4.2.1函数模型及其应用
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4.2.1函数模型及其应用
直 y k x b( k 0) 1.一次函数的解析式为__________________ , 其图像是一条____ 线，
当________时，一次函数在( , 上为增函数， ) 当_______时， 一次函数在(,)上为减函数。
2 y ax bx c(a 0) 其图像是一条 2.二次函数的解析式为_______________________,
2300
2200 2100 2000 0 1 2 3 4 5 t
总结解应用题的策略：
一般思路可表示如下：
因此，解决应用题的一般程序是： ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺 数量关系； ②建模：将文字语言转化为数学语言，利用 数学知识，建立相应的数学模型； ③解模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将用数学知识和方法得出的结论， 还原为实际问题的意义．
小结
本节内容主要是运用所学的函数知识去解 决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本 方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热 点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及 的函数模型有：一次函数、二次函数、分段 函数及较简单的指数函数和对数函数．其 中，最重要的是二次函数模型．
于是,1951~1959年期间,我国人口的年平均增长率为
r (r1 r2 r9 ) 9 0.0221
令y0 55196 ,则 我 国 在 1951~ 1959年 期 间 的 人 口 增长模型为 y 55196 e 0.0221 t , t N .
根据上表的数据作出散 点图, 并作出函数 y 55196 e
551 96
5630 0
5748 5879 602 2 6 66
6145 6
628 28
645 63
659 94
672 07
(1)如果以各年人中增长率的平均值作为我国这一时期 的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模 型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所 得模型与实际人口数据是否相符; (2)如果按表上表的增长趋势,大约在哪一年我国的 人口达到13亿?
y 70000
0.0221 t
( t N )的图象 (下图).
65000
60000 55000 50000 0 1 2 3 4 5 8
6
7
9
t
由上图可以看出,所得模型与 1950~1959年的实际人中数据基本吻合.
注意点：
1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用 题时，一是要注意自变量的取值范围，二是 要检验所得结果，必要时运用估算和近似计 算，以使结果符合实际问题的要求． 2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要 充分使用数学语言，如引入字母，列表，画 图等使实际问题数学符号化． 3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识 别，充分利用数学方法加以解决，并能积累 一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决 实际问题的重要资本．
如果用纵轴表示家到教室的距离，横轴表 示出发后的时间，则下列四个图象比较符 合此人走法的是（ ）
d d
0
d d
0
0
d d
(A)
0
t
0
t
0
(B)
t
0
t
d d
0
0
t
0
t
0
（C)
(D)t0t Nhomakorabea例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示： （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时 间t h的函数解析式，并作出相应的图象 v
90 80 70 60 50 40 30 20 10
1
2
3
4
5
t
(2)解: 50t 2004
80( t 1) 2054 S 90( t 2) 2134 75( t 3) 2224 65( t 4) 2299
s 2400
0 t 1 1 t 2 2t 3 3t 4 4t 5
解：(1)设1951~ 1959 年的人口 增长率分别为 r1 , r2 ,, r9 ,由 55196 (1 r1 ) 56300 , 可得1951 年的人口 增长率 r1 0.0200 . 同理可得 ，
r2 0.0210 , r3 0.0229 , r4 0.0250 , r5 0.0197 , r6 0.0223 , r7 0.0276 , r8 0.0222 , r9 0.0184 .
4ac b 2 抛物 线，当______ a 0 时，函数有最小值为___________ a0 ________ ，当______ 4a 4ac b 2 4a 时，函数有最大值为____________ 。
问题
某学生早上起床太晚，为避免迟 到，不得不跑步到教室，但由于 平时不注意锻炼身体，结果跑了 一段就累了，不得不走完余下的 路程。
y y0 e ,
rt
例2 人口增长模型: 其中t表示经过的时间, y0表示t=0时的人口数,r表示人口的年平均增长率.
下表是1950年~1959年我国的人口数据资料:
年份 195 0 1951 1952 1953 195 4 1955 195 6 195 7 195 8 195 9
人数/ 万人
直 y k x b( k 0) 1.一次函数的解析式为__________________ , 其图像是一条____ 线，
当________时，一次函数在( , 上为增函数， ) 当_______时， 一次函数在(,)上为减函数。
2 y ax bx c(a 0) 其图像是一条 2.二次函数的解析式为_______________________,
2300
2200 2100 2000 0 1 2 3 4 5 t
总结解应用题的策略：
一般思路可表示如下：
因此，解决应用题的一般程序是： ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺 数量关系； ②建模：将文字语言转化为数学语言，利用 数学知识，建立相应的数学模型； ③解模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将用数学知识和方法得出的结论， 还原为实际问题的意义．
小结
本节内容主要是运用所学的函数知识去解 决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本 方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热 点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及 的函数模型有：一次函数、二次函数、分段 函数及较简单的指数函数和对数函数．其 中，最重要的是二次函数模型．
于是,1951~1959年期间,我国人口的年平均增长率为
r (r1 r2 r9 ) 9 0.0221
令y0 55196 ,则 我 国 在 1951~ 1959年 期 间 的 人 口 增长模型为 y 55196 e 0.0221 t , t N .
根据上表的数据作出散 点图, 并作出函数 y 55196 e
551 96
5630 0
5748 5879 602 2 6 66
6145 6
628 28
645 63
659 94
672 07
(1)如果以各年人中增长率的平均值作为我国这一时期 的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模 型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所 得模型与实际人口数据是否相符; (2)如果按表上表的增长趋势,大约在哪一年我国的 人口达到13亿?
y 70000
0.0221 t
( t N )的图象 (下图).
65000
60000 55000 50000 0 1 2 3 4 5 8
6
7
9
t
由上图可以看出,所得模型与 1950~1959年的实际人中数据基本吻合.
注意点：
1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用 题时，一是要注意自变量的取值范围，二是 要检验所得结果，必要时运用估算和近似计 算，以使结果符合实际问题的要求． 2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要 充分使用数学语言，如引入字母，列表，画 图等使实际问题数学符号化． 3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识 别，充分利用数学方法加以解决，并能积累 一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决 实际问题的重要资本．
如果用纵轴表示家到教室的距离，横轴表 示出发后的时间，则下列四个图象比较符 合此人走法的是（ ）
d d
0
d d
0
0
d d
(A)
0
t
0
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0
(B)
t
0
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0
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t
0
t
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（C)
(D)t0t Nhomakorabea例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示： （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时 间t h的函数解析式，并作出相应的图象 v
90 80 70 60 50 40 30 20 10
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t
(2)解: 50t 2004
80( t 1) 2054 S 90( t 2) 2134 75( t 3) 2224 65( t 4) 2299
s 2400
0 t 1 1 t 2 2t 3 3t 4 4t 5
解：(1)设1951~ 1959 年的人口 增长率分别为 r1 , r2 ,, r9 ,由 55196 (1 r1 ) 56300 , 可得1951 年的人口 增长率 r1 0.0200 . 同理可得 ，
r2 0.0210 , r3 0.0229 , r4 0.0250 , r5 0.0197 , r6 0.0223 , r7 0.0276 , r8 0.0222 , r9 0.0184 .
4ac b 2 抛物 线，当______ a 0 时，函数有最小值为___________ a0 ________ ，当______ 4a 4ac b 2 4a 时，函数有最大值为____________ 。
问题
某学生早上起床太晚，为避免迟 到，不得不跑步到教室，但由于 平时不注意锻炼身体，结果跑了 一段就累了，不得不走完余下的 路程。
y y0 e ,
rt
例2 人口增长模型: 其中t表示经过的时间, y0表示t=0时的人口数,r表示人口的年平均增长率.
下表是1950年~1959年我国的人口数据资料:
年份 195 0 1951 1952 1953 195 4 1955 195 6 195 7 195 8 195 9
人数/ 万人