概率的统计定义

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三、计算概率的例题
例1 袋内装有5个白球 3个黑球 从中任取两个球 计算 取出的两个球都是白球的概率 解 组成试验的基本事件总数为
n C523
组成所求事件A(取到两个白球)的基本事件数为
m C52
由概率的计算公式 有
C52 5 m P( A) 2 0.357 n C8 14
(2)200 个同型号产品中有 6 个废品 从中每次抽取 3 个进行 3 检验 共有C200 种不同的可能抽取结果 并且任意 3 个产品被取 到的机会相同
在古典概型试验中 假定能够知道有利于某一事件A的基 本事件数 就可以通过这个数与试验的基本事件总数之比计 算出概率P(A)
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掷硬币试验 前人掷硬币试验的一些结果列于下表
由表看出 出现正面的频率接近0.5 并且抛掷次数越多 频率越接近0.5 经验告诉人们 当试验次数n很大时 事件A的频率具有一 种稳定性 它的数值徘徊在某个确定的常数附近 而且一般说 来 试验次数越多 事件A的频率就越接近那个确定的常数
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掷硬币试验 前人掷硬币试验的一些结果列于下表
这种在多次重复试验中 事件频率稳定的统计规律 便是 概率这一概念的经验基础 而所谓某事件发生的可能性大小 就是这个 “频率的稳定值”
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定义1.1(概率的统计定义) 在不变的条件下 重复进行n次试验 事件A发生的频率稳 定地在某一常数p附近摆动 且一般说来 n越多 摆动幅度越 小 则称常数p为事件A的概率 记作P(A)
§12 概率
一、概率的统计定义 二、概率的古典定义 三、计算概率的例题
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一、概率的统计定义
事件发生的频率 在n次重复试验中 若事件A发性了m次 则m/n称为事件A 发生的频率 同样若事件B发生了k次 则事件B发生的频率为 k/n 如果A是必然事件 则有mn 即必然事件的频率是1 显 然 不可能事件的频率为0 而一般事件的频率必在0与1之间 如果事件A与B互不相容 那么事件AB的频率为(mk)/n 这称之为频率的可加性
说明 频率的稳定性是概率的经验基础 但并不是说概率决定 于试验 一个事件发生的概率完全决定于事件本身的结构 是 先于试验而客观存在的
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定义1.1(概率的统计定义) 在不变的条件下 重复进行n次试验 事件A发生的频率稳 定地在某一常数p附近摆动 且一般说来 n越多 摆动幅度越 小 则称常数p为事件A的概率 记作P(A)
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例3 两封信随机地向标号为I、II、III、IV的4个邮筒投 寄 求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率 解 设事件A表示第二个邮筒只投入1封信
两封信随机地投入 4 个邮筒 共有 42 种可能投法 而组成 1 1 C3 种 由概率的计算公式 有 事件 A 的不同投法只有C2
说明
数值p(即P(A))就是在一次试验中对事件 A发生的可能性 大小的数量描述 例如 用0.5来描述掷一枚匀称的硬币 “正面”出现的可 能性
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定义1.1(概率的统计定义) 在不变的条件下 重复进行n次试验 事件A发生的频率稳 定地在某一常数p附近摆动 且一般说来 n越多 摆动幅度越 小 则称常数p为事件A的概率 记作P(A)
定义1.2(概率的古典定义) 若试验结果一共由n个基本事件E1 E2 En组成 并且这 些事件的出现具有相同的可能性 而事件A由其中某m个基本 事件组成 则事件A的概率可以用下式计算
有利于A的基本事件数 m P( A) 试验的基本事件总数 n 这里E1 E2 En构成一个等概完备事件组
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例2 一批产品共200个 有6个废品 求 (1)这批产品的废品率 (2)任取3个恰有1个是废品的概率 (3)任取3个全非废品的概率 解 设事件A1表示任取一个是废品 事件A2表示任取3 个 恰有1个是废品 事件A3表示任取3个全非废品 则所求概率为 (1) P( A1) 6 0.03 200 1 2 C6 C194 (2) P( A2 ) 3 0.0855 C200 3 C194 (3) P( A3) 3 0.9122 C200
这类试验的共同特点是 每次试验只有有限种可能的试 验结果 即组成试验的基本事件总数为有限个 每次试验中 各基本事件出现的可能性完全相同 具有上述特点的试验称为古典概型试验
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二、概率的古典定义
观察与思考 考察下述类型的试验的共同特点 (1)抛掷一枚匀称的硬币 可能出现正面与反面两种结果 并且这两种结果出现的可能性是相同的
1 1 C2 C3 3 m P( A) 2 n 4 8 同样还可以计算出前两个邮筒中各有一封信的概率P(B)
1 C2 m P(B) 2 1 n 4 8
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作业
习题一：6，8，11，12（P26）
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二、概率的古典定义
观察与思考 考察下述类型的试验的共同特点 (1)抛掷一枚匀称的硬币 可能出现正面与反面两种结果 并且这两种结果出现的可能性是相同的
(2)200 个同型号产品中有 6 个废品 从中每次抽取 3 个进行 3 检验 共有C200 种不同的可能抽取结果 并且任意 3 个产品被取 到的机会相同
说明 概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客观存在的 但并不能用这个定义计算概率P(A) 实际上 人们是采取一次 大量试验的频率或一系列频率的平均值作为P(A)的近似值的
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举例 从对一个妇产医院6年出生婴儿的调查(见表)
可以看到生男孩的频率是稳定的 可以取0.515作为生男孩概 率的近似值