变化率问题与导数的概念

《变化率问题与导数的概念》教学设计

阳城一中郭耀平

一、内容和内容解析

（1）内容：本节主要包括两方面的内容：变化率和导数的概念。从平均变化率开始，用平均变化率探求瞬时变化率，并从数学上给予各种不同变化率在数量上的精确描述，即导数。

（2）内容解析：通过实例，让学生切身体会平均变化率；再经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，在对实际背景问题研究的基础上，抽象概括出导数的概念。导数的概念是微积分的核心概念之一，是即将学习的导数的几何意义、导数的计算、导数的应用等知识的基础。导数是研究事物变化快慢，研究函数单调性、极值、最值和解决生活中优化问题的有力工具。本节内容课堂教学的主线是渗透其中蕴涵的逼近思想，教学重点是导数的概念。

二、目标和目标解析

（1）目标

①了解微积分的概貌及其在数学中的位置，经历运用数学描述刻画现实的过程；

②理解变化率的概念，体验由平均变化率到瞬时变化率的过程；

③掌握导数的概念，探究运用形象直观的“逼近”方法定义导数的过程。

（2）目标解析

①了解微积分的概貌及其在数学中的位置，让学生接受数学文化的熏陶，体会数学的价值。有关微积分起源的具体例子的列举，像计算抛物线弓形的面积（建筑物的上顶）、求速度的问题（高台跳水）等，会引发学生的求知欲，而经历运用数学描述刻画现实的过称可以通过气球膨胀率作为平均变化率的应用实现。

②理解平均变化率和瞬时变化率的概念，这一点可以用高台跳水的例子实现。

③导数的定义是在反思瞬时速度建立过程的基础上，总结思想和计算方法，有特殊到一般形成的，通过探究导数的定义，掌握利用导数定义来解决实际问题。

三、教学问题诊断分析

1．微积分是有文化底蕴的数学内容，了解微积分的发展史能够激发学生的求知欲，但如果介绍过于简单，学生可能下课后就会没有任何印象；如果介绍过于详细，便会占用大量时间，影响本节课内容的完成；

2.气球膨胀是学生非常熟悉的生活现象，但是从直观的生活感知（气球越来越难吹）到它的数学描述，对于学生来讲是比较困难的。

3.在学生理解了平均变化率的定义后，让学生思考如何求t=2秒时的速度。平均速度的定义方式是无法扩展到瞬时速度上的，因此会出现概念上的困难。

四、教学支持条件分析

1.利用多媒体课件，向学生介绍微积分的起源，用具体的例子进行说明，在起源问题之一的运动速度中选用教科书中的高台跳水例子辅助说明。借助于这个例子从历史的介绍自然过渡到变化率的学习上，这样，历史的介绍和数学知识的学习就结合成为一个整体。

2.从数学上说明气球越来越难吹这个问题可以让学生自由去思考。“气球越来越难吹”实际上就是当吹进去的气体相同时，气球膨胀越来越慢，即气球半径的增加量越来越小。

3.给学生独立思考的时间，让他们意识到“求t=2秒时的速度”这个困难的深刻性，然后在“那该怎么办”的指引下前进，用想法指引计算；再利用计算机，通过选取一系列的值去观察逼近的趋势，建立瞬时速度的概念。

五、教学过程设计

1.创设情境

（利用幻灯片介绍微积分的发展史）

为了描写现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数。刻画静态的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念。随着对函数的研究的不断深入，产生了微积分。

近代微积分的酝酿，主要是在17世纪上半叶。当时，人们主要集中的焦点有：非匀速运动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一点的法线，这又使求任意曲线的切线问题变得不可回避；确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数的极大值、极小值问题也亟待解决。

这节课，我们就来切身体会运动速度中的变化率问题。

【设计意图】用具体的例子介绍微积分的起源，让学生感到生动有趣；同时，借助于这些例子还可以从历史的介绍自然过渡到变化率的学习上。

2.探究新知

问题一：高台跳水是生活中常见的现象之一。在高台跳水运动中，运动员相对于

水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h(t)=-4.9t 2+6.5t+10.如何计算运动员在[0,0.5],[0.5,1],[1,1.5]这三段时间内的平均速度？

【设计意图】由实际问题入手，让学生对变化率有形象的认识，引入平均变化率的定义。

问题二：很多人都吹过气球。吹气球的时候都会有这样的感受：越来越难吹。如果把气球近似的看成球体，如何从数学的角度描述这种现象呢？

【设计意图】将气球膨胀率作为平均变化率的一个应用，避免由于气球膨胀问题本身的复杂性导致的困难，培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力。

问题三：结合问题一，计算运动员在0≤t ≤

4965这段时间里的平均速度，思考下

面的问题：

（1）运动员在这段时间里是静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？若有问题，那该如何描述运动员的运动状态呢？

（3）你能求出运动员在t=2那一时刻的速度吗？

【设计意图】由平均变化率自然过渡到瞬时速度。学生在已有的物理知识的基础上，小组探究，研究运动员在t=2时刻的瞬时速度。教师适当引导，让学生明白所要指向的定义是在一个动态变化的过程中完成的，即“无穷逼近”的思想。

问题四：运动员在某一时刻t 0的瞬时速度怎样表示？函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率怎样表示？

【设计意图】把实际问题归结为变化率问题，理解瞬时变化率是反映函数在某一点变化快慢的量，舍弃物理背景，抽象为数学问题，得出导数的定义及表示。

3.理解尝试

展示课本P 5导数定义后面的三段话，让学生自己尝试解决例1的问题。

【设计意图】使学生结合亲身的学习过程感受数学的产生是水到渠成的，数学的发展与人类文明的发展相互促进，让学生感受导数在生产生活中的应用。

4.学习小结

本节课你有什么收获？还有哪些疑问？

【设计意图】引导学生从以下几个方面小结：导数产生的背景；导数形成的过程；导数的定义及其内涵；求导数的一般步骤；研究问题的步骤等。

5.课后探究