数学建模 题和答案

(x1 , x 2 ) 就形成了一个投资组合。记 X 为投资甲证券的收益率， Y 为投资乙证券的
收益率，它们都是随机变量。如果已知 X 和 Y 的均值（代表平均收益）分别为 µ1 和
µ 2 ，方差（代表风险）分别为 σ 12 和 σ 22 ， X 和 Y 间的相关系数为 ρ 。试求该投资
组合的平均收益与风险（方差） ，并求使投资风险最小的 x1 是多少？ 三、 （15 分）某公司在销售自己的产品时没有打广告。经过对市场的调查发现，这种商 品的销售模型可以近似为 Logistic 模型。已知这种商品最大的需求量为 Qm ，在调 查开始时市场的拥有量为 Q0 ，求这种商品的销售量模型，利用这个模型的结果分析 这种商品销售量的变化趋势。 四、 （15 分）经济系统有三个生产部门，它们的直接消耗系数矩阵如下：
五、 （15 分）某企业生产 A, B 两种产品，消耗甲、乙、丙三种资源，各种已知条件如表， 其中消耗系数为单位产品对资源的消耗量(吨/公斤)
消耗 系数 原料
产 品
A
B
资源限量 (吨) 90 80 45
甲 乙 丙 产品价格(千元) （1） 、求最优生产方案.
1 2 1 5
3 1 1 4
（2） 、求资源甲、乙、丙的影子价格，并对最优方案的资源使用情况作出分析. （3） 、若企业又研制了一种新产品，它对三种资源的单位消耗分别是 1，1，2，单位产 品的售价为 6 千元，问是否应生产这种新产品？ 六、 （15 分）某工厂生产某种机器，决策者可选择生产 10 台，20 台或 30 台。实际需求 可能是 10 台，20 台或 30 台。假设卖出一台利润为 10 万，滞销一台损失为 2 万，决 策者应如何决策？(列出三种方法) 七、 （15 分）某产品按合同规定须于当年每个季度末分别提供 10,15,25,20 台同一规格的 柴油机,已知该厂每个季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下 季度 生产能力(台) 单位成本(万元) 1 25 10.8 2 35 11.1 3 30 10.0 4 10 11.3
0.1 0 0.2
0 0.2 0.1
0.2 0.1 0
（1） 、已知各部门的总产值为：第一部门 10 亿元，第二部门 10 亿元，第三部门 20 亿元，问各部门的最终产品是多少？
（2）求各部门的消耗需求； （3） 、直接消耗系数矩阵和完全消耗系数矩阵的关系是什么？
∗
它与 µ1 、 µ 2 无关，又因为 DZ 中 x12 的系数为正，所以以上 x1 可使组合风险达到最小。 三 、 设 x 表 示 t 时 刻 的 销 售 量 ， 由 题 中 条 件 知 Q (0) = Q0 ， 所 以 数 学 模 型 为
Q dQ = r (1 − )Q Qm dt Q (0) = Q 0
西安交通大学考试题
课 程
系 别
成绩
经济数学建模
经济金融学院 考 试 日 期 2009 年 4 月 29 日
专业班号 姓 名 学 号
一、 （10 分）写出柯布—道格拉斯生产函数，它是多少次的齐次函数？其中参数的经济 意义是什么。 二、 （15 分） （投资风险组合）某投资者有一笔资金，总量记为 1，打算投资甲、乙两种 证券，若将资金 x1 投资于甲证券，将余下的资金 1 − x1 = x 2 投资于乙证券，于是
（3）二者关系是 B = ( E − A) − E
−1
max z = 5 x1 + 4 x2
五、 （1）建模 设 x1 , x2 分别为 A、B 的产量，则
x1 + 3 x2 ≤ 90 2 x + x ≤ 80 1 2 x1 + x2 ≤ 45 x1 , x2 ≥ 0
用单纯形法求解得
第一种：期望值决策法 采取 3 种策略的期望分别是 100，140，144，所以生产 30 台。 第二种：悲观法 10 台 第三种：乐观法 30 台
七、解 设 xij 表示第 i 季度生产的柴油机第 j 季度交货，则数学模型为
min z = 10.8 x11 + 10.95 x12 + 11.1x13 + 11.25 x14 + 11.1x22 + 11.25 x23 + 11.4 x24 + 11x33 + 11.15 x34 + 11.3 x44
2 DZ = D { x1 X + (1 − x1 ) Y } = x12σ 12 + (1 − x1 ) σ 2 + 2 x1 (1 − x1 )ρσ 1σ 2 . 2
Z = x1 X + x 2Y = x1 X + (1 − x1 )Y ，
EZ = x1 EX + (1 − x1 ) EY = x1µ1 + (1 − x2 ) µ2 ，
如果生产出来的柴油机当季不交货,每台每积压一个季度需存贮和维护费等费用 0.75 万元,要求在完成合同的情况下,建立使该厂全年生产费用最小的数学模型.(不求解)
参考答案 一、解
Q = AK α Lβ
0 <α , β < 1 ，它是 α + β 次齐次函数 A 代表
科技进步对产出的影响， α，β 分别表示产出关于资金和劳动投入的弹性。 二、解 因为组合收益为 解 所以该组合的平均收益为 而该组合的风险（方差）为
求最小组合风险，即求 D (Z ) 关于 x1 的极小值点，为此令
d ( DZ ) dx1
从中解得
∗
2 = 2 x1σ 12 − 2 (1 − x1 ) σ 2 + 2 ρσ 1σ 2 − 4 x1 ρσ 1σ 2 = 0 ，
2 σ 2 − ρσ 1σ 2 x1 = 2 . 2 σ 1 + σ 2 − 2 ρσ 1σ 2
四、 解 （1）由
解得
Q(t ) =
Qm Q 1 + ( m − 1)e − rt Q0
当 t → ∞ 时， Q (t ) → Qm
AX + Y = X 得 Y = X − AX = ( E − A) X
0 0.9 Y = 0 0.8 −0.2 − 0.1
（2）各部门的消耗量分别为
− 0.2 10 5 − 0.1 10 = 7 1 20 17
0.1 1 0 0 0.2 4 10 0 = 0 ， 10 0.2 = 2 ， 20 0.1 = 2 0.2 2 0.1 1 0 0
x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 25 x + x + x ≤ 35 22 23 24 x33 + x34 ≤ 30 x44 ≤ 10
x11 = 10 x12 + x22 = 15 x13 + x23 + x33 = 25 x + x + x + x = 20 14 24 34 44 xij ≥ 0
x1 = 35,
xபைடு நூலகம் = 10
（2）甲、乙、丙的影子价格分别为 0，1，3，这说明乙和丙资源已用尽，而甲资源已 有剩余。 （3）因为 1× 0 + 1×1 + 2 × 3 = 7 > 6 所以不应生产该新产品。 六、解 损益阵如下 需求 策略 10 20 30 100 80 60 100 200 180 100 200 300 10 20 30