苏教版数学高一《向量的应用》 精品检测

1．若向量OF 1→＝(2,2)，OF 2→

＝(－2,3)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|＝__________. 解析：∵F 1＋F 2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)，∴|F 1＋F 2|＝0＋52＝5. 答案：5

2．过点A (2,3)，且垂直于向量a ＝(2,1)的直线为__________．

解析：设P (x ，y )为直线上一点，则AP →

⊥a ，即(x －2)×2＋(y －3)×1＝0，即2x ＋y －7＝0.

答案：2x ＋y －7＝0

3．已知作用在点A (1,1)的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，则合力F ＝F 1

＋F 2＋F 3的终点坐标是______．

解析：F ＝(8,0)，故终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)． 答案：(9,1)

4．在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →

＝0，则四边形的形状为__________．

解析：∵AB →＋CD →＝0，∴AB →＝DC →

， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵AC →·BD →＝0，∴AC →⊥BD →， ∴对角线垂直，∴四边形为菱形． 答案：菱形

一、填空题

1．甲、乙两人从相反的方向同时拉动一个有绳相缚的地面上的物体，甲、乙所拉着的绳子与水平线分别成30°和60°的角时，物体静止不动，忽略物体与地面间的摩擦力，则甲和乙的手上所承受的力的比是__________．

解析：F 甲∶F 乙＝cos30°∶cos60°＝3∶1. 答案：3∶1

2．在▱ABCD 中，若A ⎝⎛⎭⎫－92，－7，B (2,6)，其两对角线的交点M ⎝⎛⎭⎫3，3

2，则C 、D 两点的坐标分别为__________．

解析：M 为AC ，BD 的中点，由中点坐标公式可求得C ⎝⎛⎭⎫212，10，D (4，－3)． 答案：C ⎝⎛⎭

⎫21

2，10，D (4，－3) 3．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某一物体上的一点，

为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4等于__________．

解析：由题意可知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)．

答案：(1,2)

4．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →

＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|

BD →，则四边形ABCD

的面积为__________．

解析：由AB →＝DC →

＝(1,1)知AB 綊DC .

又由1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|

BD →知四边形ABCD 为菱形，且AB ＝AD ＝2，

又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1|BA →|·BA →＋1|BC →|·BC →2＝3， ∴∠ABC ＝60°，BD ＝ 6. ∴∠BAD ＝120°. ∴sin ∠BAD ＝

32

， ∴S 菱形ABCD ＝2×2×3

2

＝ 3. 答案： 3

5．已知O 是△ABC 内一点，OA →＋OC →＝－3OB →

，则△AOB 与△AOC 的面积的比值为__________．

解析：

如图，以OA ，OC 为邻边作▱OCDA ，则OD →＝OA →＋OC →

.设OD 与AC 的交点为E ，则E

为AC 中点．已知OA →＋OC →＝－3OB →，则OD →＝－3OB →，所以|OD →|＝3|OB →

|，所以2OE ＝3OB ，所以S △AOB ∶S △AOE ＝2∶3，又因为S △AOE ＝S △COE ，所以S △AOB ∶S △AOC ＝2∶6＝1∶3.

答案：13

6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →

＋PC →

)等于__________．

解析：因为M 是BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PM →，所以P A →·(PB →＋PC →

)＝－23AM →·23

AM →＝

－49

. 答案：－4

9

7．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →

)＝0，则△ABC 的形状为________．

解析：∵OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →

，

由已知(OB →－OC →)·(OB →＋OC －2OA →)＝0，得(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即(AB →－AC →)⊥(AB →

＋AC →

)．根据平行四边形法则和三角形法则，可知以AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线

垂直，即以AB 、AC 为邻边的平行四边形为菱形，所以|AB →|＝|AC →

|，因此△ABC 为等腰三角形．

答案：等腰三角形

8．已知非零向量AB →与AC →

满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|

＝12，则△ABC 的形状为________．

＝13，其单位向量为⎝⎛

⎭⎫313

，213，如图．

依题意，|P 0P →|＝2t ，|Q 0Q →

|＝13t ， ∴P 0P →＝|P 0P →

|⎝⎛⎭⎫22，22＝(t ，t )，

Q 0Q →＝|Q 0Q →|⎝⎛⎭⎫313，213＝(3t,2t )，

由P 0(－1,2)，Q 0(－2，－1)，

得P (t －1，t ＋2)，Q (3t －2,2t －1)，

∴P 0Q 0→＝(－1，－3)，PQ →

＝(2t －1，t －3)，

由于PQ →⊥P 0Q 0→， ∴P 0Q 0→·PQ →＝0， 即2t －1＋3t －9＝0，

解得t ＝2.

即当PQ →⊥P 0Q 0→

时所需的时间为2 s.