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应用随机过程
Application of Stochastic Processes
数理科学与工程学院 应用数学系
范爱华
函数与极限
1
1.01365 27.8
1.02365 1377.4
成功的道路并不拥挤， 因为坚持到最后 的人并不是很多。
函数与极限
2
主要教学参考书
教材
《应用随机过程》
张波 张景肖 编 中国人民大学
i 1
函数与极限
8
定义1.1 设为样本空间，F是中的某些子集
组成的集合族，若满足：
（1） F ；
（2）如果A F ，则 A F ；
（3）如果Ai F，i 1,2, ,则 Ai F .
i 1
那么，称F 为中的 - 代数.
( F , )为可测空间， F中的元素称为事件 .
函数与极限
9
性质 假 设F是中的任一事件 - 代数，则
(1) F;
n
n
(2)若果Ai F ,i 1,2, n,则 Ai F , Ai F;
i 1
i 1
(3)若果Ai
F ,i
1,2,
,则
Ai
F;
i 1
(4)若果A,B F ,则A B F ,B A F;
（5） - 代数必为代数.
函数与极限
10
例1.1 由的一切事件构成的事件类是事件 - 代数. (常常它为称为最广泛的 - 代数.)
(3) 事件类F {,,{1,3,5}{2,4,6}};
函数与极限
12
定义1.2 对于上任意包含事件A的最小的 - 代数， 称为事件A生成的 - 代数， 记作 ( A).
结论：设A是中的一个集系， 则包含A的最小的 - 代数 ( A)一定存在.
注：对于中的任意事件类A,必定存在含A的
最小事件 - 代数，并且等于上包含A的事件 代数Fi ,i 1,2, 之交，即 ( A) Fi.
函数与极限
16
概率的基本性质
(1) P() 0,
(2) 若A, B F, 则P( A B) P( A) P(B) P(AB)
(3) P( A) 1 P( A)
(4) A, B F, 若A B
P(A) P(B)
若A B
P(B A) P(B) P(A)
—单调性
(5) 若An F, n 1 则
函数与极限
15
例1.1：[0,1]上的Borel概率空间：设 [0,1], F B[0,1],
即B[0,1]是局限在[0,1]上的Borel - 代数, 称(, F )
([0,1], B[0,1])为[0,1]上的Borel可测空间.A [a,b] B[0,1] 定义P( A) b a,称(, F，P)为[0,1]上的Borel概率空间， 称P为[0,1]上的Borel概率测度.
函数与极限
14
定义1.4 设F是定义在样本空间上的事件 -
代数，P(A),A F是定义在F上的非负集函数，且满足
（1）对任意A F，有0 P(A) 1;
(2) P() 1;
（3）对任意Ai F，i 1,2, ,Ai Aj ,i j
P（ Ai）
P(Ai
)
i 1
wenku.baidu.com
i 1
则称P是(, F）上的概率，(, F, P)称作概率空 间，P( A)称为事件A的概率。
P( An )
P( An )
n1
n1
—次可列可加性
函数与极限
17
(6) 设 i j, Ai Aj , Ai
i 1
则对任意事件A, 有 P( A) P( A Ai )
i 1
（7）性质(2)的推广，Jordan公式
对任意A1, A2, , An 有
n
P( Ai ) P( Ai ) P( Ai Aj )
A (B C ) (A B ) C (3)分配律 A (B C ) (A B ) (A C )
A (B C ) (A B ) (A C )
(4)对偶原则 (De Morgan律)
A B A B A B A B
Ai Ai
i 1
i 1
Ai Ai
i 1
i1
函数与极限
13
定义1.3
设 R,由所有半无限区间(,a)生成的 - 代数 （即包含{(,a),a R}的最小 - 代数）,称为R上的
Borel - 代数,记作B(R)，其中的元素称为Borel集 合.类似可以定义Rn上的Borel - 代数,记作B(Rn ). 显然 B ((,a),a R).
例1.2 由F {,}， 则F是事件 - 代数。 称作平凡事件 - 代数.
例1.3 对任意事件A ,F {,A,A,} 是事件 - 代数。
函数与极限
11
思考题： 随机试验: 掷一枚骰子，观察出现的点数， 样本空间 {1,2,3,4,5,6}，下列事件是否构成
- 代数？ (1) 事件类F {,,{1,2,3},{3,4,5,6}}; (2) 事件类F {,,{1,2,}{3,4},{5,6}};
i 1
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) (1)n1P( A1A2 An )
1i jk n
函数与极限
18
事件列极限1：假设事件序列Ai ,
(1) 如果A1 A2 An ,
则 lim
n
An
An
n1
An A
(2) 如果A1 A2 An , An A
则
lim
n
An
出版社
函数与极限
3
参考书
1.《应用随机过程》
林元烈 编著 清华大学出版社
2.《随机过程》
王风雨 编著 北京师范大学出版社
函数与极限
4
前
言
函数与极限
5
函数与极限
6
第1章 预备知识
1.1 概率空间
在自然界和人类的活动中经常遇到各种各样的现 象，大体上分为两类：必然现象和随机现象 。
具有随机性的现象—随机现象
对随机现象的观察或为观察而进行的实验
（有3个特征）
—随机试验
随机试验的结果 —基本事件或样本点。记作
所有可能的结果称为样本空间。 记作
的子集A由基本事件组成 —A称为事件。
函数与极限
7
事件的性质 假设A,B,C是任意事件，则他们满足：
(1)交换律 A B B A
(2)结合律 A (B C ) (A B ) C
An
n1
结论： 单调事件(集合)序列必有极限.
函数与极限
19
(8) 概率的连续性：
定理：若{An,n 1}是单调递增(或递减)的事件序列
则
lim
n
P(
An
)
P( lim
n
An
)
具体情况：
Application of Stochastic Processes
数理科学与工程学院 应用数学系
范爱华
函数与极限
1
1.01365 27.8
1.02365 1377.4
成功的道路并不拥挤， 因为坚持到最后 的人并不是很多。
函数与极限
2
主要教学参考书
教材
《应用随机过程》
张波 张景肖 编 中国人民大学
i 1
函数与极限
8
定义1.1 设为样本空间，F是中的某些子集
组成的集合族，若满足：
（1） F ；
（2）如果A F ，则 A F ；
（3）如果Ai F，i 1,2, ,则 Ai F .
i 1
那么，称F 为中的 - 代数.
( F , )为可测空间， F中的元素称为事件 .
函数与极限
9
性质 假 设F是中的任一事件 - 代数，则
(1) F;
n
n
(2)若果Ai F ,i 1,2, n,则 Ai F , Ai F;
i 1
i 1
(3)若果Ai
F ,i
1,2,
,则
Ai
F;
i 1
(4)若果A,B F ,则A B F ,B A F;
（5） - 代数必为代数.
函数与极限
10
例1.1 由的一切事件构成的事件类是事件 - 代数. (常常它为称为最广泛的 - 代数.)
(3) 事件类F {,,{1,3,5}{2,4,6}};
函数与极限
12
定义1.2 对于上任意包含事件A的最小的 - 代数， 称为事件A生成的 - 代数， 记作 ( A).
结论：设A是中的一个集系， 则包含A的最小的 - 代数 ( A)一定存在.
注：对于中的任意事件类A,必定存在含A的
最小事件 - 代数，并且等于上包含A的事件 代数Fi ,i 1,2, 之交，即 ( A) Fi.
函数与极限
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概率的基本性质
(1) P() 0,
(2) 若A, B F, 则P( A B) P( A) P(B) P(AB)
(3) P( A) 1 P( A)
(4) A, B F, 若A B
P(A) P(B)
若A B
P(B A) P(B) P(A)
—单调性
(5) 若An F, n 1 则
函数与极限
15
例1.1：[0,1]上的Borel概率空间：设 [0,1], F B[0,1],
即B[0,1]是局限在[0,1]上的Borel - 代数, 称(, F )
([0,1], B[0,1])为[0,1]上的Borel可测空间.A [a,b] B[0,1] 定义P( A) b a,称(, F，P)为[0,1]上的Borel概率空间， 称P为[0,1]上的Borel概率测度.
函数与极限
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定义1.4 设F是定义在样本空间上的事件 -
代数，P(A),A F是定义在F上的非负集函数，且满足
（1）对任意A F，有0 P(A) 1;
(2) P() 1;
（3）对任意Ai F，i 1,2, ,Ai Aj ,i j
P（ Ai）
P(Ai
)
i 1
wenku.baidu.com
i 1
则称P是(, F）上的概率，(, F, P)称作概率空 间，P( A)称为事件A的概率。
P( An )
P( An )
n1
n1
—次可列可加性
函数与极限
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(6) 设 i j, Ai Aj , Ai
i 1
则对任意事件A, 有 P( A) P( A Ai )
i 1
（7）性质(2)的推广，Jordan公式
对任意A1, A2, , An 有
n
P( Ai ) P( Ai ) P( Ai Aj )
A (B C ) (A B ) C (3)分配律 A (B C ) (A B ) (A C )
A (B C ) (A B ) (A C )
(4)对偶原则 (De Morgan律)
A B A B A B A B
Ai Ai
i 1
i 1
Ai Ai
i 1
i1
函数与极限
13
定义1.3
设 R,由所有半无限区间(,a)生成的 - 代数 （即包含{(,a),a R}的最小 - 代数）,称为R上的
Borel - 代数,记作B(R)，其中的元素称为Borel集 合.类似可以定义Rn上的Borel - 代数,记作B(Rn ). 显然 B ((,a),a R).
例1.2 由F {,}， 则F是事件 - 代数。 称作平凡事件 - 代数.
例1.3 对任意事件A ,F {,A,A,} 是事件 - 代数。
函数与极限
11
思考题： 随机试验: 掷一枚骰子，观察出现的点数， 样本空间 {1,2,3,4,5,6}，下列事件是否构成
- 代数？ (1) 事件类F {,,{1,2,3},{3,4,5,6}}; (2) 事件类F {,,{1,2,}{3,4},{5,6}};
i 1
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) (1)n1P( A1A2 An )
1i jk n
函数与极限
18
事件列极限1：假设事件序列Ai ,
(1) 如果A1 A2 An ,
则 lim
n
An
An
n1
An A
(2) 如果A1 A2 An , An A
则
lim
n
An
出版社
函数与极限
3
参考书
1.《应用随机过程》
林元烈 编著 清华大学出版社
2.《随机过程》
王风雨 编著 北京师范大学出版社
函数与极限
4
前
言
函数与极限
5
函数与极限
6
第1章 预备知识
1.1 概率空间
在自然界和人类的活动中经常遇到各种各样的现 象，大体上分为两类：必然现象和随机现象 。
具有随机性的现象—随机现象
对随机现象的观察或为观察而进行的实验
（有3个特征）
—随机试验
随机试验的结果 —基本事件或样本点。记作
所有可能的结果称为样本空间。 记作
的子集A由基本事件组成 —A称为事件。
函数与极限
7
事件的性质 假设A,B,C是任意事件，则他们满足：
(1)交换律 A B B A
(2)结合律 A (B C ) (A B ) C
An
n1
结论： 单调事件(集合)序列必有极限.
函数与极限
19
(8) 概率的连续性：
定理：若{An,n 1}是单调递增(或递减)的事件序列
则
lim
n
P(
An
)
P( lim
n
An
)
具体情况：