统计学基础知识归纳

2、正态分布及其统计量 2-2 统计量
➢ 特点
2、正态分布及其统计量
➢ 中心分布量 均值 中值 众数 ……
➢ 离散量
标准差 方差 极差
……
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2、正态分布及其统计量 2-3 样本均值
➢ 公式 2-4 样本方差
➢ 公式
2、正2态-3分布正及态其分统布计量 ➢ 正态分布的函数
➢ 标准正态分布的函数
2、正态分布及其统计量 ➢ 标准正态分布的函数
UCL=x+M3A2R LCL=x- M3A2R
UCL=D4R LCL=D3R
UCL=x+2.660RS LCL=x-2.660RS
UCL=3.267R LUL=不考虑
UCL=X+A3S LCL= X-A3S
UCL=B4S LCL=B3S
备注
①当LCL为负值时不考虑LCL
②当（i=1，2，3……，K），控制 界限计算公式中的Ni可用n代替，作 近似计算 ③A2，A3，D4，D3，m3A2，B4， B3查控制图系表
计算公式
xi= 1n
n
Σ xj
j=1
Ri=nmax(xi)-min(xi)
xi=
1 n
Σ j=1xj
Si=
n
Σ
j=1
(xj-
xi)2
n-1
n+1
xi=xi 2
(n为奇数)
xi=
1 2
(xi
n
2+xi
n+1
)2 (n为偶数)
Ri = max(xi) - min(xi)
Rsi = xi-xi-1
P=
1 nk
P(1-P)/ni P(1-P)/ni
UCL=C+3 C LCL=C-3 C
UCL=u+3
u
ni
LCL=u-3
nu i
国标GB/T4091-2001《常规控制图》中提供了8种判异原则。为了应用
这些原则，将控制图等分为6个区域，每个区宽1σ，这6个区的标号分别为
A、B、C、C、B、A，其中两个A区、B区及C区都关于中心线对称。
样本容量 是否恒定？
否 使用P图
样本容量 是否恒定？
否使用C图
使用Pn图P图
使用C图或U图
否
子组均值是否能
否 使用中
很方便地计算？
位数图
是
子组容量是否 大于或等于9？
否 使用 ~x -R图
是
是否能方便 地计算每个子
组的S值？
是 使用 ~x -S图
否 使用 ~x -R图
➢ 控制图的样本选择
控制图名称 x-R图 ~x-R图 x-S图 x-Rs图
较常用，计算简单，操作 工人易于理解。
样本数量相等。
计算量大，控制线凹凸不 平(在特定条件下，控制 样本数量可以不等。 线可为直线)。
较常用，计算简单，操作 工人易于理解。
样本数量相等。
计算量大，控制线凹凸不 平(在特定条件下，控制 样本数量可以不等。 线工人易于理解。
用于控制一般的 ~ 过程。
用于控制关键的过程。
1、统计学的几个基本定义 1-4 随机变量
➢ 事例
1、统计学的几个基本定义 ➢ 事例
1、统计学的几个基本定义 1-5 总体
➢ 研究对象
1、统计学的几个基本定义 1-6 样本
➢ 研究对象
2、正态分布及其统计量 2-1 数据的分布形式
数据通常分为，离散型变量、连续型变量 ➢ 离散变量分布
2、正态分布及其统计量 ➢ 连续变量分布
简便省事，并能及时判断 工序是否处于稳定状态。
适用于因各种原因(时间、 费用等)每次只能得到一个
数据或希望尽快发现并消
除异常因素的场合。适用
缺点是不易发现工序分布 于均质产品而无需抽取多
中心的变化。
个试样。如一炉负的成分
x图用于观察分布的单值变化，RS图用 于观察分布的一致性变化。X-Rs联合 运用，用于观察分布的变化，但灵敏 度低。
用于控制一般缺陷数的场合。 用于控制每单位缺陷数，如线路焊接 不良点数。
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➢ 控制图的选定流程
确定要制定 控制图的特性
是计量型 数据吗？
是
性质上 是否是均匀 或不能按子组取样 例如：化学槽液 批量没漆等？
是 使用单值图x-Rs
关心的 是为合格品率 即“坏”零件的
百分比吗？
关心的是 不合格数， 即单位零件 不合格数吗？
CL C B
LCL A
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准则6：连续5点中有4点落在中心线同一侧的C区外 与准则5类似，这第5点可在任何处。本准则对于过程平均值的偏移也是较 灵敏的。出现本准则的现象也是由于过程参数u发生了变化。
UCL A B C
CL C B A
LCL
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准则7：连续15点在C区中心线上下
出现本准则的现象是由于参数σ（过程标准差）变小。造成这种现
2、正态分布及其统计量 2-5 统计过程控制基本信息（SPC）
➢ 控制图的涵义
➢ 控制图示图
2、正态分布及其统计量 ➢ 控制图的定义
➢ 控制图的组成 中心线 上控制限 下控制限
2、正态分布及其统计量 ➢ 控制图的来源
将通常的正态分布图转个方向，使自变量的方向垂直向上， 将，
2、正态分布及其统计量
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准则3：连续6点递增或递减
此准则是针对过程平均值的变化趋势进行设计的，它判定过程平均值 的较小趋势要比准则2更为灵敏。产生趋势的原因可能是工具逐渐磨 损、维修逐渐变坏等，从而使得参数随着时间变化。
UCL A B C
CL C B A
LCL
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准则4：连续14点相邻点上下交替
此准则是针对由于轮流使用两台设备或由两位操作人员轮流进行操 作而引起的系统效应。实际上这是一个数据分层不够的问题（即数 据中存在两种不同的分布）
不合格品率控 制图
缺陷数控制图
单位缺陷数控 制图
控制图 符号 x-R x-S x-R
x-RS
Pn P C U
特点
适用场合
用途
最常用，判断工序是否正 常的效果好，但计算工作 量大。
适用于产品批量较大，且 稳定、正常的工序。
x~图用于观察分布的均值变化，R图用 于观察分布一致性变化。x-R联合运 用，用于观察分布的变化。
2、正态分布及其统计量 ➢ 控制图3δ原则
2、正态分布及其统计量 ➢ 常规控制图
2、正态分布及其统计量 ➢ 控制图3δ原则
2、正态分➢布控及制其图统的计分量类
按照使用的目的不同，分析用控制图和控制用控制图
分析用控制图 所分析的过程是否处于统计控制状态； 该过程的过程能力指数Cp是否满足要求。
当过程达到稳定状态后，就可 以将控制图的控制线延长作为 控制用控制图。 控制用控制图 用于监控过程是否稳定，过程的波动是否在控制范围之内。
2、正态分布及其统计量 ➢ 控制状态的变换
➢ 控制适用场合
名称
平均值—极差 控制图
平均值—标准 差控制图
中位数—极差 控制图
单值—移动极 差控制图
不合格品数控 制图
象的原因可能有数据虚假或数据分层不够等。 UCL
A
B
C CL
C
B
A LCL
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准则8：连续8点在中心线两侧，但无一点在C区中
造成这种现象的主要原因也是因为数据分层不够，本准则是 为此而设计的。
UCL A
B C CL C B A LCL
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➢ 控制图的事例
某厂加工SA120轴，轴径尺寸要求为φ19.90+0.14，过程能力指数要求为1，试制定x-R图对其生产过程进行 控制。 （1）确定样本容量和样本个数。 根据产品的具体情况，取n=4，共取k=25组。 （2）采集数据。 作控制图用的数据的采集应使同一样本内的数据来自基本相同的生产条件，使样本内仅有偶然性原因的影 响，而系统性原因反映为样本间的差异。为此，通常采用整组随机抽样。它是按一定的时间间隔，不打乱 产品的自然生产顺序，一次从中抽取连续的n个产品作为样本的。 （3）将数据填入数据表中，如表1-1所示。 （4）计算各样本的平均值 xi 填入表中。 xi 的计算值应比样本数据多保留一位小数。
UCL
A B
C
CL
C B A
LCL
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准则5：连续3点中有2点落在中心线同一侧的B区以外
过程平均值的变化通常可由本准则判定，它对于变异的增加也较灵敏。这里需 要说明的是：3点中的2点可以是任意两点，至于第三点可以在任何处，甚至可 以根本不存在。出现准则5的现象是由于过程参数u（均值）发生了变化。
UCL A B C
Pn图、P图
C图、U图
样本数K（组数） 一般K=20～25
一般K=20～25 K=20～30
样本大小n（组的大小） 一般n=3～６
n>10 1
备注
x图的样本容量取４以上。 x~图的样本容量常取3或5。
一般K=20～25
1/P～5/P
尽可能使样本中缺陷数 C=1～５
Pn图要求样本大小一致。 C图要求样本大小一致。
• 判异原则1 ：一点落在A区以外
• 在许多应用中，准则1甚至是唯一的判异准则。准则1可对参数u的变化或参数σ的变化给出信号，变化越大，则给出信号越快。准则1还可以对过程中的单个失控作出反应，如计算错误、测量错误、原材料 不合格、设备故障等。在3 σ原则下，准则1犯第一类错误的概率为 α=0.0027。
➢ 控制图的计算公式
控制图名称
步骤
x-R图
(1)计算各组平均值xi (2)计算各组极差Ri
x-S图
(1)计算各组平均值xi (2)计算各组标准差Si
x-R图
(1)找出或计算出各组 数的中位数Xi
(2)计算各组极差Ri
x-Rs图 Pn图 P图 Ui图
计算移动极差Rsi
计算总不合格品率P
计算各组不合格率P 计算各样本的单位缺 陷数U
2、正态分布及其统计量
➢ 控制图的两类错误
第一类，虚发报警： 过程正常，由于点偶然超出界外而判异，其发生概率为α，
第一类错误造成寻找根本不存在的异因的损失。
第二类，漏发报警： 过程异常，仍会有部分产品，其质量特性的数值大小仍位于
控制界限内，从而发生漏发报警。第二种错误的概率为β。其 会造成不合格品增加的损失。
➢ 控制图的两种解释 第一种解释：
（1）若过程正常，即分布不变，则出现超出上限UCL的点概 率只有1%。左右；
（2）若过程异常，分布的中心会发生变化，其发生概率位 1%。的几十乃至几百倍。
第二种解释： （1）偶然因素引起质量的偶然波动，异常因素引起质量的
异常波动，偶然波动是不可避免的，对质量影响小，异常波动 对质量影响大，通过采取措施可以加以消除。
统计学基础知识归纳
目录
1、统计学的几个基本定义 常用概念 基本运用
2、正态分布及其统计量 正态分布的特点 统计量的运用
1、统计学的几个基本定义 1-1 随机现象
➢ 基本特征
➢ 事例
1、统计学的几个基本定义 ➢ 举例
1、统计学的几个基本定义 1-2 随机事件
➢ 基本特征及事例
1、统计学的几个基本定义 ➢ 基本特征及事例
•
UCL
•
A
•
B
•
CL C
•
C
•
B
•
LCL A
准则2：连续9点落在中心线同一侧
此准则是为了补充准则1而设计的，以改进控制图的灵敏度，选择9点是为了 使其犯第一类错误的概率α与准则1的α0=0.0027大体相等。出现准则2的现 象，主要是过程平均值减小的缘故。
UCL A B C
CL C B A
LCL
S的计算比R复杂，但其精 度高。
当N>10时用S图代替R图。 适用于检验时间远比加工 时间短的场合。
x图用于观察分布均值变化，S图于观 察分布的一致性变化。x-R联合运用用 于观察分布的变化。
计算简便，但效果较差。
适用于产品批量较大，且 稳定、正常的工序。
x图用于观察分布的中位数变化、R图 用于观察分布的一致性变化。x-R联合 运用，用于观察分布的变化。
1、统计学的几个基本定义 ➢ 基本特征及事例
1、统计学的几个基本定义 1-3 概率 ➢ 公式
➢ 事例
1、统计学的几个基本定义 ➢ 练习
计算一下如下事件发生的概率
（1）彩票，10选3，全中概率； （2）三个色子，掷出豹子的概率； （3）袋子里有红、蓝、黑三色球各两个，每次取两个，颜色 都是一致的出现的概率。
i=1,2------K
(Pn)i-第组的不合格品数
ni-第i组的样本容量
ni-第i组样本容量 ci-第i组的缺陷数
➢ 控制图的计算公式
控制名称
x图 x—R图
R图
~x图 ~ x—R图
R图
x—Rs图 x—S图
x图 RS图 X图 S图
中心线（CL）
CL=x= CL=R=
1 K
k
Σ xi
i=1
1 K
k
Σ Ri
➢ 控制图的计算公式 （续）
Pn图 P图 C图 u图
Σ 1 k
CL= Pn= k
(Pn)i
i=1
Σ Σ k
CL= P= (Pn)i
i=1
k
ni
i=1
Σ 1 k
CL= C=
k
Ci
i=1
Σ Σ k
k
CL= u= Ci
ni
i=1
i=1
UCL=Pn+3 LCL=Pn-3
Pn(1-P) Pn(1-P)
UCL=P+3 LCL=P-3
i=1
~ CL=x=
1 K
k
Σ xi
i=1
CL=R= CL=x=
1 K
k
Σ Ri
i=1
1 K
k
Σ xi
i=1
CL=RS=
1 K-1
k
Σ Rsi
i=2
CL=x=
1 K
k
Σ xi
i=1
CL=S=
1 K
k
Σ Si
i=1
上、下控制线（UCL与LCL）
UCL=x+A2R LCL =x- A2R
UCL=D4R LCL=D3R
k
Σ (Pn)i
j=1
(Pn)i
Pi= ni
ui=
ci ni
备注 xi-第i组平均值 max(xi)-第i组中最大值 mix(xi)-第i组中最小值
xi-第i组平均值 xi-第i组平均值
xi
n+1 2
-按大小排列的第组
数据中第n+1 个位置上的数
2
xi
n 2
-按大小排列的第i组
数据中第
n 2
个位置上的数