中考数学复习指导：一道经典题的“裂变”.doc

一道经典题的“裂变”

纵观近几年各地的中考题，发现有些题目都是以某一问题为背景，进行加工改造、拓

展延伸、迁移演变而成的，这些变化后的题日有吋数量挺多，我们不妨称之谓题目的“裂

变”.现举例如下.

一、试题回放

如图1,正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形，P是EF

和GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE的面积的2倍,试确定ZHAF的大小, 并证明你的结论.

这是1998年北京市屮学生数学竞赛试题，其简略证明如下:

令AE = a, AG = b,

■ . ■ h•—・・CF 二x, CH = y,

则有a + x = b + y,

变形为a - b = y - x.

两边平方，得

a2 - 2ab + b2 = y2 - 2xy + x .

由题意知矽=2ab,代入上式，得a - 2ab + 62 = y2 - 4ab + x , /. a + 2ab + 62 = y2 + x2,' 即(a + b)2 = y2 + x2.

对照图形可知，(A£ + .4G)2= FH2,

AE + AG = FH,

.•・ DH + BF = FH.①

由此可将NDAH绕/!点顺时针旋转90。到的位置，显然rr、B、F共线，= F丹，易得△ FAHw AF/1/r,

・•・乙HAF =乙AFH' = 45°. ②

二、试题“裂变”

1、加工改造使用

探究以上证明中有①、②两个结论产生，显然此两结论在正方形的背景下可以互相推出.

题目1边长为1的正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割成四个小矩形, EF 与GH 的交点为P (参见图1).

(1) 若 AG = AE,证明：AF=AH ；

(2) 若ZHAF=45° ,证明：AG + AE = FH ；

(3) 若RtAGBF 的周长为1,求矩形EPHD 的血积.

简析(1)是一种特殊的状态，显然由△ ABF^AADH 可得；

(2)是根据原题证明中的①、②两个结论可以互相推出直接引用，证明略；

(3)设 BF = x.BG = y,GF = m,

贝 0 x + y = 1 - rn f

x 2 + y 2 = m 2,

2xy = (1 - m)? - 亦

=1 一 2m.

・•・矩形EPHD 的面积为：

(1 - %)(1 - y)

= 1—(1— m) +

— m

1 •— ■■■ ■ 2-

题目2如图2,在正方形ABCD 中，E 是AB ±一点、F 是AD 延长线上一点，且 DF=BE.

图2

⑴求证：CE=CF ； (2)在图 2 中，若 G 在 AD 上，且ZGCE=45° ,求证：GE = BE+GD ；

⑶运用(1)(2)解答屮所积累的经验和知识，完成下题：如图3,直角梯形ABCD 屮,

AD 〃BC(BC>AD), ZB=90° , AB=BC=12, E 是 AB 上一点，且ZDCE=45° , BE

=4,求DE 的长

.

A D G

R C

图3

简析本题将原题的证明过程直接引用，使问题简单而具有层次性.

⑴⑵证明略；

(3)根据以上经验，由题目条件首先将图3补全为正方形ABCG,贝IJ有

DE = BE + DG.

设DE为■则

DG = % - 4,

/. AD = 12 - DG = 16 - %, AE = &

在RtAADE中，有

(16 - x)2 + 82 = X2,

x = 10.

2、拓展延伸使用

再探究图1中，进一步易得ACHF的周长=正方形边长的2倍.作AK丄FH, K为垂足，因为△ FAH^AFAH*,所以AK = AB,同时易得△ABF9AAPF. AADH^AAPH.

题目3如图4,在正方形ABCD屮，点E、F分别在BC、CD上移动，但点A到EF 的距离AH始终保持与AB长相等，问点E、F移动过程中：

(1)ZEAF的大小是否有变化？说明理由；

(2)AECF的周长是否有变化？说明理由.

图4

简析(1)由以上的探讨，可知本题是已知ZEAF=45°,则AH = AB的逆命题.由

AABE^AAHE和厶ADF^AAHF不难得出，所以ZEAF=45°不变；

(2)AECF的周长=正方形ABCD的边长的2倍也不变.

题目4 如图5, AABC 中，己知ZBAC=45° , AD丄BC 于点D, BD = 2, DC=3,

求AD的长.探究并解答下列问题:

B

图5

(1)分別以AB、AC为对称轴，画出△ ABD、AACD的轴对•称图形，D点的对称点为

E、F,延长EB、FC相交于G点，证明四边形AECF是正方形；

(2)设AD=x,利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.

简析⑴利用轴对称的性质，不难得出ZEAF=90°・

又ZE = ZF = 90°,

且= AF = AD,

/.四边形AEGF是正方形；

(2)在RlZkBGC 中，

BG = % - 2 ,CG = % - 3,

.・.(% 一2)2 +(X -3)2 = (2 +3)2,

% = 6.

题目5 ⑴如图6, AABC内接于00, AD丄BC, OE丄BC, OE=-BC,求ZBAC

的度数；

(2)将AACD沿AC折叠为AACF,将AABD沿AB折叠为Z\ABG,延长FC和GB相

交于点H.求证：四边形AFHG是正方形；

(3)若BD=6, CD=4,求AD 的长.

简析本题是与圆的有机结合，除⑴利用圆的知识求解外，(2)(3)与上题相同.

(1)ZBAC=45°；