随机环境中马氏链的一类强极限定理
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收稿 日期 ：０ ７ ０ － ４ ２ ０— ６ ０ 基 金项 目 ： 家 自然科 学基 金 资 助 （ ０ ７ ０ ６ 国 １５ １７ ）
（） ２
作者 简介 ： 晓敏 （９０ ） 硕 士 生， 要 从 事概 率 极 限理 论 研 究 。 武 １８ 一 ， 女， 主
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第 １ 期
武 晓敏等 ： 随机 环境 中马 氏链 的一类强极 限定理
１１ Ｏ
Ｐ ｘ）Ｉ （Ｑｍ （Ａ ， （ ） Ｆ ＝ ４ ｄ ）
可 以证 明 ， 固定 ∈ ， ） 看成 ｍ 的函数是 可测 的。 上述定 义有 意义 ， 故 由测 度论扩张定理 ， ｆ Ｐ￣Ｙ＂ ｒ 张成 Ｆ上 的一个概 率测度 ， 仍记 为 Ｐ 。 定义 ２ 对任 意 ｍ∈Ｍｚ ∞ （ ） 时 间 凡的坐标记 为 ， ∈ ＝ 在 令
第 ２ 卷 第 １ ５ 期
２０ ８ 笠 ０
Ｊ ｎ ａｙ ０ ８ ａ ｕ ｒ ２ ０
１ 月
文 章编 号 ：６ １７７ （０ ８Ｏ 一 １０ ０ １７ — ８ ２ ２０ ） ｌ０ ０ —４
随机环境 中马氏链 的一类强极 限定理
武 晓敏 。 卫国 杨 （ 苏大学 理 学院 ，江 苏 镇 江 ２ ２ １ ） 江 １０ ３
Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ：ｒ ｎｄ ｍ ｎｖｒ ｎ ｎ ； ｒ ｏ ｈ ｉ ｓ ｓｒ ｎ ｉ ｔｔ ｅ ｒ ｍｓ ｄｓ ａ ｏ ｅ ｉｏ ｍｅ ｔ Ｍａ ｋ ｖ ｃ ａｎ ； ｔｏ ｇ ｌｍｉ ｈ ｏ ｅ ；ｍａ ｔｎ ａｅ ｒｉ ｇ ｌ
关于齐次马氏链与非齐次马氏链的极限定理已有相当多的研究 ，但这些研究均是对确定的马氏链而言 的 ，随机 环境 中 的马 氏链 是 近年 来兴 起 的新课 题 。Ｎ ｗｏ ｋ 最早 研 究 了随 机 环境 中马 氏链 的一般 理论口 ａｒｔ ｉ ｚ １ ， Ｃ ｇｕｎ研究 了随机环境 中马 氏链 的遍 历理论 及 中心极 限定理闭 近几年 ， ｏｂ ｒ 。 毕秋香 等人 对随机 环境 中马氏链 的
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Ｖｏ ． Ｎｏ １ １ ２５ ．
安 徽 工 业 大 学 学 报（ 自然科学 版 ）
Ｊ ｆ ｎ ｕ ｎｖｒ ｔ ｏ ｅｈ ｏ ｇ （ ａ ｒｌ ｃ ｎ ｅ ． ｈ ｉ ｉ ｓ ｙ ｆ ｃｎ ｌ ｙ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ） ｏＡ Ｕ ｅ ｉ Ｔ ｏ ｕ ｅ
式（） 了 上 的分布 ， １ 确定 由于 ｚ 任意 的 ， 是 因此也 确定 了 上的一切 有 限维 分布 ， 全体这 样 的分 布记为 ，
称 ％ 是有初始分布 ， 取值于 Ｅ的非齐次马氏链 。 设初始分布 固定， 对任意 ，∈ ， ， Ａ∈ 令
∈ ） ． ） （ Ｆ∈ （ 占
为环境过程 ， 可测空 间 称 Ｑ为环境 空间 。 ）
对 ＝
，
∈ ∈ ， 及任意 Ｅ上固定的概率测度 ， ０ｌｏ 令 当 ＜ ｏ ＜，
ｍ ｏ ｌ ） ０ ｏ １ ｌ ） ¨ ｌ ｆ ， ｆ ） ） ｂ ２ …， ＝ ， …ｍ ， ） （） １
摘要： 通过随机环境中马 氏链的一般构造性定义 ， 利用鞅方法 ， 得到 了随机环境 中马氏链 的一类强极 限定理。 关键词 ： 随机环境 ； 马氏链 ； 强极限定理 ； 鞅
中 图分 类 号 ： ２ １ ２ ０ １． ６ 文 献标 识 码 ： Ａ
Ａ ａ ｓｏ ｔｏ ｇ Ｌ ｍｉ Ｔｈ ｏ ｅ ｆＭ ａｋ ｖＣｈ ｉｓｉ ｎ ｏ Ｅｎ ｉｏ ｍｅ ｔ Ｃｌｓ ｆＳｒｎ ｉ ｔ ｅ ｒ ｍｓｏ ｒ ｏ ａｎ ｎ Ｒａ ｄ ｍ ｖｒ ｎ ｎ ｓ
泛 函极 限定理进行 了进 一步 的研究［ 文 中研 究随 机环境 中马 氏链 的一类 强极 限定 理 ， ３ １ ， 推广 了毕 秋香 的结果 。
１随机环 境 中马 氏链 的构 造 性 定 义
设 Ｅ是有限集或可列集 ， 是 Ｅ的一切子集的全体构成的 ｏ代数， 占 ｒ ｚ及 分别表示全体整数及全体非负 整数集 ， ， 分别表示轨道空间及相应的由柱集产生的乘积 ｏ代数。 ｒ 以 记 Ｅ上全体转移概率矩 阵， 即 ＝ｍ ， ，∈ ） 为转移矩阵 ， ｛ Ｙ Ｅ， ， ｍ 在 上赋弱拓扑定义一最小 ｏ ｒ 代数 ， 使对任意的 ｘ ∈ ，（ 为 可测的； ， Ｅｍｘ ｙ ， 分别表示乘积空间和相应的乘积 ｏ代数。 ｒ 定义 １ 设 Ｑ为（ 上的概率分布， （ ∈ （ ｍ∈‰ ∈ Ｑ空间上的典型过程 ＝ ／ Ｚ称 ） ，∈ ７ ，
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作者 简介 ： 晓敏 （９０ ） 硕 士 生， 要 从 事概 率 极 限理 论 研 究 。 武 １８ 一 ， 女， 主
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第 １ 期
武 晓敏等 ： 随机 环境 中马 氏链 的一类强极 限定理
１１ Ｏ
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可 以证 明 ， 固定 ∈ ， ） 看成 ｍ 的函数是 可测 的。 上述定 义有 意义 ， 故 由测 度论扩张定理 ， ｆ Ｐ￣Ｙ＂ ｒ 张成 Ｆ上 的一个概 率测度 ， 仍记 为 Ｐ 。 定义 ２ 对任 意 ｍ∈Ｍｚ ∞ （ ） 时 间 凡的坐标记 为 ， ∈ ＝ 在 令
第 ２ 卷 第 １ ５ 期
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文 章编 号 ：６ １７７ （０ ８Ｏ 一 １０ ０ １７ — ８ ２ ２０ ） ｌ０ ０ —４
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式（） 了 上 的分布 ， １ 确定 由于 ｚ 任意 的 ， 是 因此也 确定 了 上的一切 有 限维 分布 ， 全体这 样 的分 布记为 ，
称 ％ 是有初始分布 ， 取值于 Ｅ的非齐次马氏链 。 设初始分布 固定， 对任意 ，∈ ， ， Ａ∈ 令
∈ ） ． ） （ Ｆ∈ （ 占
为环境过程 ， 可测空 间 称 Ｑ为环境 空间 。 ）
对 ＝
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∈ ∈ ， 及任意 Ｅ上固定的概率测度 ， ０ｌｏ 令 当 ＜ ｏ ＜，
ｍ ｏ ｌ ） ０ ｏ １ ｌ ） ¨ ｌ ｆ ， ｆ ） ） ｂ ２ …， ＝ ， …ｍ ， ） （） １
摘要： 通过随机环境中马 氏链的一般构造性定义 ， 利用鞅方法 ， 得到 了随机环境 中马氏链 的一类强极 限定理。 关键词 ： 随机环境 ； 马氏链 ； 强极限定理 ； 鞅
中 图分 类 号 ： ２ １ ２ ０ １． ６ 文 献标 识 码 ： Ａ
Ａ ａ ｓｏ ｔｏ ｇ Ｌ ｍｉ Ｔｈ ｏ ｅ ｆＭ ａｋ ｖＣｈ ｉｓｉ ｎ ｏ Ｅｎ ｉｏ ｍｅ ｔ Ｃｌｓ ｆＳｒｎ ｉ ｔ ｅ ｒ ｍｓｏ ｒ ｏ ａｎ ｎ Ｒａ ｄ ｍ ｖｒ ｎ ｎ ｓ
泛 函极 限定理进行 了进 一步 的研究［ 文 中研 究随 机环境 中马 氏链 的一类 强极 限定 理 ， ３ １ ， 推广 了毕 秋香 的结果 。
１随机环 境 中马 氏链 的构 造 性 定 义
设 Ｅ是有限集或可列集 ， 是 Ｅ的一切子集的全体构成的 ｏ代数， 占 ｒ ｚ及 分别表示全体整数及全体非负 整数集 ， ， 分别表示轨道空间及相应的由柱集产生的乘积 ｏ代数。 ｒ 以 记 Ｅ上全体转移概率矩 阵， 即 ＝ｍ ， ，∈ ） 为转移矩阵 ， ｛ Ｙ Ｅ， ， ｍ 在 上赋弱拓扑定义一最小 ｏ ｒ 代数 ， 使对任意的 ｘ ∈ ，（ 为 可测的； ， Ｅｍｘ ｙ ， 分别表示乘积空间和相应的乘积 ｏ代数。 ｒ 定义 １ 设 Ｑ为（ 上的概率分布， （ ∈ （ ｍ∈‰ ∈ Ｑ空间上的典型过程 ＝ ／ Ｚ称 ） ，∈ ７ ，