结构稳定理论构件的扭转

σ(1)
M3
σ(4)
M :::
Mn
σ(n)
σ(n+1)
M1 M 2 E M n
(1) (2) ( n 1)
M1
σ(2)
M
2
重庆大学土木工程学院
结构稳定理论
杆件扭转相关性质、扭转屈曲、弯扭屈曲
扭转 §6.3 开口薄壁构件截面的剪力流和剪心
1）剪力中心
扭转 §6.3 开口薄壁构件截面的剪力流和剪心
3）剪力中心的位置
t
Qy Ix

s
0
ytds
Qy S x Ix
Qy x0 0 tds
A
B
1 x0 Ix
σ(3)
σ(1)
M3
σ(4)
M :::
Mn
σ(n)
σ(n+1)
M1 M 2 E Mn
v1 v 2 vn
M
1
v
M
2
1
v
2
S
S
y1
M3
v
3
y1
v
:::
M :::
§6 受压构件的扭转屈曲和弯扭屈曲
除工字形截面以外的翘曲惯性矩的一般计算公式是：
I n2 tds n2 dA
0 A
s
式中n称为主扇性坐标： n S
dA
A S
A
平均扇性坐标
其中 S S ds 为以剪心S为极点，任意点P的扇性坐标。
0

s
同样可得任意截面翘曲正应力和剪应力的计算公式： B n E n I
M y0 E I y0 vz0 M z0 E I z0 vy0 Bω E I ω
z1
S
y1
M y0 I y0 M E 0 z0 B ω 0
0 I z0 0
M y0 E I y0 vz0 M z0 E I z0 vy0 Bω E I ω
z1
S
y1
M y0 I y0 M E 0 z0 B ω 0
0 I z0 0
5. 计算各点的主扇性面积 Aω0 6. 计算扇性惯性矩 Iω
Aω rds
0
s
I ωy Aω zdA ; I ωz Aω ydA
A A
yC yB
C
A
I ωy1 Iy
I ωz1 ; zC z B Iz
Sω AωdA Sω2 Aω0 Aω2 A 2 I ω Aω0 dA
M z M M k EI GI k
通解为：
M zz C1 C 2 cosh z C 3 sinh z 2 EI GI 式中，2 k ，积分常数 C1、C2、C3由具体问题的边界 EI 条件确定。
§6 受压构件的扭转屈曲和弯扭屈曲
σ(4)
σ(n)
σ(n+1)
M1
M
2
M3
M :::
Mn
M1 M 2 Mn

(1) (2) ( n 1)
M1
σ(2)
M
2
σ(3)
0 0
o x y o

Mz z
V
1
M1
M1
h u 2
V
约束扭转 1
§6 受压构件的扭转屈曲和弯扭屈曲
不同支承条件下的边界条件 （3）“自由端”（可自由转动和翘曲）
M z M z 0 （无扭矩作用时M z 0） B 0
o x y o

Mz z
z1
z1
Mn
v
n
M y1 M z1 B ω
M1 M 2 E Mn
v1 v 2 vn
vz1 v y1
D13 vz1 D23 vy1 D33
S
y1 z1
方法总结： 采用对比法，同样可计算出主扇性坐标、扇性静矩等； 可以推广应用于闭口截面。
S
y1 z1
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
z
0.3
0.4
0.3
0.4
2.5
-7.3542
0.4 5
0.4 5
0.4 5
2.5 y
2.4448
7.3542
3.0482
200
-3.0482
y O
200 200
t1 =20
-8.7897
-3.3775
3.3775
8.7897
S
z0 t3 =20 200
z
85.71
3
-2.4448
t 2 =10
钢结构基本原理 （3）承受承受扭矩与剪力作用
7 钢结构的连接
M y0 E I y0 vz0 M z0 E I z0 vy0
z0
主轴（ y0 或 z0）方向
O
绕主轴的惯性矩Iy0、Iz0
z0 y0
M y0 E I y0 vz0 M z0 E I z0 vy0
剪力中心（C）位置
C
O
扇性惯性矩 Iω
y0
z0
M ω E I ω
或者是： Bω E I ω
1. 辅助极点 B 、辅助扇性零点 M1
2. 计算截面各点的扇性面积 Aω1， 扇性惯性积 Iωy1、Iωz1
3. 计算主极点 C 位置坐标 yC 、zC
C
4. 再算各点的扇性面积 Aω2 、计算 扇性静面积矩 S ω2
0 vz0 0 vy0 I ω
D11 D12 M y1 M E D22 z1 对 称 Bω
D13 vz1 D23 vy1 D33
V
1
M1
M1
h u 2
V
约束扭转 1
§6 受压构件的扭转屈曲和弯扭屈曲
构件承受约束扭转时截面的抗扭性能与应力分布主要与翘 曲刚度EIω和自由抗扭刚度GIk的相对大小有关。
内容提要 两种基本计算思路及其对比
一种计算截面几何特性的新方法
F
主轴（ y0 或 z0）方向
y0
O
绕主轴的惯性矩Iy0、Iz0
不同支承条件下的边界条件 （1）“简支端”或“夹支端”（截面不能转动，但可自由翘 曲） 0 B 0 （即 0 或 0）
υ
h u 2
§6 受压构件的扭转屈曲和弯扭屈曲
不同支承条件下的边界条件 （2）“固定端” （截面不能转动，也不能自由翘曲）
S ds
A x 0
B
§6 受压构件的扭转屈曲和弯扭屈曲
开口薄壁构件自由扭转时，剪应力分布沿壁厚线性变化， 在中线处为零，边缘处的最大剪应力为： M kt k Ik 因此有： k Gt 最大剪应力 k与构件扭转角的变化率 '呈正比例关系
§6 受压构件的扭转屈曲和弯扭屈曲 §6.4 开口薄壁构件的扭转
ES M S t I t
S n tds n dA：扇性静矩。
0 A
s
ωn
Sω
§6 受压构件的扭转屈曲和弯扭屈曲 §6.5 开口薄壁构件的约束扭转微分方程
构件发生约束扭转时，单位扭转角 和截面的翘曲变形均 沿纵轴变化，各截面的内扭矩Mz由两部分构成，即：
1）开口薄壁构件的扭转形式
自由扭转 纵向纤维自由伸缩，产生翘曲变形。 约束扭转 纵向纤维不能自由伸缩，翘曲变形受到限制。
§6 受压构件的扭转屈曲和弯扭屈曲
（1）约束扭转力矩（翘曲扭矩）
M z M M k EI GI k
h u 2
υ
h 翼缘上的弯矩 M f EI1u EI1 2 h 翼缘上的剪力: V f EI1u EI1 2 2 h 剪力所合成的扭矩: M V f h EI1 2
y0
C
S
z0
z1
y1
M y0 I y0 M E 0 z0 B ω 0
0 I z0 0
0 vz0 0 vy0 I ω
D11 D12 M y1 M E D22 z1 对 称 Bω
D13 vz1 D23 vy1 D33
D13 0 令：
D23 0
则弯曲方程和扭转方程相互独立， 由此确定的S点是…..， 此时D33是……；
令：D12=0
S
y1
则两个弯曲方程相互独立， 由此确定的y1、z1方向是……， 此时D11、D12是……。 z1
M
1
v
M
2
1源自文库
v
2
S
S
y1
M3
v
3
y1
v
:::
M :::
z1
z1
Mn
v
n
D11 D12 M y1 M E D22 z1 对 称 Bω
D13 vz1 D23 vy1 D33
外扭矩作用下的约束扭转，在构件截面中将产生三种 应力
约束扭转截面的应力分布 由翘曲的约束产生的翘曲正应力 由纯扭矩产生的剪应力 t 由翘曲扭矩产生的翘曲剪应力
§6 受压构件的扭转屈曲和弯扭屈曲
（2）翘曲正应力和翘曲剪应力
翼缘上因翘曲而产生的翘曲正 应力和翘曲剪应力为： Mfx Vf S I1 I1t 以上公式虽来源于工字形截面， 但可用于其余任意截面。 σω τω
M
1
v
M
2
1
v
2
S
S
y1
M3
v
3
y1
v
:::
M :::
z1
z1
Mn
v
n
D11 D12 M y1 M E D22 z1 对 B 称 ω
D13 vz1 D23 vy1 D33
A
有限条法（FSM） 广义梁理论（GBT） 把杆件视为由板件组合成的结构
经典理论
较新方法
在相同分析假定条件下，新老计算理论的结论应一致
M y0 Evz0 M z0 Evy0 Bω E

σ(2) σ(1)
σ(3)
• 被连接件绝对刚性，有绕焊缝形心O转动的趋势， T作用下：
而角焊缝为弹性；
• 角焊缝群上任一点的应力方向垂直于该点与形心 的连线，且应力大小与r成正比。→设计控制点
设若被连接件刚度相对很高， 焊缝群受扭时， 为什么不假设焊缝的变形是绕焊缝群截 面的弯曲中心（扭转中心）的转动？
方法总结： 1 任选点 S 和方向 y1，建立一个 3 阶矩阵 D（对称阵）； 2 根据3个非对角元素为 0 的条件，确定 扭心 和 主轴； 3 此时的3个对角元素就是主轴惯性矩 Iy0 、 Iz0 和主扇 性惯性矩 Iω
D11 D12 M y1 M E D22 对 z1 B 称 ω
0 vz0 0 vy0 I ω
D11 D12 M y1 M E D22 z1 对 称 Bω
D13 vz1 D23 vy1 D33