习题变式的途径和方法

一题多变 变式
分解变式
题9
变式8:如图54,矩形DEFG的顶点D,E分别在直线l1 , l上，顶 2 点F,G都在 x 轴上，且点G与点B重合．已知Ａ(-4,0)，Ｂ (8,0)，Ｃ(5,6)，ＤＥ＝８。若作ＣＭ⊥x 轴，垂足为 Ｍ。若矩形DEFG从原点出发，沿 x轴的反方向以每秒1个 单位长度的速度平移，设移动时间为t 秒，矩形DEFG与
A
A
A O
O B P D
E
O D C
B P
D
C
C
B P
图 38
图 39
图 40
E
一题多变
；
结论变式
变式
……
题5
【题5】如图38，已知△ＡＢＣ是⊙Ｏ的内 接正三角形，Ｐ是劣弧ＢＣ上任意一点， 求证：ＰＡ=ＰＢ＋ＰＣ。
变式１： 求证：（１）∠ＢＡＣ＋∠ＢＰＣ＝１８０° （２）∠ＡＢＰ＋∠ＡＣＰ＝１８０° A
2 1
（3）若矩形DEFG从原点出发,沿 x轴的反方向以每秒1个 图 54 单位长度的速度平移，设移动时间为t ( 0 ≤ t ≤ 1 2 ) 秒，矩 形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关 系式，并写出相应的 t 的取值范围．
A
O
F （G） B x
一题多变 变式
分解变式
一题多解变式
A
证法8
E
A
12
证法9
F C
B
D
CB
图 6
3
D
A
图 1
证法11
12
证法10
4
BD CD

AB AC
B
D
C
E
图
8
题1
一题多解变式
A
M
BD CD
B D C

AB AC
B
A
C
D
图 1
图 9
三角形内角平分线 性质
三角形外角平分线 性质
题2
如图17，四边形ＡＢＣＤ是正方形，点Ｅ 是边ＢＣ的中点，∠ＡＥＦ=90，EF交正方 形外角的平分线ＣＦ于 Ｆ。 求证：ＡＥ=ＡＦ。（人教版八年级下册第 D A １３３页第１５题）
变式1:求证：AB=AC. 变式2:求证：BD=DC.
B
E D
图 41
F C
变式3:求证：∠DEB=∠DFC=90°． 假命题
一题多变 变式
图形变式
图形变式就是以基本图形为“生 长点”，通过将其变换、引申为相关 图形而得到变式题组，从而培养学生 对几何图形的识图能力、想象能力、 变换能力及思维的多向性和灵活性。
垂足分别为Ｅ，Ｆ。.求证四边形ＢＦＤＥ是平行四边形。（人 教版八年级下册第９６页例３）
图 30
一题多变
，
变式条件Biblioteka 式题4变式5：如图31，在□ＡＢＣＤ中，ＢＥ//ＤＦ，分别 交对角线ＡＣ于点Ｅ，Ｆ。.求证四边形ＢＦＤＥ是平 行四边形。(人教版八年级下册第121页第９题)（２０ ０９年湖南省长沙市中考） A E A A D D
一题多变
，
变式
条件变式
A E O F C
B F C
B E
题4
变式8：如图33，在□ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别是Ａ Ｄ，ＢＣ的中点。.求证四边形ＢＦＤＥ是平行四边形。
D
A E D
A F D C
B
图 33
变式9：如图33，在□ＡＢＣＤ中，ＢＥ，ＤＦ分别平分 图 28 ∠.ＡＢＣ，∠ＡＤＣ，交ＡＤ，ＢＣ于点Ｅ，Ｆ。求证 四边形ＢＦＤＥ是平行四边形。（人教版八年级下册第 91页第６题） 变式10：如图34，在□ＡＢＣＤ中，ＡＥ⊥ＢC，ＣＦ ⊥ＡＤ，垂足分别为Ｅ，Ｆ。.求证四边形ＢＦＤＥ是 平行四边形。
题3
【题3】已知y是x的反比例函数， 当x=2时，y=6,求y与x的函数 关系式.(人教版八年级下册 第４７页例１)
一题多变
，
题3 变式１：（２００９昆明中考）如图 m 23，反比例函数 (m≠0)与一 y= x 次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象相交于 A、B两点，点A的坐标为(－6，2)， y 点B的坐标为(3，n)． 求反比例函数和 A 一次函数的解析式． x O
变式２：求证： (1) B D D C A D P D ； ( 2 ) P B P C P A P D
O B P D C
(3) A B
2
AD AP
(4) AC
2
AD AP
PA PC PC 2 PA PD 变式３：求证：
图 38

一题多变 变式
一题多变变式包括条件变式、结论 变式、逆向变式、图形变式、分解变式、 拓广变式、推广应用等。
一题多变 变式
条件变式
条件变式就是对某一题目的 条件进行变式，从而得到一类变 式题组。通过对变式题组的分析 解答，使学生掌握一类问题的题 型结构，加深对问题本质的认识， 提高解题能力。
一题多变 变式
条件变式
图 34
一题多变 变式
结论变式
结论变式就是在问题条件不变的 情况下，引导学生运用类比、联想等 发散思维，将问题的结论向横、纵方 向拓展，达到以点穿线、触类旁通之 目的，依此培养学生创新精神和实践 意识。
一题多变 变式
结论变式
题5
【题5】如图38，已知△ＡＢＣ是⊙Ｏ的内 接正三角形，Ｐ是劣弧ＢＣ上任意一点， 求证：ＰＡ=ＰＢ＋ＰＣ。
F B E C G
图17
题2
证法1
A M B E
图 18
一题多解变式
证法2
D F C G
证法3
D F
A D F B E C G
A
B
E
图 19
C N
G
H
图 20
证法6
A O D
证法5
2
A
D F
证法4
D F C G
A Q
F
B P
E
C
G
B
E
1
B
E
C
图 22
图 21
一题多变变式
一题多变变式，就是通过对某一题目进行 条件变换、结论探索、逆向思考、图形变化、 类比、分解、拓广等多角度、多方位的探究， 使一个题变为一类题，达到举一反三、触类旁 通的目的，培养学生良好的思维品质及探索、 创新能力。
E D O F C
B E F C
B F C
B
图 31 变式6：如图32，在□ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别在ＡＤ， 图 28 ＢＣ上。且ＡＥ=ＣＥ。.求证四边形ＢＦＤＥ是平行四 边形。（人教版八年级下册第91页第４题）
图 32
变式7：如图32，在□ＡＢＣＤ中，ＢＥ//ＤＦ，分别 交ＡＤ，ＢＣ于Ｅ，Ｆ。.求证四边形ＢＦＤＥ是平行 四边形。
且Ｂ（8,0），求ＢＤ的长。 变式6:已知ＤＥ//x 轴，交直线 l 于点Ｅ， 2 且Ｄ(8,8),求ＤＥ的长.【DE=4】
一题多变 变式
分解变式
题9
变式7:如图54,矩形DEFG的顶点D,E分别在直线l1 , l 2上，顶 点F,G都在x 轴上，且点G与点B重合．已知Ａ(-4,0)，
Ｂ(8,0)，Ｃ(5,6)，ＤＥ＝4。若作ＣＭ⊥x 轴，垂 足为Ｍ，求ＭＡ。ＭＢ，ＭＦ的长。
一题多变 变式
图形变式
ＡＤ=ＣＢ.
D
题7
C
【题7】如图42（１），已知ＡＢ=ＣＤ,
求证：ＡＤ//ＢＣ A B 图42（１）是全等三角形中的基本图 形，也是四边形中非常重要的基本图形， 若对此图实施基本变换（平移、翻折、旋 转），便得到一串基本问题和中考题。
一题多变 变式
图形变式
平移 平移
题7
翻 折 平移 平移
变式
条件变式
B
图 23
一题多变
，
变式
条件变式
题3
变式2：（２００９北京）如图24，A、 m B两点在函数 y ( x 0 ) 的图象上. x 求 的值及直线AB的解析式； （答案：m=6, y=-x+7） ．
一题多变
，
变式
条件变式
题3
变式3： (2009贵阳)如图25，已知一次 函数y＝x＋1与反比例函数y＝的图象都 经过点(1，m)． (1)求反比例函数的关系式； (2)根据图象直接写出
的表达式；
（2）求点B的坐标．
一题多变
，
变式
条件变式
题3
变式5：（２００９内蒙古赤峰中考） 如图26，一次函数y=ax+b的图象与反比 k 例函数 y 的图象交于A、B两点，与 x x轴交于点C，与y轴交于点D， 已知OA=
10
，tan∠AOC=
1 3
，
点B的坐标为（m，-2）。 （1）求反比例函数的解析式
E O F C
求证四边形ＢＦＤＥ 是平行四边形。
B
图 28
（人教版八年级下册第87页例３）
一题多变
，
变式
条件变式
题4
变式1：如图29，□ＡＢＣＤ的对角线AC向 两个方向的延长至Ｅ，Ｆ，使ＡＥ=ＣＦ. 求证四边形ＢＦＤＥ是平行四边形。（人 教版八年级下册第120页第２题）
A E B O F C D
E A B D O C F
E 等边 B C
变等腰
D
等边变 正方形
B
A E
F C
图 44
D A F B M C
B
图 45
D
C
两个
图 43
E
O1
A O3
I
变三个
等边变 正方形
B O2 F G C
H
E
图 46
图 48
一题多变 变式
F
图形变式
若把基本图形变成平行四边形
D
题8
H E G F D A B C
E D A C B
G O2 C D O3 B O4 Q P N M
逆向变式
逆向变式就是当一个命题获得解 决以后，启发、引导学生分析、探究 所解决命题的逆命题，并判断其是否 成立，以培养学生的逆向思维和创新 能力。
一题多变 变式
逆向变式
题6
【题6】已知：如图41，在△ABC中，AB=AC， A DB=DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F． 求证：DE=DF．（人教社八年级上册P142）
B
A
E
C
图 49
H E
图 43
图 50
H E F A
G
H E B2
G
F
O1 A
C D B M
B1 F B3 A D B C
图 52
N
图 51
图 53
一题多变 变式
分解变式
分解变式就是对综合性较强的数 学问题，引导学生将其分解为几个基 本问题，通过对基本问题的求解，逐 步达到解决问题的目的。
一题多变 变式
题1
已知：如图1，在△ＡＢＣ中，ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，
A
求证：
BD CD

AB AC
B
D
C
图 1
题1
一题多解变式
A
证法1 证法2
C
B
A
1 2
证法3
证法4
C B
E A
3
1 2
B
D
D E
图 1
证法5 证法6
图2
D
C
A
1 2
图 3 A
证法7
B
E
1 2
BD CD

AB AC
E B D C
D
C
图 4
图
5
题1
（2）求一次函数的解析式
图 26
一题多变
，
）
变式
条件变式
题3
变式6： （２００９四川成都中考变式） 如图27，正方形OABC的面积是4，点B在反 k y 比例函数 x 的图象上．求反比例函数的 解析式。 y
A O x B C
图 27
一题多变 变式
条件变式
题4
【题4】如图28，□ＡＢＣＤ的对角 线AC，BD交于点Ｏ，Ｅ，Ｆ是ＡＣ上 的两点，并且ＡＥ=ＣＦ. A D
首都师大附中 张文娣
☆ 一题多解变式 ☆ 一题多变变式 ☆ 多题一解变式 ☆ 一题多用变式 ☆ 综合变式
一题多解变式
一题多解就是对同一个数学 问题，鼓励、启发、引导学生在 所学知识范围内，大胆地、尽可 能地提出不同的解题构想和方法， 拓宽学生的发散思维空间，培养 学生发散思维、创新意识和思考 周全的能力。
图 28
图 29
一题多变
，
变式
条件变式
D
E O
题4
变式2：如图30，□ＡＢＣＤ的对角线AC，BD交于点Ｏ， Ｅ，Ｆ分别是ＯＡ，ＯＣ的中点，并且ＡＥ=ＣＦ.求 A 证四边形ＢＦＤＥ是平行四边形。 D A
E B O F C
B F C
变式3：如图30，□图 28 ＡＢＣＤ的对角线AC，BD交于点Ｏ， ＢＥ，ＤＦ分别平分∠ＡＢＤ，∠ＢＤＣ，交ＡＣ于 点E，Ｆ。求证四边形ＢＦＤＥ是平行四边形。 变式4：如图30，在□ＡＢＣＤ中，ＢＥ⊥AC，ＤＦ⊥ＡＣ，
－1 O 1 x y
使这两个函数值都小于
0时x的取值范围．
图 25
一题多变
，
题3 变式4： （２００９宁夏中考）已知 正比例函数 y k x ( k 0 ) 与反比例 k 函数 y x ( k 0 ) 的图象交于A,B 两点， 点A的坐标为(2,1) ．
变式
1
条件变式
1
2
2
（1）求正比例函数、反比例函数
题9
变式１: 求直线 l 1 x 轴交点Ａ的坐标。【Ａ(-4,0)】 与 变式2: 求直线 l 2 x轴交点Ｂ的坐标。【Ｂ(8,0)】 与 变式3:已知直线 l与直线l,求交点Ｃ的坐标。【Ｃ(5,6)】 2 1
变式4:已知Ａ(-4,0),Ｂ(8,0),Ｃ(5,6),求△ＡＢＣ的面积。
变式5:已知ＢＤ// y 轴，交直线 l 1 于点Ｄ，
旋 转 平移 翻 折 旋转 旋转
旋 转 平移
翻 折 旋转
一题多变 变式
图形变式
D
题8
【题8】如图43,△ABD,△AEC都是等边三角 形，求证：BE=DC. (八年级（上）教材 P150第11题)
B A E
C
图 43
实际上就是【题7】变式图10体现的变式
一题多变 变式
D A
图形变式
E
题8
D G A
题9
l1 : y 2 x 8
【题9】（2009山西26）如图54，已知直线 与 3 3 x , l2 直线 l 2 : y 2 x 1 6 相交于点C, l1 分别交 轴于A,B 两 , l2 点．矩形DEFG的顶点D,E分别在直线 l1上，顶点F,G 都 y l 在 轴上，且点G与点B重合． x l y y 本题是２００９年山西中考试题的压轴题，综合性较强。 D E （1）求△ABC的面积； C 若分解为下列题组，则较易求解。 （2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；