经济应用数学教案3.2.1
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3.2.1 投入产出数学模型 教学目的：掌握投入产出表的结构，理解投入产出平衡方程组；掌握直接消耗系数和完全消耗系数的定义
会利用直接消耗系数和完全消耗系数矩阵公式解决简单的应用问题。 内 容：1. 利用投入产出表直接表示的投入产出的数学模型
2. 利用直接消耗系数表示的投入产出的数学模型 3. 利用完全消耗系数表示的投入产出的数学模型 4. 投入产出数学模型的应用 教学重点: 投入产出表、投入产出平衡方程组、直接消耗系数、完全消耗系数、投入产出数学模型应用 教学难点: 投入产出表、完全消耗系数、投入产出数学模型应用 教 具：多媒体课件 教学方法: 启发式教学 教学过程： 1.引入新课： 由研究经济系统中各部门之间投入与产出的数量依存关系引出投入产出数学模型，并给出投入产出数 学模型在经济预测、制定计划及计划调整中的简单应用 2.教学内容：
1
一般地，价值型投入产出表的基本结构，见表 2。
表2
价值型投入产出表
产出 部门间流量
消耗部门
最终产品
投入
12
n
消费 积累
1
生
产
2
部
门
n
新
劳动报酬
创 造
纯收入
价
合计
值
总投入
x11 x12 x21 x22
xn1 xn2 v1 v2 m1 m2 z1 z2 x1 x2
x1n x2n
xnn vn mn
zn xn
12
n
最终产品 消费 积累
总产出 合计
中
1
间
投
2
Ⅰ
Ⅱ
入
n
增
劳动报酬
加
纯收入
值
合计
Ⅲ
Ⅳ
总投入
2
消耗部门产品的价值量也称中间使用的价值量，生产部门的价值量也称中间投入的价值量，新创造价值也称增加
值。
第Ⅰ象限:行方向表明某部门生产的产品分配给各部门使用的价值量，也称中间产品或中间使用；
列方向表明某部门在生产过程中消耗各部门的产品的价值量，也称为中间投入或中间消耗。
平衡关系是：中间产品+最终产品=总产出。由此列出的方程组为
或简记为
x1 x11 x12 源自x2x21x22
xn xn1 xn2
x1n y1 x2n y2
xnn yn
n
xi xij yi , (i 1, 2, , n) j 1
称方程组(1) 或（2）叫做产出分配平衡方程组，简称分配方程组。
的流量；
v j 表示第 j 部门发给劳动者的劳动报酬；
m j 表示第 j 部门创造的纯收入；
z j 表示第 j 部门新创造的价值量（增加值）。 (i, j 1, 2, , n)
表 2 分成四部分，分别称为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限，如表 3 所示。
表3
价值型投入产出表的表式结构
部门间流量 投入
产出
中间使用
第Ⅱ象限：由 n 个部门和各行与最终产品的各列交叉而成，反映了最终产品的构成；
第Ⅲ象限：由新创造价值的各行与 n 个部门的各列交叉而成，反映了国民收入的初次分配情况；
第Ⅳ象限：由新创造价值的各行与最终产品的各列交叉而成，反映国民收入再次分配情况。一般空出不用。
2、平衡方程组
(1) 分配方程组
由第Ⅰ象限和第Ⅱ象限的各行组成一个方程，反映各部门生产的总产品的分配使用去向。
③表 1 的竖直方向，反映的是每个部门总投入的构成情况。
每个部门的总投入应等于其所消耗的部门产品与新创造价值量之和。
④结论：每个部门的总投入与总产出是相互平衡的。
列举经济网络系统各部门的投入产出关系的表，称为投入产出表。
以货币计量单位编制的投入产出表叫做价值型投入产出表。
表 1 就是价值型投入产出表。
9
16
38 30 43
100 60 80
新创造价值
60
15
36
总产品价值
100
60
80
①表 1 结构：生产部门，消耗部门，部门间流量，最终产品，总产出，新创造价值，总产品价值。
②水平方向表示的是每个部门总产出（也叫总产值）的分配情况。
每个部门的总产出应等于提供给各部门消耗的中間产品与最终产品的价值量之和。
（1）
（2）投入方程组
由第Ⅰ象限和第Ⅲ象限各列组成一个方程，反映总产品价值的形成过程。
平衡关系是:中间投入+增加值=总投入。
由此列出方程组为 或简记为
x1 x11 x21
x2
x12
x22
xn x1n x2n
xn1 z1 xn2 z2
xnn zn
n
x j xij z j , ( j 1, 2, , n) i 1
2000 360 480 400 200 y1
一、利用投入产出表直接表示的投入产出的数学模型
1.投入产出表的结构
【例 1】设某企业的生产体系划为三个部门，2008 年度三个部门的生产与消耗情况如表 1 所示。
表1
单位：亿元
产出 部门间流量
消耗部门
最终产品
总产出
投入
部门一 部门二 部门三
生 产 部 门
部门一 部门二 部门三
18
24
20
10
12
8
12
z4
1600
2000 1700 1800 1600
解 （1）各产业的最终产品的价值 yi 可由分配方程组得到。
列分配方程组为 代入数据为 从而得各部门的最终产品的价值为
x1 x11 x12 x13 x14 y1
x2
x21
x22
x23
x24
y2
x3
x31
x32
x33
x34
y3
x4 x41 x42 x43 x44 y4
称方程组(3) 或（4）叫做投入构成平衡方程组，简称投入方程组。
（2）
【例2】某地区的支柱产业分为有四个产业，分别是制造、通信、服务与能源。在过去一年内，产业间流量和总产出
如表3-4所示。求：
3
（1）各产业的最终产品的价值 yi (i 1, 2,3, 4) ；
（2）各产业新创造的价值 z j ( j 1, 2,3, 4) 。
表4
产出
消耗部门
部门间流量
投入
制造 通信 服务 能源
最终产品
单位：亿元
总产出
生
制造
产
通信
部 门
服务 能源
新创造价值 总产品价值
360 480 400 200
y1
200 240 160 280 240 180 320 300
y2
350 320 260 220
y3
y4
z1
2000
z2
1700
z3
1800
表 2 中有关数据的经济意义如下：
总产出 合计
y1
x1
y2
x2
yn
xn
xi 表示第 i 部门总产出的价值量，或是第 i 部门总投入的价值量； yi 表示第 i 部门生产的用作最终使用部分的产品的价值量； xij 表示第 i 部门分配给第 j 部门的产品的价值量，或第 j 部门消耗第 i 部门生产的产品的价值量。该量又称为部门间
会利用直接消耗系数和完全消耗系数矩阵公式解决简单的应用问题。 内 容：1. 利用投入产出表直接表示的投入产出的数学模型
2. 利用直接消耗系数表示的投入产出的数学模型 3. 利用完全消耗系数表示的投入产出的数学模型 4. 投入产出数学模型的应用 教学重点: 投入产出表、投入产出平衡方程组、直接消耗系数、完全消耗系数、投入产出数学模型应用 教学难点: 投入产出表、完全消耗系数、投入产出数学模型应用 教 具：多媒体课件 教学方法: 启发式教学 教学过程： 1.引入新课： 由研究经济系统中各部门之间投入与产出的数量依存关系引出投入产出数学模型，并给出投入产出数 学模型在经济预测、制定计划及计划调整中的简单应用 2.教学内容：
1
一般地，价值型投入产出表的基本结构，见表 2。
表2
价值型投入产出表
产出 部门间流量
消耗部门
最终产品
投入
12
n
消费 积累
1
生
产
2
部
门
n
新
劳动报酬
创 造
纯收入
价
合计
值
总投入
x11 x12 x21 x22
xn1 xn2 v1 v2 m1 m2 z1 z2 x1 x2
x1n x2n
xnn vn mn
zn xn
12
n
最终产品 消费 积累
总产出 合计
中
1
间
投
2
Ⅰ
Ⅱ
入
n
增
劳动报酬
加
纯收入
值
合计
Ⅲ
Ⅳ
总投入
2
消耗部门产品的价值量也称中间使用的价值量，生产部门的价值量也称中间投入的价值量，新创造价值也称增加
值。
第Ⅰ象限:行方向表明某部门生产的产品分配给各部门使用的价值量，也称中间产品或中间使用；
列方向表明某部门在生产过程中消耗各部门的产品的价值量，也称为中间投入或中间消耗。
平衡关系是：中间产品+最终产品=总产出。由此列出的方程组为
或简记为
x1 x11 x12 源自x2x21x22
xn xn1 xn2
x1n y1 x2n y2
xnn yn
n
xi xij yi , (i 1, 2, , n) j 1
称方程组(1) 或（2）叫做产出分配平衡方程组，简称分配方程组。
的流量；
v j 表示第 j 部门发给劳动者的劳动报酬；
m j 表示第 j 部门创造的纯收入；
z j 表示第 j 部门新创造的价值量（增加值）。 (i, j 1, 2, , n)
表 2 分成四部分，分别称为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限，如表 3 所示。
表3
价值型投入产出表的表式结构
部门间流量 投入
产出
中间使用
第Ⅱ象限：由 n 个部门和各行与最终产品的各列交叉而成，反映了最终产品的构成；
第Ⅲ象限：由新创造价值的各行与 n 个部门的各列交叉而成，反映了国民收入的初次分配情况；
第Ⅳ象限：由新创造价值的各行与最终产品的各列交叉而成，反映国民收入再次分配情况。一般空出不用。
2、平衡方程组
(1) 分配方程组
由第Ⅰ象限和第Ⅱ象限的各行组成一个方程，反映各部门生产的总产品的分配使用去向。
③表 1 的竖直方向，反映的是每个部门总投入的构成情况。
每个部门的总投入应等于其所消耗的部门产品与新创造价值量之和。
④结论：每个部门的总投入与总产出是相互平衡的。
列举经济网络系统各部门的投入产出关系的表，称为投入产出表。
以货币计量单位编制的投入产出表叫做价值型投入产出表。
表 1 就是价值型投入产出表。
9
16
38 30 43
100 60 80
新创造价值
60
15
36
总产品价值
100
60
80
①表 1 结构：生产部门，消耗部门，部门间流量，最终产品，总产出，新创造价值，总产品价值。
②水平方向表示的是每个部门总产出（也叫总产值）的分配情况。
每个部门的总产出应等于提供给各部门消耗的中間产品与最终产品的价值量之和。
（1）
（2）投入方程组
由第Ⅰ象限和第Ⅲ象限各列组成一个方程，反映总产品价值的形成过程。
平衡关系是:中间投入+增加值=总投入。
由此列出方程组为 或简记为
x1 x11 x21
x2
x12
x22
xn x1n x2n
xn1 z1 xn2 z2
xnn zn
n
x j xij z j , ( j 1, 2, , n) i 1
2000 360 480 400 200 y1
一、利用投入产出表直接表示的投入产出的数学模型
1.投入产出表的结构
【例 1】设某企业的生产体系划为三个部门，2008 年度三个部门的生产与消耗情况如表 1 所示。
表1
单位：亿元
产出 部门间流量
消耗部门
最终产品
总产出
投入
部门一 部门二 部门三
生 产 部 门
部门一 部门二 部门三
18
24
20
10
12
8
12
z4
1600
2000 1700 1800 1600
解 （1）各产业的最终产品的价值 yi 可由分配方程组得到。
列分配方程组为 代入数据为 从而得各部门的最终产品的价值为
x1 x11 x12 x13 x14 y1
x2
x21
x22
x23
x24
y2
x3
x31
x32
x33
x34
y3
x4 x41 x42 x43 x44 y4
称方程组(3) 或（4）叫做投入构成平衡方程组，简称投入方程组。
（2）
【例2】某地区的支柱产业分为有四个产业，分别是制造、通信、服务与能源。在过去一年内，产业间流量和总产出
如表3-4所示。求：
3
（1）各产业的最终产品的价值 yi (i 1, 2,3, 4) ；
（2）各产业新创造的价值 z j ( j 1, 2,3, 4) 。
表4
产出
消耗部门
部门间流量
投入
制造 通信 服务 能源
最终产品
单位：亿元
总产出
生
制造
产
通信
部 门
服务 能源
新创造价值 总产品价值
360 480 400 200
y1
200 240 160 280 240 180 320 300
y2
350 320 260 220
y3
y4
z1
2000
z2
1700
z3
1800
表 2 中有关数据的经济意义如下：
总产出 合计
y1
x1
y2
x2
yn
xn
xi 表示第 i 部门总产出的价值量，或是第 i 部门总投入的价值量； yi 表示第 i 部门生产的用作最终使用部分的产品的价值量； xij 表示第 i 部门分配给第 j 部门的产品的价值量，或第 j 部门消耗第 i 部门生产的产品的价值量。该量又称为部门间