高中物理解题中数学方法的应用

高中物理解题中数学方法的应用

高一物理赫喜山

.中学物理考试大纲明确要求考生必须具备：“应用数学处理物理问题的能力能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论，必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。”

一、高考命题特点

高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题.可以说任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学问题经过求解再次还原为物理结论的过程.

二、数学知识与方法

物理解题运用的数学方法通常包括几何(图形辅助)法、图象法、函数法、方程(组)法、递推法、微元法等. 比例法等

课时1. 几何的知识应用(一)

1．相似三角形法：相似三角形法通常寻找的是一个矢量三角形与一个几何三角形相似。利用相似三角形对应边的比例关系求解力的大小，特别是当几何三角形

的边长己知时。

【例1】如右图1A所示，轻绳的A端固定在天花板上，B端系一重为

G的小球，小球静止在固定的光滑大球表面上，己知AB绳长为l，大球

半径为R，天花板到大球顶点的竖直距离AC=d,角ABO＞90º。求绳中

张力和大球对小球的支持力（小球直径忽略不计）

【解析】选小球为研究对象，受到重力G、绳的拉力F和

大球支持力F N的作用(如图1B示)。由于小球处于平衡状态，所以G、F、F N组成一个封闭三角形。根据数学知识可以看出三角形AOB跟三角

形FGF N相似，根据相似三角形对应边成比例得

F/L=G/(d+R)=F N/R

解得F=G•L/(d+R) F N=G•R/(d+R)

[讨论] 由此可见，当绳长L减小时F变小，F N不变。

2．正弦定理（拉密定理）：如果在共点的三个力作用下，物体处于平衡状态，那么各力的大小分别与另外两个力夹角的正弦成正比。如右

图2所示，表达式为：

F1/Sinα=F2/Sinβ=F3/Sinθ

此法适用于三力构成的是锐角或钝角三角形。

【例2】如图，船A从港口P出发支拦截正以速度

v沿直线航行

的船B，P与B所在航线的垂直距离为a，A船启航时，B船与P

的距离为b，a

b ，如果略去A船启动时的加速过程，认为它

一启航就做匀速运动，求：

（1）A船能拦到B船的最小速率v；

（2）A船拦到B船时两船的位移

B

O

G

F N

F

A

C

图1A

G

F N

F

图1B

α

β

θF

3

F1

F2

图2

解析：（1）设两船在C 相遇 在△PBC 中，

β

α⋅=⋅R t v R vt

0 0v R R v βα⋅⋅=

，式中b

a

R =⋅α 当β=900时，即v 跟PB 垂直时，v 最小，最小速率为0v b

a

v =

（2）拦到船时，A 船位移为2

2

a b ab s A -=

B 船位移为2

2

2a

b b s B -=

答案：（1）0v b

a

v =（2）22

a

b ab s A -=

2

2

2a

b b s B -=

【练习】如图所示，临界角C 为450的液面上有一点光源S 发出一束光垂直人射到水平放置于液体中且距液面为d 的平面镜M 上．当平面镜M 绕垂直过中心O 的轴以角速度ω做逆时针匀速转动时，观察者发现水面上有一光斑掠过．则观察者观察到的光斑在水面上掠过的最大速度为多少?

解析：当平面镜M 以角速度ω逆时针转动时，反射光线将以角

速度2ω同向转动．反射光线射到水面形成的光斑(应是人看到折射光线出射处)由S 向左沿水面移动．将其移动速度v 分解如图．由图可知．θ越大，OP 越大，v 越大．但当θ>450时，反射光线OP 将在水面上发生全反射．观察者将看不到光斑，因此，当θ角非常接近450时观察者看到的光斑移动速度最大，其值为

ωω

θωθωθd d d OP v v m 4)2

2

(2cos 2cos 2cos 22

2===⋅==

答案：ωd 4

【练习】 如图3所示，小球质量为m ，置于倾角为θ的光滑斜面上， 悬线与竖直方向的夹角为α，系统处于静止状态。求斜面对小球的支持力F N 和悬线对小球的拉力F 。

【解析】 选小球为研究对象，小球受力如图所示，球受三个力作用 而处于平衡状态。根据正弦定理得：

F/sin (180º－θ)=F N /sin (180º－α)=mg /si n(α+θ) 即 F/sin θ=F N /sin α=mg/sin (α+θ)

所以 F=mg •sin θ/sin (α+θ) F N =mg •sin α/sin (α+θ)

θ α

mg F F 图3

课时2．几何的知识应用(二)

课时3．图象法

物理图像能形象地表达物理规律、直观地描述物理过程、鲜明地表示物理量之间的相互关系.因此, 图像在中学物理中应用广泛，是分析物理问题的有效手段之一.高考考纲明确指出，必要时考生能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。

在高考试题中对图像问题的考查主要集中在作图（即直接根据题目要求作图）、用图（包括从题给图像中获取信息帮助解题以及根据题意作出相关图像来帮助解题）两个方面。

对作图题，在描绘图像时，要注意物理量的单位、坐标轴标度的适当选择及函数图像的特征等,特别要注意把相关物理量的数值在坐标轴上标示清楚.

对用图题中要求从题给图像获取信息帮助解题类问题，要注意正确理解图像的内涵：如明确图像所代表的物理过程；弄清坐标所代表的物理量及其单位，进而弄清图线上各点读数的物理意义；弄清图线与坐标轴上的截距的物理意义；弄清图线与坐标轴所围面积的物理意义；弄清图线渐近线的物理意义；弄清图线上一些特殊点（如图线的拐点、端点、极值点及两条图线的交点等）的物理意义等.

对用图题中要求根据题意作出相关图像来帮助解题类问题，要根据题意把抽象的物理过程用图线表示出来，将物理量间的代数关系转化为几何关系,运用图像直观、简明的特点，分析解决物理问题.

方法综述

1．“图”在物理学中有着十分重要的地位，它是将抽象的物理问题直观化、形象化的最佳工具。作为一种解决问题的方法，图解法具有简易、方便的特点，学习中应通过针对性训练、强化对图像的物理意义的理解，以达到熟练应用图像处理物理问题，熟能生巧的目的。

2.中学物理常用的“图”有示意图、过程图、函数图、矢量图、电路图和光路图等。若题干和选项中已给出函数图，需从图像横、纵坐标所代表的物理意义，图线中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”等诸多方面寻找解题的突破口。即使题干和选项中没有出现函数图，有时用图象法解题不但快速、准确，而且还可以避免繁杂的中间运算过程，甚至可以解决用计算分析无法解决的问题。

【例4】一位蹦床运动员仅在竖直方向上运动，弹簧床对运动员的弹力F的大小随时间t的变化规律通过传感器用计算机绘制出来，如图所示.重力加速度g取10m/s2,试结合图象，求运动员在运动过程中的最大加速度．