美国著名数学教育家波利亚说过

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。

常常用用数数学学思思想想：：函函数数与与方方程程思思想想、、数数形形结结合合思思想想、、分分类类讨讨论

论思思想想、、转转化化（（化化归归））思思想想等等

数学思想方法与数学基础知识的关系

数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。

数学思想与数学方法的关系

数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。

常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；

可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”

数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；

数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；

再议功的定义

江苏省南通市第二中学陈雅

功的定义是什么？对学过中学物理的学生来说，功的定义往往理解为力与力方向上的位移的乘积。这个理解是对的，但是不确切。“位移”到底是谁的位移，是力的作用点的位移，还是物体的位移？还是力作用的质点的位移？这实际上涉及功的定义的几种描述。在现行高中物体课本中，对“功”是这样描述的：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。

在很多情况下，我们把“位移”讲授成“物体的位移”，或没有明确指出“位移”是“谁的位移？”。而且在大多数情况下，我们把所研究的物体当作质点，因此也就不存在几个位移的区别，把位移笼统地理解为“物体的位移”。

下面的例题中，将看到不同的位移。

质量为m的物体放在光滑的水平面上，绳经滑轮与水平方向成θ角，用大小为F的力拉物体，如图1所示。将物体由A点拉到B点，前进s。求拉力对物体所做的功为多少？

在本例中，力F是作用在绳上的，题目已知的位移是物体的位移，不是力F的作用点的位移。由于力F作用点的位移不是直接知道，而且力F与其作用点的位移AC=S’的方向夹角β也是未知，所以老师往往引导学生解本题时，是从力F对物体做的功等效于连接滑轮和物体的细绳的力F’对物体做的功。而F’的大小能容易求出，且物体的位移s与F’的方向相同，所以功的求解很方便。

实际上，上面的求解过程，位移用的是物体的位移，力是转化成作用在物体上的力。那么依据这种理解求的功是不是符合题目原意呢？下面给出依据两种定义分别求功的过程，将证明在本例中两种求解结果是相同的。

解法一：由物体的位移定义功，W＝F’S＝(F+Fcosθ)S＝F (1+cosθ)S

解法二：由力的作用点定义功，W’＝FS’cosβ

由几何关系得出AB＝BC＝S，所以θ＝2β，S’＝2Scosβ

所以W’＝FS’cosβ＝FS2（cosβ）2＝F (1+cosθ)S＝W

从这个例子中，我们看到两种定义的结果是一样的，但是下面的例子中，我们将看到按两种定义导出的结论是不同的。以物体在水平地面上滑动为例，物体受到地面给它的摩擦力F，地面受到问题给它的反作用摩擦力F’，物体沿地面向前运动位移s，则物体所受的摩擦力F对物体作的功为W1，物体对地面的摩擦力F’对地面所作的功为W2。按第一种定义，功是力与物体的位移的标积，则由于地面不运动，所以W2＝0，与我们的常识吻合；而按第二种定义，功是力与力的作用点的位移的标积，则W2＝－W1。即按第二种定义，由于作用力与反作用力始终等值反向，所以作用力与反作用力的功恒为等值异号，因此一对摩擦力作功之和为零，不造成系统动能的损失，这显然是荒谬的。还有一些实例，如匀质圆柱沿粗糙斜面无滑动地滚下时，按第二种定义“作用点”的观点，此时圆柱对斜面的摩擦力将要做功，且将转化为热。但事实是在这个问题种机械能守恒，并无机械能转化为热的现象。这里并非是要说明第二种定义就不对，事实上按第一种定义计算摩擦力做功时，当力的作用点在受力物体上有相对位移时，质点的动能定理不再成立，而必须加上附加项。这样一来，所有教科书以及文献有关内容都要作修改，加上一定的条件或作某些修正，这显然会造成很大的混乱。或者，在中学阶段将无法完成功的计算。

所以，下面将讨论第三种定义，功是力与力所作用的那个质点的位移的标积，即“位移”

定义为“力所作用的质点的位移”。按这种说法，在计算摩擦力做功时，相互有摩擦力作用的两平动物体，都对同一惯性系来计算力的作用质点的位移（实即两物体的位移）。而两物体间的相对位移只引起力的作用点的依次改变，而不是作机械功。在经典力学范围那，对于以摩擦力、弹性力等相互作用的两物体，其作用力与反作用力满足牛顿第三定律，但两物体（质点）可能由于质量不等、起始条件不同，或所受的外力不同等原因，以致在同一作用时间那，两质点的位移可能不同。因此作用力的功和反作用力的功未必等值异号，其和不一定为零。这样按第三种定义，可以解决前面所产生的荒谬或困惑。总之，用第三种说法来定义机械功时，不仅适用范围广泛，而且可以防止一些曲解，不会得出不合理的结论。

机械功定义的三种表述，反映了在物理教学研究方面为解决这一问题所进行的努力。在其开始建立时受到历史和条件的限制，它所能概括大范围是很小的，随着讨论问题的广泛和深入，有必要改进机械功的表述，在原有基础上扩展其适用范围。

实际上，这里还只讨论了机械功的概念。而机械功仅是功的概念的一部分，它仅仅反映了“力的使问题移动的特性”，而功的概念是整个物理学中的一个重要概念，它与物体系的能量概念有着及其密切的联系，机械功的概念仅为能的概念及运动形态变化的问题准备了必要的条件。只有当我们确定了所作的功与能量变化之间的关系之后，才能够充分说明功的物理意义：功是能量变化的量度。可见，只有明确了能的概念后，才能对功的概念有一个深入的理解。但事实上在物理教学中，在讲授功时，能的定义还没有作出，这样就只有用一些与功密切联系的已知概念来作出功的定义，这就是为什么我们只用功与力及位移这两个概念之间的联系来明确功的具体内容。这就决定了机械功的定义的局限性。

2009-09-10 人教网