关于一阶常微分方程积分因子的求法

关于一阶常微分方程积分因子的求法

摘要

目前关于一阶常微分方程积分因子的求解方法介绍比较零散，一般的教科书中大都局限在一些简单的情况，如公式法一般只给出含有x或y的一元函数的积分因子的情形，很少涉及到二元的情况，对积分因子的求法并没有一个系统全面的总结，故积分因子的求法有广阔的研究空间.一阶常微分方程灵活多变，有多种不同的方程类型，因而可针对不同类型的方程，研究与其适应的求解方法. 本课题将根据积分因子的定义及性质，通过不同的分类方法，在原有求积分因子方法的基础上，对多种求法进行加深和扩充，系统地总结出一些较为规律的求解方法：观察法、公式法和分组法，给出这些方法的使用条件，并对方法的可行性进行证明，结合具体问题进行分析讨论，通过对这三种方法的研究，解决了某些一阶常微分方程的求解问题.

关键词一阶，积分因子，全微分方程，观察，公式，分组，通解

The Solution about First Order Differential

Equation of Intergral Factor

ABSTRACT

At present about first order differential equations solving method of integral factor is introduced, the comparison scattered in general mostly confined to a textbook, such as some simple formula general give only contain x or y unary function of integral factor of the situation, rarely involve the condition of dual integral factor of sapce and no system, so overall summary of integral factor of sapce has broad research space. A flexible and order ordinary differential equations, and there are many different types of the equation, thus the equation of different types, with the solving method to study. This topic will be based on the definition and properties of integral factor, through different classification method and

way of integrating factors in original for the foundation, on the various sapce for deepening and expanded, systematically summarizes some relatively regular solution: observation, formula and grouping law, given these methods using conditions, and feasibility of the method is proved that combined with concrete problems are discussed, based on the three methods to study and resolve some of the first order differential equation problem solving.

KEYWORDS first-order,Integral factor, observation,formula,grouping,general solution.

目录

1 引言 (1)

2 几种变系数齐次线性方程的求解方法 (1)

2.1 降阶法 (1)

2.2 常系数化法 (8)

2.3 幂级数法 (17)

2.4 恰当方程法 (20)

3 结束语 (23)

4 致谢语 (23)

参考文献 (24)

1 引 言

常微分方程是数学科学联系实际的主要桥梁之一。其主要的研究问题是对常微分方程求解。在常微分方程理论中, 一阶常微分方程是微分方程的基础，在常微分中占有举足轻重的地位，一阶常微分方程的初等解法主要有两种:一是利用变量代换法,将方程化成变量分离型方程求解;另一种就是找出方程的积分因子,将方程化为全微分方程进行求解。这种利用积分因子将方程化为全微分方程进行求解的方法既灵活又难掌握,所以系统地研究积分因子的求法很有必要且是非常有意义的。

通过对相关资料的查阅及分析，现有的教材对一阶微分方程的积分因子的求法都有介绍，但大都局限在一些简单的情况，如公式法一般只给出含有x 或y 的一元函数的积分因子的情形，很少涉及到二元的情况，对积分因子的求法并没有一个系统全面的总结，故积分因子的求法有广阔的研究空间。

本课题将根据积分因子的定义及性质，通过不同的分类方法，在原有求积分因子方法的基础上，对多种求法进行加深和扩充，系统地讨论一阶微分方程的积分因子的求解方法（观察法、公式法及分组法），给出一些方法的使用条件，并对方法的可行性进行证明，结合具体问题进行分析讨论，为解决某些非全微分方程的求解问题提供了更加快捷的工具，避免了某些方程的求解方法的繁琐及盲目。 2

几种一阶微分方程的积分因子的求法

2．1 观察法

对于一些简单的微分方程可通过适当分组，利用依一些常见的全微分方程公式观察可得到方程的积分因子，此法称之为观察法。

例2.1.1求解方程

dy

dx

=解：首先，使分母有理化，方程变为

dy dx

=再写成对称式

)

0ydy x dx -

=