第4章 DEM的建立

4.1从散点到表面统计模型
模型建立之初，首先要为模型构造一个合适的空间结 构（spatial framework）。 空间结构是为把特定区域内的空间目标镶嵌在一起而 对区域进行的划分，划分出的各个空间范围称为位置 区域或空间域。 空间结构一般是规则的（如格网），或不规则的（如 不规则三角网TIN）。
三种空间自相关
– 正自相关：是指附近的观测值很可能是彼此相 似的。
– 负自相关：是指附近的观测值很可能是彼此不 同的
– 零自相关：是指无法辨别空间效应，观测值在 看空间上似乎是随机分布的
自相关分析的结果可用来解释何须按照存在的空 间聚集性或“焦点”。空间自相关分析需要的空 间数据类型是点或面数据，分析的对象是具有点/ 面分布特征的特定属性。 • 全局空间自相关用来分析在整个研究范围内指定 的属性是否具有自相关性。 • 局部空间自相关用来分析在特定的局部地点指定 的属性是否具有自相关性。具有正自相关的属性 ，其相邻位置值与当前位置的值具有较高的相似 性。
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4.3DEM内插数学模型
• 设置重叠带的作用是把各分块拼接成整个地区。
500m
700m
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4.3DEM内插数学模型
4.3.3逐点内插法：就是以内插点为中心，确定一个邻域 范围，用落在邻域范围内的采样点计算内插点的高程值。
逐点内插本质上是局部内插，但与局部分块内插有所不同， 局部内插中的分块范围一经确定，在整个内插过程中其大 小、形状和位置是不变的，凡是落在该块中的内插点，都 用该块中的内插函数进行计算，而逐点内插法的邻域范围 大小、形状、位置乃至采样点个数随内插点的位置而变动， 一 套 数 据 只 用 来 进 行 一 个 内 插 点 的 计 算 。
双线性插值
高次多项式插值
多层曲面叠加内插 分形内插
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共性： DEM内插的根本是对地形曲面特征的认识和理解
具体到方法上，则是内插点邻域范围的确定、权 值确定方法（自相关程度）、内插函数的选择三 个方面的问题。
4.3 DEM内插数学模型
4.3.1整体内插 定义:就是在整个区域用一个数学函数来表达地形曲面。 整体内插函数通常是高次多项式，要求地形采样点的个数 大于或等于多项式的系数数目（P78）。 – 纯二维插值 – 曲面拟合插值或趋势面插值
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4.2规则格网DEM的建立
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4.2规则格网DEM的建立
DEM内插－－概念
建立DEM的关键环节是格网点上高程的内插计算。 内插计算是DEM的核心问题，贯穿于DEM的生产、质量控制、精度 评定、分析应用的各个环节。 DEM内插的概念：高程点的位置变换和加密处理，通称为DEM内插， 其数学基础是二元函数逼近，即利用已知离散点的三维空间坐标 数据，展铺一张连续数学曲面，将任一待求点的平面坐标带入曲 面方程，可算出该点的高程数值。 内插的实质：就是根据分布在内插点周围的采样点的高程求出未 知点的高程，在数学上属于数值分析中的插值问题。 任何一种内插方法都是基于原始地形起伏变化的连续光滑性，或 者说邻近的数据点间的相关性，才可能由邻近的数据点内插出待 定点的方程。
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4.2规则格网DEM的建立
DEM建模的很多阶段都会 用到内插 质量控制 表面重建 精度估计 地形分析 应用
4.2规则格网DEM的建立
4.2.2 DEM内插方法分类
随着DEM的发展和完善，已经提出了多种高程内插方法。根据不同的 分类标准，有不同的内插方法分类： 按数据分布规律分类：有基于规则分布数据的内插方法、基于不规则 分布的内插方法和适合于等高线数据的内插方法等； 按内插点的分布范围：内插方法分为整体内插、局部内插和逐点内插 法； 从内插函数与参考点的关系方面：分为曲面通过所有采样点的纯二维 插值方法和曲面不通过参考点的曲面拟合插值方法； 从内插曲面的数学性质来讲：有多项式内插、样条内插、最小二乘配 置内插等内插函数； 从对地形曲面理解的角度：有克立金法、 多层曲面叠加法、加权平 均法、分形内插等。
DEM的建立首先要对地形曲面进行抽象、总结和提炼，形 成高度概括的地形曲面数据模型，然后在此数据模型基 础上，将观测数据按照一定的结构组织在一起，形成对 数据模型的表述，最后借助计算机实现数据管理和地形 重建。
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4.1从散点到表面统计模型 4.1.1 DEM地形表面重建的地理内涵 和数学机理
分片的曲面模型分片模拟 （1）地形的空间分布特征： 各向异性 空间自相关性
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各向异性
由于地形的各向异性，坡度在各个方向上并 不相同。目前，基于DEM所提取的坡度，均是 位于最陡方向上的坡度。
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自相关性
Baidu Nhomakorabea
空间自相关分析法是通过检验具有空间 位置的某变量的观测值是否显著地与其 2013-12-29 相邻空间点上的观测值相关联。
4.1.3 DEM建立的一般步骤与方法
（1）DEM建立的一般步骤
数字高程模型的建立过程是一个模型建立过程。 从模型论角度讲，就是将源域（地形）表现在目标 域（DEM）中的一种结构。 建模的目的是对复杂的客体进行简化和抽象，并把 对客体（源域，DEM中为地形起伏）的研究转移到对 模型的研究上来。
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4.2规则格网DEM的建立
4.2.1 构建格网DEM的思路
DEM是在二维空间上对三维地形表面的描述。构建格 网DEM的整体思路是： 首先在二维平面上对研究区域进行格网划分（格网大 小取决于DEM的应用目的），形成覆盖整个区域的格 网空间结构。 然后利用分布在格网点周围的地形采样点内插计算格 网点的高程值，最后按一定的格式输出，形成该地区 的格网DEM。
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4.3DEM内插数学模型
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4.3DEM内插数学模型
逐点内插法的基本步骤为：
定义内插点的邻域范围； 确定落在邻域内的采样点； 选定内插数学模型； 通过邻域内的采样点和内插计算模型计算内插点的高程；
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4.3DEM内插数学模型
• 为实现上述步骤，逐点内插需要解决好以下几个问题： 内插函数 邻域几何特性 数据点 采样点权重 采样点分布 附加信息
4.1.1 DEM地形表面重建的地理内涵和数 学机理
分片的曲面模型分片模拟 （2）数学特征： 单值性 连续而不光滑
单值性
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4.1从散点到表面统计模型
4.1.2 DEM质量评价标准
保凸性：若逼近面与实际曲面的波动次数相等或接 近，而且两者对应的脊线、谷线位置和走向基本一 致，则保凸性好，反之保凸性差。 逼真性：逼近面F(x,y)和实际地形曲面f(x,y)对应点 之间应满足关系式：MAX|f(x,y)-F(x,y)|≤σ ，则认为 逼近面达到逼真性要求。 光滑性：光滑性是指曲线上切线方向变化的连续性， 或者说曲线上曲率的连续性。曲线的平顺性指曲线 上没有太多的拐点。
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4.1从散点到表面统计模型
（2）构建模型的一般内容和过程为：
采用合适的空间模型构造空间结构； 采用合适的属性域函数； 在空间结构中进行采样，构造空间域函数； 利用空间域函数进行分析。
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对于数字高程模型而言 空间结构的构造-GRID、TIN 属性值-Elevation 构造空间域函数-Interpolation 利用空间域函数进行分析-Grid Value
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4.3 DEM内插数学模型
• 精确插值：产生通过所有观测点的曲面。
这意味着在精确插值中，插值点落在观测点上，内插 值等于估计值。
• 近似插值：插值产生的曲面不通过所有观测点。 当数据存在不确定性时，应该使用近似插值，由于估 计值替代了已知变量值，近似插值可以平滑采样误差。
4.3 DEM内插数学模型
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4.4DEM建立过程
4.4.1基于不规则分布采样点的DEM建立： 基于不规则分布采样点的DEM的建立实质上是数据规则化 处理过程。分为直接法和间接法。直接法是直接通过采样 点内插建立DEM，间接法是利用点数据建立TIN模型，然后 再在TIN模型上通过线性内插等方法形成格网DEM。
• 4.3.1整体内插
4.3DEM内插数学模型
缺陷:由于以下原因，在DEM内插中整体内插并不常用： 1）整体内插函数保凸性较差； 2）不容易得到稳定的数值解； 3）多项式系数物理意义不明确，这容易导致无意义的 地形起伏现象； 4）解算速度慢且对计算机容量要求较高； 5）不能提供内插区域的局部地形特征。
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4.3DEM内插数学模型
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4.3DEM内插数学模型
注意的问题：分块内插是把需要建立DEM的地区，切割 成有一定尺寸的规则分块，形状通常为正方形，他的 尺寸根据地貌复杂程度和数据源的比例尺来确定，在 每一个分块上铺展一张数学面，相邻分块之间要求有 适当的重叠带。如下图。

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DEM内插分类方法 规则分布内插方法 数据分布 不规则分布内插方法 等高线数据内插方法 整体内插方法
内插范围
局部内插方法 逐点内插方法 纯二维内插 曲面拟合内插 线性插值
内插曲面与 参考点关系
DEM内插 内插函数性质
多项式内插
样条内插 有限元内插 最小二乘配置内插 克立金内插 地形特征理解 加权平均值内插 傅立叶级数内插
空间自相关及方向变异
大部分的地理现象都具有空间相关特性，即距离 越近的两事物越相似。这一特性也是空间地统计 分析的基础。
• 空间自相关是指空间位置上越靠近的事物或现象 就越相似，即事物或现象具有空间位置的依赖关 系。如气温、湿度等的空间分布体现了与海陆距 离、海拔高程的相关性。如果没有空间自相关性 ，地理事物和现象的分布就是随意的，地理学中 的空间分布规律就不能体现
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保凸性
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逼真性
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光滑性
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综合上述要求，高质量的逼近曲面应该具有较好 的保凸性和逼真性，如果实际曲面是光滑的，则 逼近面也应该是光滑的。 三个要求相互独立又相互影响。 DEM首先应满足保凸性和逼真性
4.1从散点到表面统计模型
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4.3DEM内插数学模型
4.3.2局部内插（分块内插） 将地形区域按一定的方法进行分块，对每一块根据地形 曲面特征单独进行曲面拟合和高程内插，称为DEM分块 内插。 优点：区域分块简化了地形的曲面形态，使得每一块都 可用不同的曲面进行表达。一般地，可按地形结构线或 规则区域进行分块，而分块大小取决于地形的复杂程度、 地形采样点的密度和分布。 方法：不同的分块单元可用不同的内插函数，常用的内 插函数有线性内插函数、双线性内插函数、多项式内插 函数、样条函数（由多项式分段定义）、多层曲面叠加 法等。
第四章DEM的建立
主要内容
从散点到地形统计表面 规则DEM建立的基本思路 DEM内插数学模型 DEM建立过程 不规则三角网TIN的基本概念 TIN与DEM之间的相互转换
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概述
数字高程模型是地形曲面的数字化表达，也就是说，DEM 是在计算机存储介质上科学、真实地描述、表达和模拟 地形曲面实体，因此它的建立实际上是一种地形数据的 建模过程。
特点 逐点内插方法计算简单，应用比较灵活，是较为常用的一类DEM内插 方法 逐点内插方法的主要问题是内插点邻域的确定，它不仅影响到DEM的 内插精度，也影响到内插精度。
4.4DEM建立过程
DEM各种内插方法各具特点，适用范围也不同。在 这里重点讨论以下类型数据的内插方法与DEM建立：
规则分布 不规则分布 等高线分布
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4.3DEM内插数学模型
优点: 整个区域上函数的唯一性，能得到全局光滑连续的DEM； 充分反映宏观地形特征，编程简单。 应用: 在DEM内插中，一般与局部内插方法配合使用，例如在 使用局部内插方法前，利用整体内插去掉不符合总体趋 势的宏观地物特征。另外也可用来进行地形采样数据中 的粗差检测。