解析几何中最值问题的解题策略

解析几何中最值问题的解题策略

圆锥曲线中最值问题的基本解法有几何法和代数法。其中，代数法是建立求解目标关于某个或某两个变量的函数，通过运用基本不等式或构造函数等来求解函数的最值。下面我们来介绍运用基本不等式的方法来解决圆锥曲线的一个优美性质。

例题1.已知(0,2)A ，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>

的离心率为2

，右焦点F ，直线AF

的斜率为O 是坐标原点。 （1）求E 的方程；

（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程。

解：（1）2

2:14

x E y += （2）由题意直线l 的斜率存在，设:2l y kx =+

联立22

2

14

y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪

⎩消y 得22(41)16120k x kx +++=，22

316(43)0,4k k ∆=->>得

122|||41PQ x x k -==+ 原点O 到直线PQ

的距离

所以221

443||1241

OPQ

k S PQ d k ∆+-=⋅==≤=+

当227344k =

>

时，取等号，此时:2l y x =+ 先来解析这道题，应用了两个公式： 一.

弦长公式212|||,PQ x x a x a

-=是的系数 二.

,0,0,=2

a b

a b a b +>>=当时，不等式式取“”号 我们运用这两个知识来证明该题型具有的一般性结论

例题2.已知22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>，设过点(0,)A m 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，

当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程。 解：由题意直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+

联立22221

y kx m x y a b =+⎧⎪

⎨+=⎪⎩消y 得2222222222()20a k b x a b kmx a m a b +++-=，

22

22

2

2

2

2

2

2

4(),m b a b a k b m k a -∆=+->

222||PQ a k b

=+ 原点O 到直线PQ

的距离所以

1||2OPQ

S PQ d ∆=⋅== 22222222

()2()2

m a k b m ab

ab a k b ++-≤=+ 当2222222222a k b m m a k b m +-=+=，即时，取等号。由此我们得出一个一般性结论：

若直线l 的斜率k 为定值，当222

2

+=2

a k

b m 时，OPQ S ∆有最大值2ab

若直线l 的截距m 为定值，且满足2

2

2m b ≥，当22

2

2

2-=m b k a

时，OPQ S ∆有最大值2ab 若2

2

2m b <，当22

2

2

2-=0m b k a

<时，OPQ S ∆取不到最大值2ab ，此时不能用基本不等式求最值。我们得探索其他求最值的方法，用构造函数法或放缩法可以证明，当=0k 时，OPQ S ∆有最大值，下面我们再看一道例题。

例题3已知动圆P 与圆221:(2)49F x y ++=相切，且与圆1)2(:2

22=+-y x F 相内切，记

圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点, 求△QMN 面积的最大值．

（1）设圆P 的半径为R , 圆心P 的坐标为(,)x y ，

由于动圆P 与圆22

1:(2)49F x y ++=相切，且与圆1)2(:222=+-y x F 相内切，

结合图像可知，动圆P 与圆1F 只能内切.且12

7,

1.PF R PF R ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩

则4

||6||||2121=>=+F F PF PF . 所以圆心P 的轨迹是以点12,F F 为焦点的椭圆, 且3,2a c ==, 则2225b a c =-=.

所以曲线C 的方程为15

92

2=+y x . （2）设112233(,), (,), (,)M x y N x y Q x y ，直线MN 的方程为2x my =+，

由22

2,1,95x my x y ì=+ïï

ïíï+=ïïî

可得225920250m y my ++-=（）， 则1212

222025

,5959

m y y y y m m +=-=-++. 所以

MN =

=

()

22301.59

m m +=

+

因为//MN OQ ，所以△QMN 的面积等于△OMN 的面积.

点O 到直线2:+=my

x MN 的距离d =.

所以△QMN

的面积221

130(1)2

259

m S MN d

m +=?创=+

.

t =，则22

1m t =-(1)t ≥ ，()2

23030304

545195t t S t t t t

=

==+-++. 设()()4

51f t t t t =+?，则()222

4545t f t t t

-¢=-=. 因为1t ³, 所以()22

540.t f t t -¢=

>所以()4

5f t t t =+在[)1,+?上单调递增.