电路原理 第8章 含有耦合电感的电路

u2
u22
u21
L2
di2 dt
M 21
di1 dt
可以证明 M12 M 21 M
统一用M来表示两个线圈之间的互感系数。
耦合电感元件的伏安关系为
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u 2
L2
di2 dt
M
di1 dt
同名端 ：当电流分别从两个线圈各自的某个端钮流
入（或流出）时，若两者在同一线圈上产生的磁 通方向一致，则称这两个端钮互为同名端，用“· ” 或“* ”表示。
I1 R1 jωM R2 I2
＋
US
jωL1
jωL2
ZL
－
图8.2-9 空心变压器
8.3 理想变压器
理想变压器是实际变压器理想化了的电路元件。
理想变压器是一种理想化的模型，它必须满足以下 三个条件：
1.变压器本身无损耗，这就说明线圈导线的电阻
等于0，铁磁材料能百分之百的导磁；
2.两个线圈全耦合，即耦合系数 k
•
•
令 L L1 L2 2M 则 U jL I
耦合电感的两个线圈在顺接串联时 ,等效电感为 :
L L1 L2 2M
2．反接串联
图8.2-2（b）中，两个线圈反接串联，处于正
弦稳态下，根据同名端的位置，在互感电压前应取
负号，a、b两端的电压为
•• •
•
•
•
•
U U 1 U 2 ( jL1 I jM I ) ( jL2 I jM I )
所以
•
I
•
Us Z
10000 162.7910.620
0.61 10.620
A
由分流公式，得电容电流为
•
IC
Z1
•
I
150 2450
0.61 10.620 0.8215.950 A
Z1 Z2 150 j150 j100
则
•
UC
j 1
C
•
IC
j50 0.8215.950
41 74.050
L1 L2 2M
因此，耦合电感在反接并联时的等效电感为
L L1L2 M 2 L1 L2 2M
三、耦合电感的Y形去耦等效
四端元件耦合电感在两个端钮相联时就变成了三
端元件，这时也可分为两种情况，即同名端相联和异 名端相联。
1．同名端相联的Y形去耦等效
图8.2-4（a）所示电路是耦合电感元件的两个同名
U• ac
jL1
•
I1
jM
•
I2
jL1
•
I1
••
jM (I I1)
j(L1
•
M)I1
jM
•
I
U• bc
jL2
•
I2
jM
•
I1
jL2
•
I2
••
jM (I I 2 )
j(L2
•
M)I2
jM
•
I
同样到，由式8.2-7也可画出去耦后的等效电路，如 图8.2-5（b）所示。
a ＋
I1 jωM I2 b ＋
电感（－M）和电容C串联后的等效阻抗为
Z2
jM
j1
C
j(1000
则电路的总等效阻抗为
0.05
1000
1 20
10
6
)
j100
Z
R1
j(L1
M)
Z1Z 2 Z1 Z2
150 2450 100 900 100 j1000 (0.1 0.05)
150 j150 j100
100 j150 60 j120 160 j30 162.7910.620
则称两个线圈为全耦合，若 K 1，则称两个线圈
为紧耦合，若 K 1，则称两个线圈为松耦合。
8.2 含有耦合电感元件的正弦稳态电路分析
找耦合电感元件的相量模型 ,再用相量法分析和计算
8.2-1 耦合电感元件的相量模型：
•
电流、电压都用相量 I 1
•
I2
、U• 1 、U• 2 表示
a I1 ＋
jωM I2
第8章含有耦合电感的电路
8.1 耦合电感元件
两个电感线圈之间的磁耦合现象。
Φ11
＋ u1
a i1
L1
－ a’
＋ u2
b i2
－ b’
Φ22 （a）
Φ12 Φ21
L2
a i1(t) ＋
M
i2(t) b ＋
u1(t)
－ a’
L1
L2
（b）
u2(t) －
b’
图8.1-1 耦合电感线圈及耦合电感的符号
在线圈L1两端产生感应电压 u11 当电压与电流i1呈
b （b）
图8.2-3 耦合电感的并联
1．顺接并联的去耦等效: 将耦合电感的两个同名端联在一起的并联，
称为顺接并联，如图8.2-3（a）所示。
•• •
由KCL可得 I I 1 I 2
又
•
•
•
U jL1 I 1 jM I 2
•
•
•
U jL2 I 2 jM I 1 上式组成的方程组，得
•
I1
对于线圈L1，电压u1和电流i1的参考方向关联，则
自感电压前取正号，又由于u1的正端与i2的流入
端互为同名端，则其互感电压前取正号；对于线
圈L2，电压u2和电流i2的参考方向非关联，则自
感电压前取负号，又由于u2的正端与i1的流入端
不是同名端，即异名端，则其互感电压前取负号，
因此，伏安关系为
u1
L1
j(L2 M )
L1L2 M
2
•
U
•
I2
j(L1 M )
L1L2 M 2
•
U
则
•
I
••
I1 I2
L1 L2 2M
•
U
j(L1L2 M 2 )
即
•
U j
L1L2 M 2
•
•
I jL I
L1 L2 2M
因此，耦合电感在顺接并联时，可以等效为一个电 感，其等效电感为 L L1L2 M 2
正弦稳态电路中，式8.3-1的相量形式为
•
U
1
n
•
U 2
•
I
•
I
1 2
1 n
如果理想变压器副边接入负载，如图8.3-1所示，那
么，从原边看进去的等效输入阻抗为
•
•
•
Z1
U1 • I1
nU 2
1
•
I
2
n2
U2 • I2
n2ZL
n
理想变压器除了变压、变流作用外，还有变换 阻抗的作用 .
4) 4
2H
例8.2-2 图8.2-7（a）所示的正弦稳态电路中，电压
源
•
Us
100
，上R2的电150压
00 V
L1，。
，
0.1H
uc
1000rad
，L2 0.1H
/，Ms， 0R.015H。1C0求0电20容F，C
M
I R1
L1
L2
＋ US
＋ IC R2
－
UC C
－
I R1 L1＋M L2＋M
L1 L2 2M
2．反接并联的去耦等效
将耦合电感的两个异名端联在一起的并联，称为 反接并联，如图8.2-3（b）所示
•• •
可以得到以下方程组 I I 1 I 2
•
•
•
U jL1 I 1 jM I 2
•
•
•
U jL2 I 2 jM I 1
解得
•
U j
L1L2 M 2
•
•
I jL I
di1 dt
M
di2 dt
u2
L2
di2 dt
M
di1 dt
i1 ＋
M i2 ＋
u1
L1
L2 u2
－
－
图8.1-2
互感系数 :M表明了两个线圈耦合松紧的程度，两个 线圈耦合越紧，M越大，耦合越松，M越小。
耦合系数定义为 : K M L1L2
K的大小由两个线圈的结构、相互位置及线圈
周围的磁介质等决定。显然，K 1 。若 K 1，
一、耦合电感串联的去耦等效：
耦合电感的串联有两种情况，两线圈的异名端
相联，称为顺接串联，如图8.2-2（a）所示；两线 圈的同名端相联，称为反接串联，如图8.2-2（b） 所示
aI ＋＋
jωM －
U U1 jωL1 －
U2 jωL2
＋
－
b
a I jωM
＋＋
－
U U1 jωL1 －
jωL＋2U2
－
b
（a）
•
U abk
6
•
U1
2 1800
jωL1
Uac
jωL2 Ubc
－
cI
－
a I1
＋
jω(L1 ＋ M)
I2 b ＋
jω(L2 ＋ M)
Uac
－jωM
Ubc
－
I c
－
（a）
（b）
图8.2-5 异名端相联的Y形去耦等效
例8.2-1 电路如图8.2-6（a）所示，L1=10H， L2=2H，M=4H，求a、b两端的等效电感。
a
a
M
L1
L1＋M
V
因此，电容电压为
uc 41 2Sin(1000t 74.050 ) V
8.2-4 空心变压器
空心变压器是绕在非铁磁芯上的两个耦合线圈， 其中，一个线圈作为输入，接入电源或信号源，称 为原边电路或初级电路（primary circuit），另一个 线圈作为输出，接入负载，称为副边电路或次级电 路.
•
j(L1 L2 2M ) I
同样地令
L L1 L2 2M
则
•
•
U jL I
因此，耦合电感的两个线圈在反接串联时，可等效为
一个电感，其等效电感为
L L1 L2 2M
二、耦合电感并联的去耦等效
a
I
jωM
＋
I1
I2
a
I
jωM
＋
I1
I2
U
jωL1
jωL2
U
jωL1
jωL2
－
－
b （a）
关联参考方向，即与磁通Φ11符合右手螺旋关系 时，则线圈L1的感应电压为：
u11
d11 dt
N1
d11 dt
L1
di1 dt
电压是由线圈L1本身的施感电流i1引起的，所以称 为自感应电压，简称自感电压 。磁通Φ11称为自 感磁通，而把电感系数L1称为自感系数，简称自 感，单位是亨利（H）。
M12称为互感系数，简称互感 。
I2
•
jL1 I 1
•
jM (I
•
I1)
j(L1
•
M)I1
jM
•
I
U• bc
jL2
•
I2
jM
ห้องสมุดไป่ตู้
•
I1
jL2
•
I2
••
jM (I I 2 )
j(L2
•
M)I2
jM
•
I
形状上是一个星形（Y形）三端电路，所以称为Y
形等效电路
2．异名端相联的Y形去耦等效
图8.2-5（a）所示电路是耦合电感元件的两个异名 端联在一起的电路，显然
－M
Lab
L2
Lab
L2＋M
b
（a）
b
（b）
图8.2-6 例8.2-1图
其中电感（L2＋M）和电感（－M）之间是并联关系， 然后再与电感（L1＋M）串联。根据无耦合电感的串、 并联的等效公式，得a、b两端的等效电感为
Lab
8.2-3
(L含1 有M耦) 合电MM感(的L(L2正2M弦M)稳) 态10电路4 分析44：(22
u1 u2
N1 N2
n
i1
N2
1
i2
N1
n
如果 n 1，则 u1 u2 ，这称为降压变压器，如
果
p1
n
p2
1
，则 u1
u1i1 u2i2
u2
，nu这2 称(为1n升i2压) 变u压2i器2 .
0
这就说明，在任意时刻，原边吸收的功率恒
等于副边释放的功率，理想变压器是一个既不储 能又不耗能的元件。
（b）
图8.2-2耦合电感的顺接串联和反接串联
1．顺接串联：
图8.2-2（a）中，两个线圈顺接串联，处于正弦 稳态下，根据同名端的位置，在互感电压前应取 正号，则a、b两端的电压为
•• •
•
•
•
•
U U 1 U 2 ( jL1 I jM I ) ( jL2 I jM I )
•
j(L1 L2 2M ) I
b
＋
耦合电感元件伏安关系
U1 jωL1
jωL2 U2
的相量形式
UU12
jL1I1 jMI2 jL2 I2 jMI1
－
－
b’
a’
图8.2-1 耦合电感元件的相量模型
L1 X L1 L2 X L2 称为线圈L1、L2的自感抗 M X M 称为互感抗，单位都为欧姆（Ω）。
8.2-2 耦合电感的去耦等效
u12 ，称为互感电压 。
u12
d12 dt
M12
di2 dt
对于线性自感L1和线性互感M12，由叠加定理可 得，自感L1上的总感应电压等于自感电压和互感 电压的代数和，即
u1
u11
u12
L1
di1 dt
M12
di2 dt
同样地，对于线圈L2，它的感应电压也由两部分组 成，即自感电压和互感电压，总的感应电压为：
例8.3-1 电路如图8.3-2（a）所示，已知正弦电压
源
•
U
1
1800
V
，欲使16Ω负载电阻获得最大功率，
理想变压器的变比n应为多少？并求最大功率。
3Ω a n：1
2Ω a
＋
＋
U1
6Ω
－
b
16Ω
Uabk
－
R b
（a） 图8.3-2 例8.3-1图
（b）
解：先用戴维南定理计算a、b两端左边部分的电路 的等效电路，a、b两端左边部分的开路电压为
M 1 L1 L2
；
3.自感L1、L2和互感M均为无穷大，
但 L1 为常数。
L2
n N1
N1、N2分别是原边线圈和副边线圈的匝数， N2
是原、副边的匝数之比，称为理想变压器的变比它 是理想变压器唯一的参数
i1
n：1
i2
＋
＋
u1
N1
N2
u2
ZL
－
－
图8.3-1 理想变压器
理想变压器，它的原、副边的电压、电流满足如 下关系：
＋
－M
US
＋ IC R2
－
UC －
C
（a） 图8.2-7 例8.2-2图
（b）
解：图8.2-7（a）电路的耦合电感是异名端相联，作 Y形去耦等效，其等效电路如图8.2-7（b）所示。
电阻R2和电感（L2＋M）串联后的等效阻抗为
Z1 R2 j(L2 M ) 150 j1000 (0.1 0.05) 150 j150 150 2450
端联在一起的电路。
a ＋
I1 jωM I2
b
＋
Uac jωL1
jωL2 Ubc
－
cI
－
a I1 ＋
jω(L1 － M)
I2 b
＋
jω(L2 － M)
Uac
jωM
Ubc
I
－
c
－
（a）
（b）
图8.2-4 同名端相联的Y形去耦等效
•• •
显然 I I 1 I 2
所以
U• ac
•
jL1 I 1
jM
•