）净（ａ）由引理３中的（７）式直接得出．
得出ｒ［（艘）‘＋（Ｐ＿Ｊｅ）‘］一咒，从而（艘）‘＋（０３）‘
可逆．
（ａ）甘（ｅ）考虑共轭转置，由（ａ）舒（ｄ）及Ｐ。∈
本文恒设Ｃ表示复数域，用Ｃ““表示Ｃ上的所 有ｍ Ｘ，ｚ矩阵构成的Ｃ上的线性空间．若Ａ∈ Ｃ仇ד，用Ａ。，ｒ（Ａ），Ｒ（Ａ）和Ｎ（Ａ）分别表示Ａ的 共轭转置，秩，值域和核子空间．用Ｉ表示咒阶单 位矩阵，用Ｃ￡表示ｃ上的所有ｎ阶幂等矩阵组成的 集合，即ｃ｝＝｛Ａ Ａ∈ｃ积”，Ａ２一Ａ）．用ｚ＋表示
ｃ恐，‘＋ｃＱＰ朋一ｒｆ：嚣；：‘等弘］一
口十０一Ｃ
又因为当ａ≠０，ｂ≠０，Ｃ≠ｎ＋ｂ时，那么
Ｐ，Ｑ都是幂等矩阵，从而Ｉ＋生譬Ｐ，Ｉ＋
生＃鼬都可逆．由等式
（ａ）（璎）‘＋（ＱＰ）‘可逆； （ｂ）口（地）‘＋６（９＿２）‘一ｃＰ（ＰＹ）’可逆； （ｃ）（艘）‘＋（ＱＰ）‘一Ｐ（９３＂）‘可逆；
㈤ｒ暖］一咒且Ｒ膨］ｎ
Ｒ（‘９３。＂ｒ）邛）； （ｅ）ｒ（（删御ｎ一孢Ｒ Ｒ悟霸ｎ
（１．湖北师范学院数学系，湖北黄石４３５００２；２．华中师范大学数学与统计学学院，武汉４３００７９）
摘要：研究了幂等矩阵的组合ｎ（ＰＱ）‘＋６（ＱＰ）‘一ｃＰ（ＱＰ）‘和ａ（ＰＱＰ）‘＋６（ＱＰＱ）‘一ｃ（ＰＱ）抖１ 的秩（其中口≠０，ｂ：／：Ｏ，Ｐ是幂等矩阵，Ｑ是幂等矩阵或任意矩阵）．用两种方法证明了这些组合的 几个秩等式，推广了Ｔｉａｎ和Ｓｔｙａｎ的有关结果．作为应用，用这些秩等式给出了（ＰＱ）‘士（ＱＰ）‘和 （ＰＱＰ）‘士（ＱＰＱ）‘可逆的一些充分必要条件． 关键词：幂等矩阵；矩阵的秩；可逆性
［３３
Ｋｏｌｉｈａ ｓｕｍ ｏｆ
第４５卷
中的（ｄ）和（ｅ）得出
ｆ（ｒＱ）‘１
Ｊ Ｊ。Ｒａｋｏ ｂｉ ６ Ｖ。Ｓｔｒａ§ｋｒａｂａ Ｉ．Ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ａｎｄ
ｐｒｏｊｅｃｔｏｒｓ［Ｊ］．Ｌｉｎｅａｒ
Ａｌｇｅｂｒａ
Ａｐｐｌ，２００４，３８８：
２７９—２８８．
０
（瑚）‘
（ＱＰ）‘
（艘）‘（ＱＰ）‘０
的秩可以证明（８）式． 注记１在引理３中，没有要求Ｑ是幂等矩阵， 这样引理３就推广了Ｔｉａｎ和Ｓｔｙａｎ嘲中的秩等式 （３）和秩等式（４）．
｜Ｉ
（ＱＰ）‘
（飑）‘
的秩． 一方面
（ＱＰ）‘０
一（飑）‘
ｒ
０
０
（ＱＰ）‘
（ＱＰ）‘
０
２主要结果 本部分给出幂等矩阵的组合口（飑）‘＋６（ＱＰ）‘ 一ｃＰ（ＱＰ）‘和口（瑚Ｐ）‘＋６（舛您）‘一ｃ（ＰＯ）卅的几
／（艘）‘一（ＱＰ）‘、
（ａ）如果（艘）‘一（ＱＰ）‘可逆，那么（璎）４＋
（ＱＰ）‘可逆；
（ｂ）如果口（恐）‘＋６（Ｐ＿Ｙ）‘一ｃＰ（ＯＹ）‘可逆，
那么（ＰＱ）‘＋（ＱＰ）‘可逆．
再由（７）式就得出ｒ［（恐）‘］＋《（ＱＰ）‘］一恕．
证明（ａ）因为（艘）‘一（ＱＰ）‘可逆，由定理３
万方数据
３７０
华中师范大学学报（自然科学版）
用类似于证明定理１的方法１，可以证明（１４）
因为口，ｂ∈Ｃ＼｛０），Ｐ，Ｑ是幂等矩阵，那么当Ｃ ：口＋ｂ时，Ｉ—Ｃｐ是可逆矩阵．而
“
万方数据
第３期
左可正等：关于幂等矩阵的组合的几个秩等式及其应用
３６９
（卜≯）［ｎ（明Ｐ）‘ｄ－－ｂ（Ｑ】ＰＱ）‘一ｃ（璎）蚪１］
＝一ｂＦ（用２Ｐ）‘一（ＱＰＱ）‘］，
（Ｉ＋｝糟）［口（艘）‘＋６（ＱＰ）‘一
得出当Ｃ≠ａ＋ｂ时，ｒＥａ（１呵２）‘＋ｂ（ＱＰ）‘一
（Ｉ一詈。Ｐ）［口（艘）‘＋６（ＱＰ）‘一ｃＰ（ＱＰ）‘］一
一６［（地）‘一（ＱＰ）‘］，
所以，当ｃ＝ａ＋ｂ时，ｒＥａ（ＰＱ）‘＋ｂ（ＱＰ）‘一 ｃＰ（ＱＰ）‘］一ｒＥ（ＰＱ）‘一（ＱＰ）‘］． 因为当口≠０，ｂ≠０，Ｃ≠ａ＋ｂ时，有
“Ｐ—Ｑ’２
ｒ（Ｑ）＋“Ｐ＇Ｑ’－－ｒ（Ｐ）一“Ｑ）’
（１）
ｒｃＰ＋Ｑ，＝ｒ（荔等）一ｒｃＱ，一ｒ（；：）一ｒｃＰ，．
（２）
下面的引理２是文献［６］的重要结果． 引理２设Ｐ，Ｑ∈Ｃ：，ｋ∈ｚ＋那么下面的秩等 式成立：
ａ（Ｆ１１２）‘＋６（ＱＰ）‘一ｃＰ（ＱＰ）４和ａ（飑Ｐ）‘＋ ６（ＱＰＱ）‘．一ｃ（飑）抖１（其中ａ≠０，ｂ≠０，Ｐ是幂等
０
ａ（艘）‘一ａＰ（ＱＰ）‘
（ＱＰ）‘
０
Ｉ（璎）ｔ
０ Ｏ
ａ（ｅＱ）‘一ａＰ（ＱＰ）‘ （ＱＰ）‘
（ＰＱ）‘
Ｏ
，－
（ＱＰ）‘ （ｃ一口一ｂ）Ｐ（ＱＪＰ）‘
Ｏ
（ａｔ２）‘１
Ｏ
（ＱＰ）‘Ｉ一
０
（ＰＱ）‘
０ ０
（ＱＰ）‘
ｏ
（飑）“
（ＱＰ）‘
Ｏ
＋
一 ０
州汨
∥
ｒ
（ｅＱ）‘
Ｏ
ｒ
㈣
㈣
凯 ～
ｆ
口
），
（飑）‘
（ＱＰ）‘
（ａ）净（ｄ）因为（恐）‘＋（ＱＰ）‘可逆，那么
ｒ
ｆ（地）‘１
Ｉ（Ｑ３ｅ）ｔ Ｉ叫ｌ
ｆ（ＰＱ）‘＋（ＱＰ）‘１
（ＱＰ）・
Ｉ—
的秩等式，及引理２和引理３，得出了（ＰＱ）‘土 （ＱＰ）‘和（ＰＱＰ）‘土（ＱＰＱ）‘可逆的一些充分必 要条件． 定理３设Ｐ∈Ｃ：，Ｑ∈Ｃ积”，口，ｂ∈Ｃ＼｛０）， ｃ一口＋ｂ，ｋ∈ｚ十，那么下列各命题彼此等价：
Ｃ：可得出（ａ）甘（ｅ）．
ｒ
（ａ）净（ｄ）因为（地）‘一（ＱＰ）‘可逆，那么 ｆ（璎）‘１ ２ ｆ（地）‘一（ＱＰ）‘］ ２
ｒ
推论１设Ｐ∈饼，Ｑ∈ｅ“，ａ，ｂ∈Ｃ＼｛０），
Ｃ∈Ｃ，ｋ∈ｚ＋．
ｌ（ＱＰ）‘Ｉ
ｌ
（ＱＰ）‘
Ｉ
ｒ／０
广ｍ ｒ（（艘）‘，（ＱＰ）‘）一ｒ（（艘）Ｌ（ＱＰ）‘，（ＱＰ）‘）
＝ｒ（（ｔ１１２）‘一（ＱＰ）‘，Ｏ）一，ｌ，
万方数据
第３期
左可正等：关于幂等矩阵的组合的几个秩等式及其应用
０
ｒ
３６７
引理３设Ｐ∈Ｃ：，Ｑ∈Ｃ棋”，是∈ｚ＋，那么下 面的秩等式成立：
（恐）‘
（ＱＰ）‘
Ｐ（（
Ｏ
（飑）‘ ｒ［（地）‘一（ＱＰ）‘－１一ｒ
（ＱＰ）‘ ＋
，．
（恐）‘
Ｏ
Ｏ
ｂ弘弘
０
㈣妒妒ｏ
（
（怨）‘
（ＱＰ）‘
０
ｒ（（飑）。，（ＱＰ）‘）一ｒＬ（删）２ｊ—ｒＬ（妒）‘Ｊ，
中图分类号：０１５１．２１
文献标识码：Ａ
１有关记号及预备引理
研究两个幂等矩阵的和与差及它们的组合的 性质，一直是矩阵分析的重要课题之一．在文献 ［１－５－１中，作者研究了两个幂等矩阵（元）的和与差 及它们的线性组合的可逆性．很多作者研究了两 个幂等矩阵的和与差及它们的线性组合的秩、核子 空间和值域，可参看文献Ｅ６－１１］．本文用两种方 法：１）分块矩阵的初等变换，２）１个矩阵左乘、右 乘可逆矩阵其秩不变，证明了幂等矩阵的组合
矩阵，Ｑ是幂等矩阵或任意矩阵）的几个秩等式，这 些秩等式推广了Ｔｉａｎ和Ｓｔｙａｎ［６１的有关结果．作
ｒ［ｃ艘，Ｌ
ｃＱＰ朋一ｒｆ｛嚣翔＋
（３）
ｒ（（艘）ｔ，（ＱＰ）ｔ）一ｒ［（恐）ｔ］二ｒ［（ＱＰ）ｔ－Ｉ，
ｒｃ
为应用，用这些秩等式给出了（地）‘±（ＯＡＰ）‘和 （垃Ｐ）‘±（Ｑｆ他）‘可逆的一些充分必要条件．
ｒ（㈣ｒ吉㈣ｒ）～
再由，－ｆ｛罢薹‘：ｒ］＝水恐，‘＋ｃＱＰ朋＋
ｒ［（（Ｉ尸）‘－Ｉ一疗＋ｒ［（ＱＰ）‘－１， 及Ｒ
（ａ）（艘）‘一（９Ｊｅ）‘可逆；
（ｂ）口（璎）‘＋ｂ（ＱＪＰ）‘一护（ＰＪｅ）‘可逆；
ｆ：：；：‘等弘１一Ｒ ｆ｛：翔＋Ｒ（‘等ｙ）得
ｏＲ（（Ｐ。Ｑ。）‘）＝Ｃ”． 式直接得出．
叫署］ｎＲ（‘９３。＇ｒ）卸，． （ｄ）ｒ慝卜ｒ（（删，删９３＇）一 ㈤娟，由条件’ｒｆ并‘翻＝ ｒ［（艘）‘］＋ｒ［（Ｑｆｌ）‘］一，ｌ； （ｅ）Ｒ（（艘）‘）ｏ ｒｆ｛Ｚ翔＋ｒ（‘等ｒ）一行＋ｒ［ｃＱＰ朋，再由ｃ８，式
第４５卷第３期
２０１１年９月
华中师范大学学报（自然科学版）
ＪＯＵＲＮＡＩ。ｏＦ ＨＵＡＺＨＯＮＧ ＮｏＲＭＡＬ ＵＮｌＶＥＲＳＩＴＹ（Ｎａｔ．Ｓｃｉ．）
Ｖ０１．４５
Ｎｏ．３
Ｓｅｐｔ．２０１１
文章编号：１０００—１１９０（２０１１）０３—０３６６—０５
关于幂等矩阵的组合的几个秩等式及其应用
左可正¨，朱小琨２，余盛利１
（Ｊ＋鬻Ｐ）［口（聊）‘＋ｂ（ＱＰＱ）Ｌ ｃ（恐尸］（Ｉ＋瓣）＝ 羔［（恐Ｐ）‘＋（ＱＰＱ）‘］
作为应用，本部分利用定理１和定理２所给出
Ｒ（∞‘∥）邛，．
证明（ａ）∞（ｂ）与（ａ）甘（ｃ）
式直接得出． 由定理１中的等
得出，当ｃ≠口＋ｂ时，ｒ［ａ（ＰＱＰ）‘＋６（ＱＰＱ）‘一
பைடு நூலகம்
ｃ（艘）抖１］一ｒＥ（ａ２Ｐ）‘＋（ＱＰＱ）６］． ３应用
（７）
（艘）‘
ｏ妒 ｐ
承艘，‘＋ｃＱＰ朋一ｒｆ｛罢；：‘：弘１一 以ＱＰ朋一ｒ『｛芝；：‘等ｒ１一ｒ［ｃ璁朋．
（８）
ｒ膨］＋ｒ（ｃ删御ｎ．㈣，
组合（９）式和（１０）式就得出了（７）式．
类似于秩等式（７）的证法，考虑下面的分
块矩阵
（飑）‘０
０
（艘）‘
（ＱＰ）‘
证明老察下而的分操矩阵
（ＱＰ）‘
一（艘）‘０
（ＱＰ）‘
０
（ＱＰ）‘
（
飑。飑 冰
６
，Ｌ
妒
Ｐ 一（ｆ一口）Ｐ（ＱＰ）‘
的秩．一方面，
（艘）‘０
ｒ
口（恐）‘一ａＰ（ＯＪ＇）‘
（ＱＰ）‘
０
（ＱＰ）‘
（艘）‘ｂ（ＱＰ）‘一（ｃ一口）Ｐ（ＱＰ）‘０
（飑）‘０
ｒ
０
０ ０
（ＱＰ）‘０
０
～口（艘）‘一６（ＱＰ）‘＋护（ＱＰ）‘ ｒ［（璁）‘］＋ｒ［（ＱＰ）‘］－ｔ－ｒ［ｎ（艘）‘－Ｉ－６（ＱＰ）‘一ｃＡＰ（ＱＰ）‘］．
个秩等式． 定理１设Ｐ∈ｃ｝，Ｑ∈Ｃ积”，口，ｂ∈Ｃ＼｛０）， ｃ∈Ｃ，ｋ∈Ｚ＋，那么下面的秩等式成立： ｒＥａ（ＰＱ）‘４－ｂ（ＱＰ）‘一护（ＱＰ）‘］一
（艘）‘ 一（艘）‘
ｒ
垃一妒。
ｏ
Ｏ ０
（ＱＰ）‘
Ｏ
垃
ｏ一 妒
（９）
ｒ［（．ＰＱ）‘］－ｔ－ｒ［（ＱＰ）‘］＋ｒ［（璎）。一（ＱＰ）‘］．
另一方面，注意到（地）‘Ｐ—Ｐ（ＱＰ）‘，又因为Ｐ２一
（ｄ）错（ｅ）由值域的定义和直和的性质得出．
定理４设Ｐ∈Ｃ：，Ｑ∈ｅ妯，ａ，ｂ∈Ｃ＼｛０）， Ｃ∈Ｃ，Ｃ≠ｎ＋ｂ，ｋ∈ｚ＋，那么下列各命题彼 此等价：
所以当ｃ一口＋ｂ时，ｔｅａ（琏驴）‘＋６（ＱＰＱ）‘一
ｃ（璎）小］＝ｒＥ（ＰＱＰ）‘一（ＱＰＱ）‘］．
生皇≠一１，生掣≠一１，—咎≠００， ｉ干再≠一１’了干再≠一’了干再≠’
定理２设Ｐ，Ｑ∈ｃ：，ａ，６∈Ｃ＼｛０），ｆ∈Ｃ，ｋ
ｒＥａ（ＰＱＰ）‘＋６（ＱＰＱ）‘一ｃ（ｐＱ）Ｈ－１］＝ ｒｒ［（ＰＱＰ）‘一（ＱＰＱ）‘］，当ｃ一口＋ｂ时，
望｛型≠一１，蚓等型≠一１，ｌ警；４－０． ｉ丽≠一１’ｉ丽≠一１’ｉ丽；‘ 又因Ｐ是幂等矩阵，从而Ｉ＋生譬Ｐ，Ｊ＋ 生掣Ｐ都可逆．由等式