应力状态和强度理论

xz yz
xy
yx
y y 3
2 1
九个应力分量 六个独立
主单元体
材料力学（ Mechanics of materials )
知识扩展
z
z
x x
zx zy
xz yz
y
xy
yx
y
Z’ z zy
zx
yz
xz
xy yx
X’ x
Y’
y
xx yx
xy yy
xz yz
0
0
单向压缩
–0 Dx
Dy
材料力学（ Mechanics of materials )
max=0
45
0
纯剪切
max=0
0
Dx
D2
D1
0 Dy
材料力学（ Mechanics of materials )
0
0
0
0 两向均拉
0
材料力学（ Mechanics of materials )
0
0
0
两向均压
cos 2
x sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
90
x
y
2
x
y
2
cos 2
x sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
x y
材料力学（ Mechanics of materials )
yx
yy
yz
n yx
n yy
n
yz
yx
yy
yz
zx zy zz nzx nzy nzz zx zy zz
nxx cos(x, x)
材料力学（ Mechanics of materials ) 单元应力转换公式
nxx cos(x, x)
材料力学（ Mechanics of materials ) z
max
1
2
3
材料力学（ Mechanics of materials )
主应力的数学本质
xx yx
xy yy
xz yz
zx zy zz
( I )x 0
1 0 0
I 0 1 0
0 0 1
材料力学（ Mechanics of materials )
讨论：不变量
x
y
2
x
y
2
2
3
1
2
1 3
3
1
1
2
2
材料力学（ Mechanics of materials )
2
3
1
3
2
3
2
3
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1
材料力学（ Mechanics of materials )
2
3
1
3
3
1
1 3
2
1
材料力学（ Mechanics of materials )
C
2
3
1
3
2
1
max 1
min 3
材料力学（ Mechanics of materials )
作业
必做 P236
6-5(e) 6-7(c) 6-13
选做 P236
6-4(d) 6-8 6-12
材料力学（ Mechanics of materials )
6.4 空间应力状态和广义胡克定律
6.4.1空间应力状态
x x
z
z
zx zy
材料力学（ Mechanics of materials )
第6章 应力状态 和强度理论
材料力学（ Mechanics of materials )
本章主要内容
• 应力状态的概念 • 二向应力状态分析的解析法 • 二向应力状态分析的图解法 • 三向应力状态简介 • 广义胡克定律 • 应变电测技术简介 • 三向应力应变能基本理论 • 复杂应力状态下强度理论及应用 • 弯扭组合变形的强度分析
材料力学（ Mechanics of materials )
应力圆与轴的交点D1、 D2 为 正 应 力 的 极 值 点 ， 一个为极大值，一个为
极小值
x y
max min
2
(
x
2
y
)2
2 x
D1、D2点切应力为零。 这两点在一条直径上，对
F o D2
Dy (y,y)
应单元体上互相正交的两 个面。
y
y
材料力学（ Mechanics of materials )
应力圆圆周上的点与单元体斜截面的 对应关系，可用口决来记忆
点面对应，注意基点 转向相同，转角两倍
应力圆直观地反映了一点处应力状态的 特征，在实际应用中并一定把应力圆 看成 为纯粹的图解法，可以利用应力圆来理解有 关一点处应力状态的一些特征。
Dy (y,y)
x y
2
A
max min
(
x
2
y
)2
2 x
极值平面互相正交
x y
2
(
x
2
y
)2
2 x
材料力学（ Mechanics of materials )
切应力取极值的平面上，
正应力一般不为0
1
x
2
y
( x y )
tg21
2
x
x y 2 x
F
o D2
Dy (y,y)
B
Dx(x,x) G
zx zy zz
xx yx
zx
xy yy zy
xz yz
zz
材料力学（ Mechanics of materials )
单元应力转换公式
x
x
z z
zx zy
xz yz
xy
yx
y
y
Z
z zy
zx
yz
’
xz xy yx
X x
Y y ’
’
xx xy xz nxx nxy nxz xx xy xz
材料力学（ Mechanics of materials )
D 点 的 确 定 方 法 ：
D
从 应 力 圆 的 Dx 点 依 照
Dx(x,x)
单元体上角相同的转
F
2
x
o
向量取圆弧 Dx D ，使
CM K
其所对应的圆心角
DxCD为2
D点的横坐标 OM D点的纵坐标 MD
Dy (y,y)
n
y
x
x x
x y
2
B D Dx(x,x)
C MK
x D1
A
(
x
2
y
)2
2 x
材料力学（ Mechanics of materials )
tg(20 )
Dx K CK
x x
y
2
B D Dx(x,x)
tg 2 0
2 x x
y
F o D2
C
2 0
MK
x D1
A、B两点为切应力的极 值点。一个为极大值， 一个为极小值。
z
单元体主应力计算公式
x x
zx zy
xz yz
y
xy
yx
y
3 ( x y z ) 2
(
x
y
y
z
z
x
2 xy
2 yz
zx2 )
(
x
y
z
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
)
0
能解得
1 2 3
材料力学（ Mechanics of materials )
6.4.2 三向应力状态的应力圆
21
C
2 0
K
x D1
x y
2
A
单元体上正应力取极值
的面与切应力取极值的面相 隔45
x y
2
(
x
2
y
)2
2 x
材料力学（ Mechanics of materials ) 例65 几种特殊应力状态的应力圆
45
max
0
2
45
0
2
A
45
0
0
Dy
0
Dx
单向拉伸
B
材料力学（ Mechanics of materials )