不定积分的分部积分法
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不定积分的分部积分法
西安工业大学 理学院 李艳艳
x xe dx ? 问题
x cos xdx ?
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数 u=u(x) 和 v=v(x)具有连续导数,
( uv ) uv uv , uv ( uv ) uv ,
uv dx uv uv dx , udv uv vdu .
2
x x 2 xe d x e d( x )
1 2
1 2 x 1 x e x 2 de x 2 2
显然 , u 和 v 选择不当，积分更难进行. 注1：在分部积分公式中，关键是选择恰当的 u 和 v
例2 求不定积分 x cos xdx . 解：设
则
u x , cos xdx d (sin x ) dv
x cos x dx x d(sin x ) x sin x sin x dx
x sin x cos x C .
总结1：如果被积函数是幂函数（指数为正整数） 与三角函数或者幂函数与指数数函数的乘积时， 我们选幂函数为 u
例3 求不定积分
x arctan xdx .
x2 xdx d ( ) dv 2
解：设 u arctan x ,
x2 x arctan x dx arctan x d( 2 ) x2 x2 1 arctan x dx 2 2 2 1 x
x2 1 1 arctan x (1 ) dx 2 2 wk.baidu.com 1 x
例5
x e 求不定积分 sin xdx .
x x e sin x d x e 解： d( cos x )
e x cos x e x cos xdx
e x cos x cos xd(e x )
x e sin x dx
注2：在两次分部积分中，必须选择同类型的 u
x2 1 arctan x ( x arctan x ) C . 2 2
例4 求不定积分 解:
x ln x dx .
x2 令 u ln x , xdx d ( ) dv 2
于是：原式 = 1 x 2 ln x 1 x dx 2 2 1 2 1 2 x ln x x C 2 4 总结2：如果被积函数是幂函数与反三角函数或者 幂函数与对数函数的乘积，我们不选幂函数为 u
e x (sin x cos x ) e x sin x dx
分部积分公式
例1 求不定积分
x xe dx .
设 u x , e x dx d(e x ) dv, 则 解：
x x x x x x x d ( e ) xe e d x xe d x xe e C.
若设 u e x , xdx = d( 1 x 2 ) = dv , 则
例5
x e 求不定积分 sin xdx .
x x e sin x d x e 解： d( cos x )
e x cos x e x cos xdx e x cos x e x d(sin x )
注意循环 形式
于是： x e x e sin x dx 2 (sin x cos x ) C . 总结3：如果被积函数是指数函数与三角函数的乘 积时，任意选择其中一个函数为 u
西安工业大学 理学院 李艳艳
x xe dx ? 问题
x cos xdx ?
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数 u=u(x) 和 v=v(x)具有连续导数,
( uv ) uv uv , uv ( uv ) uv ,
uv dx uv uv dx , udv uv vdu .
2
x x 2 xe d x e d( x )
1 2
1 2 x 1 x e x 2 de x 2 2
显然 , u 和 v 选择不当，积分更难进行. 注1：在分部积分公式中，关键是选择恰当的 u 和 v
例2 求不定积分 x cos xdx . 解：设
则
u x , cos xdx d (sin x ) dv
x cos x dx x d(sin x ) x sin x sin x dx
x sin x cos x C .
总结1：如果被积函数是幂函数（指数为正整数） 与三角函数或者幂函数与指数数函数的乘积时， 我们选幂函数为 u
例3 求不定积分
x arctan xdx .
x2 xdx d ( ) dv 2
解：设 u arctan x ,
x2 x arctan x dx arctan x d( 2 ) x2 x2 1 arctan x dx 2 2 2 1 x
x2 1 1 arctan x (1 ) dx 2 2 wk.baidu.com 1 x
例5
x e 求不定积分 sin xdx .
x x e sin x d x e 解： d( cos x )
e x cos x e x cos xdx
e x cos x cos xd(e x )
x e sin x dx
注2：在两次分部积分中，必须选择同类型的 u
x2 1 arctan x ( x arctan x ) C . 2 2
例4 求不定积分 解:
x ln x dx .
x2 令 u ln x , xdx d ( ) dv 2
于是：原式 = 1 x 2 ln x 1 x dx 2 2 1 2 1 2 x ln x x C 2 4 总结2：如果被积函数是幂函数与反三角函数或者 幂函数与对数函数的乘积，我们不选幂函数为 u
e x (sin x cos x ) e x sin x dx
分部积分公式
例1 求不定积分
x xe dx .
设 u x , e x dx d(e x ) dv, 则 解：
x x x x x x x d ( e ) xe e d x xe d x xe e C.
若设 u e x , xdx = d( 1 x 2 ) = dv , 则
例5
x e 求不定积分 sin xdx .
x x e sin x d x e 解： d( cos x )
e x cos x e x cos xdx e x cos x e x d(sin x )
注意循环 形式
于是： x e x e sin x dx 2 (sin x cos x ) C . 总结3：如果被积函数是指数函数与三角函数的乘 积时，任意选择其中一个函数为 u