正方形的性质与判定141

E A B
例1、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个
全等的等腰直角三角形。 已知：如图正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O。 求证： △ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌△ADO
课外拓展：
1、在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小 路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相 等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种 方法？（至少说出三种）
) )
×
× ×
× ×
)
选择题:
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ B） A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角互补. D、对角线相等. 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
3、下列命题正确的是（ D ） A、四个角都相等的四边形是正方形
判断题:
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的
等腰直角三角形（
√
） ）
(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形 （
√
）
(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它 一定是正方形 （ 是正方形（
√
）
(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
√
）
×
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（
△CMD≌△ADF
试一试
看能不能完成证明???
例4、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上
一点，CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°
证明：
∵CE⊥AF 四边形ABCD是正方形 ∴∠ADC＝∠AEM＝90° ∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2 又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC=Rt∠ ∴Rt△CDM≌Rt△ADF ∴DM=DF (AAS) ∴∠MFD＝45°
例3、 直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，
DE⊥AC，DF⊥AB。求证：四边形CEDF是正方形。
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90° 而∠ACB=90° ∴
有三个角是 直 四边形ABCD为矩形( ) 角的四边形是矩 形
F
∵ CD平分∠ACB
DE⊥AC， DF⊥BC ∴ DE=DF(角平分线的定理 )
B
D
A
有一组邻边相 ∴四边形ABCD是正方形（ ) 等的矩形是正 方形
4．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线
上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
分析：
欲证∠MFD＝45°，由于
△MDF是直角三角形,只须证 △MDF是等腰三角形,即只要证
_____=_____ 要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?
B O
4 正方形的面积S=______.
5.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
A
2
C
D
BD相交于点O，且AC＝6
2
cm，
O
36 6 面积S=________. 则边长AB＝______,
B
C
如图，在正方形ABCD中，点E在对角 线AC上，那么，BE和DE相等吗？为什么？
D C
解：BE=DE. 因为 对角线AC所在的直 线是正方形ABCD的对 称轴，而点E在对称轴 上，点B为点D关于AC 的对称点， 所以 BE=DE
既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
小结
性质 图形 平行四 矩形 边形 菱形 正方形
对边平行且相等 四条边都相等 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 每条对角线平分 一组对角
√
√ √
√ √ √ √
√
√ √ √
√ √
√ √ √ √ √ √ √ √
√
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
B、四条边都相等的四边形是正方形
C、对角线相等的平行四边形是正方形
D、对角线互相垂直的矩形是正方形
4．四个内角都相等的四边形一定是（C ）
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形 5．在四边形ABCD中，O是对角线的交点， 能判定这个四边形是正 方形的是：（ A ） A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AD∥BC ∠A＝∠C C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC D．AC＝BD
19.2.3 正方形
2002年世界数学大会会标
1、给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如
图的正方形孔吗？
2、给你一张矩形纸能把它折成一个正方形吗？
正方形 矩形






90
创设情景 ☞
情景一

90
问题:
从这个图形中你想到了什么？
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
（6）正方形一定是矩形．（√ ） （7）正方形一定是菱形．（√ ） （8）菱形一定是正方形．（ ） （9）矩形一定是正方形．（ ） (10) 正 方 形 、 矩 形 、 菱 形 都 是 平 行 四 边 形． （√ ）
（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴(
(13)四个角都相等的四边形是正方形 ( (14)四条边都相等的四边形是正方形 (
如何设计花坛？ 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直 的小路，使得两条直的小路将花坛平均 分成面积相等的四部分（不考虑道路的 宽度），你有几种方法？（至少说出三 种）
请你当设计师
思考题： 如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O 又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形 OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.
练一练
1、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边 在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF 于H 。
求证：(1) △ACF≌△DCB
(2)
BH⊥AF
2、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连
结BG、CE，交点为N。
求证：∠CEA＝∠ABG 证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。 ∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90°
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外
添加辅助线,无需证明)
E
A F D C
B
1
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝2cm，如图(2)。 求：AC的长及正方形的面积S。
矩形EFCG的周长。
E G
F
6、已知：如图矩形ABCD,对角线AC、 BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于 点E，连接OE，若∠EAO=150，求 ∠BOE的度数。
正方形 菱形
一个角是直角的菱形
矩形 两组 对边
四边形
分别 平行
平行四 边形 菱 形
菱形
平行四边形
正方 形
矩形
一组邻边相等 平行四边形 一内角是直角
正方形
定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边 形叫做正方形
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
平行四边形 正 方 形
矩形
菱形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩 形，也是特殊的菱形。
6 ．四个内角都相等，四条边也都相等的 A） 四边形一定是：（
A．正方形 行四边形
B．菱形
C．矩形
D．平
5、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线 AC、BD相交于点O。
⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（ 菱形 ）
⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
A
D
G B
BE=CF，探索图中AE与BF的关系。
F
E
C
4、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，
5、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，
且CE=AC，AE交CD于F，则求∠AFC的度数。
A
D
F
B
C
E
6、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E,F. 1)试说明:DE=DF 2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会 发生变化？并说明理由。 探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边 分别相交于M N，试判断线段AM于BN之间 的关系.
探究三: 若正方形OEFG继续旋转时，AM 与 BN之间的关系是否还成立？ 探究四： 如图，有两个大小不等的两个正 方形，其中小正方形的面积是大正方形面 积的一半，若阴影部分的面积为8，则小正 方形的边长为多少？
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC
∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG ∴∠CEA＝∠ABG (SAS)
3、在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别在
ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ`＝ＢＢ`＝ＣＣ`＝
ＤＤ`.四边形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形吗？为什么？
平行四边形
菱形的判定方法：
四条边相等
四边形 菱形
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种识 别方法
一个角是直角且一组邻边相等
试一试
1、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩
形EFCG的周长为
7.5
cm。
A
E
D G
B
F C
A
D
4.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝2cm，则AC= 2 2 ,2
由正方形可以得到的条件有： AB＝BC，∠1＝∠2＝45 °
条件够吗？
还需要的条件是 AM＝BN
你能完成证明吗???
例2、如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB
且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。
证明：
∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB AB=BC ∠1＝∠2＝∠3＝45° 又∵MN∥AB ∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ON 即：AM=BN ∴△ABM≌△BCN ∴BM=CN
图形的 对称性
中心对称 既是中心对 既是中心对 称图形又是 称图形又是 图形 轴对称图形 轴对称图形
(C) A O
D (B)
它是轴对称图形,有4条对称轴
(D) B C (A)
(1)它具有平行四边形的一切性质 两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分 (2)具有矩形的一切性质 四个角都是直角，对角线相等 (3)具有菱形的一切性质 四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角
回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列
性质 分类 图形
平行四 边形
对边平行 且相等 对角相等 对角线互 相平分
矩 形 (所特有)
菱形 (所特有)
四条边相等
正方形
对边平行且 四条边相等 四个角都 是直角
边 角
四个角都 是直角 对角线 相等
对角线
对角线相等且互 对角线互相 相垂直平分，每 垂直，每条 条对角线平分一 对角线平分 组对角 一组对角 既是中心对 称图形又是 轴对称图形
你觉得什么样的四边形是 正方形呢?( 判断一个四边形 是正方形有哪些方法？）
正方形的判定方法：
(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）
1、
平行四边形 一内角是直角
一组邻边相等
正方形
定义法
2、
一内角是直角
菱形
正方形
菱形法
3、
矩形
一组邻边相等
正方形
矩形法
以四边形为基础：
①四条边相等，四个角都是直角 四边形 ②对角线互相垂直、平分且相等 正方形
Hale Waihona Puke Baidu
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3、两组对角分别相等的四边形是平行四边形 4 、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。 6、邻角互补的四边形是平行四边形。
1、判定一个四边形是矩形有几 种方法？分别是什么？ 矩形
1、一个角 是直角 四边形 2、对角线 相等
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
情景二
A
D
A
D
B
C
B
C
图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？ （CD在移动的过程中始终保持与AB平行） 当CD移动到 C D 位置，且 AD AB 时，此 时的图形还是矩形吗？
想一想：正方形是怎样的矩形？
正方形 矩形
邻边相等 的矩形
想一想：正方形是怎样的菱形？
⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
（ 正方形 ）
3．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
求证：BM＝CN。
分析：要证明BM＝CN，大家观察
图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? △ABM≌△BCN 你所要证明的两个三角形已经满足 了哪些条件?
A O
B C D
E
7、在正方形ABCD中，AC=10，P是 AB上任意一点，PE⊥AC于点E， PF⊥BD于点F，求PE+PF的值。
A
E P F B C D
8、如图，正方形ABCD的边长为8， M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动 点，求DN+MN的最小值。
A
N D M
B
C
8、如图，正方形ABCD的边长为8， M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动 点，求DN+MN的最小值。