概率论第2章第一讲

3. 若有彼此独立工作的同类设备90台，每台发生故障 的概率为0.01，现配备三个修理工人，每人分块包修 30台，求，（1）设备发生故障而无人修理的概率？ （2）若三人共同负责维修90台，这时设备发生故障而 无人修理的概率又是多少？ 解: (1)设Ai=“第i人包修的30台设备发生故障无人修理” 设Xi为第i人包修的30台设备同时发生故障的台 数。则 X i ~ b( 30, 0.01) P ( Ai ) = P ( X i ≥ 2) = 1 − P ( X i= 0) − P ( X i = 1) ≈ 0.0369
m = C k −−1 p m −1 (1 − p) k − m p 1
∴ P{ X = k} = Ckm−−1 p m −1 (1 − p ) k − m p, k = m, m + 1, m + 2,... 1
2.设某国每对夫妇的子女数X服从参数为λ的泊松分布, 且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选 一对夫妇,至少有3个孩子的概率。
三、几种常用的离散型随机变量 1. (0-1)分布(p25) 若X只能取0、1两个值，且 分布律为 P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, k＝0,1。 (0<p<1) 则称X服从参数为p的0—1分布或两点分布。 即
X来自百度文库
1
0
pk
p
1− p
2. 二项分布 · 贝努利试验：若试验E只有两个结果，记为 A、A. · n重贝努利试验：独立重复的进行n次贝努利试验。 a. 每次试验均为贝努利试验，只有两个结果。 b. 重复，指每次试验P(A)不变，为定值。 c. 独立，指某次试验事件A发生与否与其它次试验 事件A发生与否互不影响。
例4：设书中每一页上印刷错误个数服从参数为λ=1/2 的泊松分布，求（1）一页上至少有一处印错的概率？ (2) 10页中至多有一页有错的概率？ 解: (1) 设X为一页上印刷错误的个数，则 X ~ π ( 1 2 ) 所求概率为：
P ( X ≥ 1) = 1 − P( X = 0) = 1 − e
解: 由题意,
QX ~ π (λ), 且P( X ≤1) = P{X = 0}+ P{X =1} = 3e
−2
e + λe = 3e ⇒λ = 2
−2
−λ
−λ
P{ X ≥ 3} = 1 − P{ X = 0} − P{ X = 1} − P{ X = 2}
21 − 2 2 2 − 2 = 1 − e − 2 − e − e = 1 − 5e − 2 ≈ 0.323 1! 2!
k
例1 掷一颗骰子10次，求（1）双数点出现6次的概 率？（2）“3”点出现两次的概率？ 解：(1)设X表出现双数点的次数，则X~b(10，1/2） 6 6 所求概率： ( X = 6) = C10 ( 1 )6 ( 1 )10− 6 = C10 ( 1 )10 P 2 2 2 (2) 设Y表出现“3”点的次数，则Y~b(10，1/6） 2 所求概率为： P (Y = 2) = C10 ( 1 ) 2 ( 5 )8 6 6
k n
{ X = k } = A1 L Ak A K + 1 L An U A1 A2 L Ak A K + 1 Ak + 2 L An
又
P ( A1 A2 L Ak AK + 1 L An ) = ∏ P ( Ai ) ∏ P ( Ai ) = P k (1 − p ) n − k
所以
k n k
i =1
随机变量的分类：
⎧ ⎪ 离散型随机变量 ⎪ 随机变量 ⎨ 连续型 ⎧ ⎪非离散型⎨ ⎪ ⎩奇异型（混合型） ⎩
二、离散型随机变量
(P24)定义: 若随机变量X取值x1, x2, …, xn, … 且取这些值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则称 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 为X的分布律。可表为 X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )， 或…
(2) 设Y为10页中有错的页数，则
−1 2
≈ 0.395
Y ~ b(10,0.395)
所求概率为：
P (Y ≤ 1) = P (Y = 0) + P(Y = 1) ≈ 0.049
练习
1.进行独立重复试验，每次成功的概率为p，令X表 示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，求X 的分布律。 k −1 解: 当 m=1 时, P{ X = k} = (1 − p ) p, k = 1,2, L 当 m>1 时,X的可能取值为:m,m+1,m+2,… P{X=k}=P{第k次试验成功并且 在前k-1次试验中成功了m-1次}
几何意义：
X
R
例1：引入适当的随机变量描述下列事件： ①将3个球随机地放入三个格子中，事件 A={有1个空格}，B={有2个空格}， C={全有球}。 ②进行5次试验，事件 D={试验成功一次}， F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}
解：① 设X为将3个球随机地放入三个格子后的 空格数，则 A={X=1}，B={X=2}，C={X=0} ② 设Y为进行5次试验中成功的次数，则 D={Y=1}，F={Y≥1},G={Y≤3}
∴ = 1 − e − 6 − 6e − 6 ≈ 0.9826
k!
e −λ ,
k＝0, 1, 2,···
P { X ≥ 2} = 1 − P { X < 2} = 1 − P { X = 0} − P { X = 1}
常用分布律之间的关系
1. (0－1)分布和二项分布的关系 (0－1)分布是二项分布B(n, p)中n＝1时的特例；
C 2. 给出下列数列 p( x ) = x , x = 0,1,2,3,4 , 要使该数列称 2
为一个分布律, C应该为多少?
c = 16 31
3. 一只盒子里放有五张纸条, 上面分别写有1,1,1,10,25. 若随机从盒中取二张纸条, 其上面数字之和记为Y, 求Y的 分布律.
4. 掷一颗骰子, 若出现1、2或3点则再连掷一次, 掷完游戏 结束, 若出现4,5或6点, 则游戏立即结束. 结束时骰子出现的点数, 求X的分布律. 用X表示游戏
∴ P ( A1 U A2 U A3 ) = 1 − P ( A1 A2 A3 ) = 1 − ∏ P ( Ai ) = 0 .1067
i (2)设Y为90台设备同时发生故障的台数,则
Y ~ b(90, 0.01)
∴ P(Y ≥ 4) = 1 − ∑ P(Y = i ) ≈ 0.0135
i =0
3
X： S → R
(p23)定义. 设S={e}是试验的样本空 间，如果量X是定义在S上的一个单值 实值函数，即对于每一个e∈S，有唯 一确定的实数X=X(e)与之对应，则称 X为随机变量。 随机变量常用X、Y、Z 或 ξ、η、ζ等 表示。记为r.v.X等。
引入随机变量的意义:
1.将随机试验的结果数量化。 2. 描述随机事件.
第二章
随机变量
分布函数定义 连续型随机变量定义 随机变量函数的分布 多维随机变量的边缘分布与独立性 条件分布
§2.1 离散型随机变量
一、随机变量的概念 实例: 做试验抛一枚均匀硬币，其样本空间 S＝{ω}＝{H,T} 可规定映射
⎧1，ω＝H X＝X(ω)＝ ⎨ ⎩0，ω＝T
随机变量实际上是定义在样本空间上的一个实函数。
几个二项分布的分布律图示
3. 泊松(Poisson)分布(p27) 定义：若r.v.X的分布律为：
λk X～P{X＝k}＝
其中 (λ>0) 则称r.v.X服从参数为λ的泊松分布。记为： X ~ π (λ ) 例3: 某信息服务台在一分钟内接到的问讯次数X服从 参数为λ的泊松分布,已知任一分钟内无问讯的概率为 e-6,求在指定的一分钟内至少有2次问讯的概率。 解： Q X ~ π ( λ ), 且P ( X = 0 ) = e −6 即 e − λ = e −6 ⇒ λ = 6
问题：设X为n重贝努利试验中事件A发生的次数，且
P(A)=p，求r.v.X的分布律。 解 r.v.X 的可能取值为0，1，···，n ： Ai=“第i次试验事件A发生”，i=1,2,···,n.且P(Ai)=p 设 因为 对∀k = 0,1, ,n L
U L U A1 A2 L An − k An − K + 1 L An
例2 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试 求其命中次数不少于2的概率。 解: 设X表示400次独立射击中命中的次数， 则X～b(400, 0.02)， 故 P{X≥2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399) ＝0.997165.
i = k +1
P ( X = k ) = C P (1 − p )
n−k
k = 0,1, L , n
若以X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数， P(A)=p, 则称X服从参数为n,p的二项分布。 记作X~b(n,p), 其分布律为：
P{X = k} = Cn pk (1 − p)n−k , (k = 0,1...n)
2. 二项分布和泊松分布的关系 泊松定理： 设随机变量Xn~ B(n, pn), (n＝0, 1, 2, …), 且
lim(npn ) = λ > 0,
n→∞
λ为常数，则
n−k
lim C p (1 − p n )
n→ ∞ k n k n
λk − λ ＝ e , k!
k＝ 0, 1, 2, ···
该定理表明：泊松分布是二项分布的极限分布，当 n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数 λ=np的泊松分布
试求:
P ( X ≤ 4), P(2 ≤ X ≤ 5), P ( X ≠ 3)
0.72 0.7
解：0.87
练习
1．一个盒里有四张纸条，上面分别写着1,2,3,4. 随机从盒中 不返回地取出两张纸条, 请写出下面随机变量可能的取值. (1) (2) (3) (4) X表两个数的和 Y表第一个数与第二个数之差 Z表偶数纸条的张数 W表写着4的纸条张数
X X~ Pk p1 p2 … pk … x1 x2 … xK …
● 分布律的性质
(1) pk ≥ 0, k＝1, 2, … ; (2)
∑ p ＝1 .
k ≥1 k
例1 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从 中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X的分布 律。 解: X的可能取值为0，1，2
C C P{ X＝k }＝ C
k 2
3− k 3 3 5
. k = 0,1,2
对离散型随机变量来说,概率分布律可以完全 描述它的统计规律.换句话说,已知分布律,就 可以求出各种概率.
P( X ∈ (a, b)) =
例3
xi∈( a ,b )
∑ P( X = x )
i
设随机变量X的分布律为
⎛0 1 2 3 4 5 6 ⎞ ⎜ ⎜0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03 ⎠ ⎝