静电平衡

唯一性定理的应用
电像法 在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷q求空间 在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷 求空间 的电场分布和导体表面上的电荷分布 基本思想：利用唯一性定理，边界条件确定了， 基本思想：利用唯一性定理，边界条件确定了，解 是唯一的， 是唯一的，可以寻找合理的试探解
像电荷
唯一性定理的应用
ρ ε0
拉氏方程
∇ 2U＝0
边值问题
定理表述
边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定下来 即给定边界条件后，不可能存在不同的静电场分布 即给定边界条件后，
该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题的正确解释至关 重要理论证明在电动力学中给出， 重要理论证明在电动力学中给出，p59 给出物理上的论证
静电场唯一性定理
R1
l >> R1
导线
R2
Q2
R2
Q1
用导线连接两导体球， 用导线连接两导体球，
则必有： 则必有：
uR1 = uR2
即：
σ 1 4π R1 2 σ 2 4π R 2 2 σ = ∴ 4πε 0 R1 σ 4πε 0 R 2
4πε 0 R1
1 2
Q1
=
4πε 0 R 2
避雷针即利用 尖端放电原理。 尖端放电原理。
例题: 一金属平板，面积为S带电 带电Q， 例题 一金属平板，面积为 带电 ，在其旁放置第二 块同面积的不带电金属板。 静电平衡时， 块同面积的不带电金属板。求 (1)静电平衡时，电荷分 静电平衡时 布及电场分布。 若第二块板接地 忽略边缘效应。 若第二块板接地？ 布及电场分布。 (2)若第二块板接地？忽略边缘效应。 解： (1)设四个面上电荷面度为 σ1 σ2 σ3 σ4 设四个面上电荷面度为 σ1 σ2 σ3 σ4 则有：σ1 + σ2 = Q σ3 + σ4 = 0 则有： S Q 如图取高斯柱面可得： 如图取高斯柱面可得： ∫ E ⋅ dS = 0 ∑ qi = 0 即：σ2 + σ3 = 0 导体内任意一点P， 导体内任意一点 ，其电场 E=0 .P σ1 σ 2 σ 3 σ 4 即： + + − = 0 联立求解 2ε o 2ε o 2ε o 2ε o Q Q σ1 = σ2 = Q 可得： σ3 = − 可得： σ4 = 2S 2S 2S
即：∫
q′
q′
R
o
R
q
dq′ q ∫ 4 πε R = − 4 πε 2 R o o o
d q′ q + =0 4πε o 2R 0 4πε oR
q′ q q =− R 2 R ∴ q′ = − 2
思考：如果不是导体球，而是其他形状的导体呢? 思考：如果不是导体球，而是其他形状的导体呢
导体上的电荷分布
导体上的电荷分布 实心导体
净电荷分布在导体表面，导体内处处无净电荷。 净电荷分布在导体表面，导体内处处无净电荷。 证： 导体内任取高斯面
S
+ + + + +
+ + +
S
+
S
∫ E • ds = ε ∑ q i
0
1
+ + +
∵E = 0
∴ ∑ qi = 0
+
+ +
+
导体上的电荷分布
空腔导体
腔内无带电体时： 腔内无带电体时： 净电荷分布在导体外表面。 净电荷分布在导体外表面。 导体内表面处处无净电荷。 导体内表面处处无净电荷。
∴ ∑ qi = 0
i
∑ q i = q + q内 = 0
i
即：q内 = −q
得证
由电荷守恒： 由电荷守恒：
q外 = Q + q
导体上的电荷分布
讨论 Q+q −q S +q Q 1º 腔内 所处位置不同，对内外表 腔内+q所处位置不同 所处位置不同， 面电荷分布及电场分布的影响。 面电荷分布及电场分布的影响。
Q Q' r ' Q' + = 0 ⇒ = ⇒ r ' Q = − rQ' r r' r Q
R 2 + b 2 − 2 Rb cos θ Q = − R 2 + a 2 − 2 Ra cos θ Q'
证明：已经证明导体实体部分处处无净电荷。 证明：已经证明导体实体部分处处无净电荷。现只需证 明导体空腔的内表面上处处无净电荷。 明导体空腔的内表面上处处无净电荷。 + 在体内取一高斯面S ，由高斯定理： 在体内取一高斯面 由高斯定理： + + 1 + E • ds = ∑ qi ∫ ε0 +
+ + +
σ1 + σ2 = Q S 同理可得： 同理可得： σ + σ = 0 2 3
σ1 + σ2 + σ3 = 0
σ1 = 0
σ2 = Q S
σ3 = − Q S
EA = EC = 0 EB = Q εoS
静电场唯一性定理
问题提出
给定导体系中各导体的电量或电势以 及各导体的形状、相对位置（ 及各导体的形状、相对位置（统称边 界条件），求空间电场分布，即在一 ），求空间电场分布 界条件），求空间电场分布，即在一 定边界条件下求解 定边界条件下求解 泊松方程 ∇ 2U = −
Q2
R2 = R1
导体上的电荷分布
导体上的电荷分布
静电屏蔽 以静电平衡为前提 空腔内有带电体的导体壳 设导体带电荷Q，空腔内有一带电体+q， 设导体带电荷 ，空腔内有一带电体 ， 则导体壳内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为0。 则导体壳内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为 。
Q+q
−q S
+q
证明： 在导体壳内作一高斯面 证明： 在导体壳内作一高斯面S 由高斯定理： 由高斯定理： ∫ E ⋅ dS = 0
Q +q q −
q外 = 0 导体壳外：E外=0 导体壳外：
屏蔽内场
思考：空腔内如果没电荷呢? 思考：空腔内如果没电荷呢
导体上的电荷分布
例题:半径为 的金属球与地相连接 例题 半径为R的金属球与地相连接，在与球心相距 半径为 的金属球与地相连接， d=2R处有一点电荷 处有一点电荷q(>0)，问球上的感应电荷 q'=? 处有一点电荷 ， 解： 利用金属球是等位体 q' ？q = 球体上处处电位: 球体上处处电位 U= 0 球心处： 球心处： Uo= 0
导体上的电荷分布
σ1 σ2 σ3 σ4
Q
A
B
C
.P
E
联立求解： 联立求解：
σ1 = σ2 = Q σ3 = − Q σ4 = Q 2S 2S 2S 按电场叠加原理可求得： 按电场叠加原理可求得： Q Q Q EA = − EB = EC = 2εoS 2εoS 2εoS (2)第二板接地 第二板接地 则 σ4与大地构成一导体 σ4 = 0
导体上的电荷分布
导体表面附近场强
σ 其中： 其中： 是导体表面的电荷 面密度
σ E = ε0
σ
Байду номын сангаас
E
∆S
表面附近作圆柱形高斯面， 证: 表面附近作圆柱形高斯面， === 一半在内，一半在外。 一半在内，一半在外。
σ∆s ∫ E • ds = E ⋅ ∆s ⋅ cos 0 = ε 0
0
σ ∴E = ε0
静电场唯一性定理
定理证明
给定每个导体电势的情形
U I = U II ⇒ E I = E II
给定每个导体上总电量的情形: 给定每个导体上总电量的情形 ∂U Qk = ∫∫σedS = ε0 ∫∫EndS = −ε0 ∫∫ dS 第k个导体上的电量 个导体上的电量
∂U − ε 0 ∫∫ dS = 0 ⇒ U = U I − U II = C ⇒ E I = E II ∂n Sk
不变。 σ 内 改变 ,E内 改变 , q内 = − q 不变。
q 不变。 E σ 外不变， 外不变，外 = Q + q 不变。 不变， 不变，
+q
+q
2º 若将腔内带电体与导体壳连接， 若将腔内带电体与导体壳连接， 会出现什么情况？ 会出现什么情况？ 屏蔽外场 腔内无电荷分布： 腔内无电荷分布：E内=0 3º 若将导体壳接地，又会出现什么情况？ 若将导体壳接地，又会出现什么情况？
静电平衡和静电场问题
导体静电平衡条件 导体上的电荷分布 静电场唯一性定理 唯一性定理的应用
大竹县石河中学： 大竹县石河中学：胡禹 QQ：44610501 ：
导体静电平衡条件
导体静电平衡条件
导体静电平衡条件
E ′ E0
E ′ E0 E=0
E0
（ 1） 导体的 （2）导体中的 （3）导体中的 ） ） ） 刚放入电场 电子作定向运动 电子无定向运动 静电平衡： 静电平衡：导体上任何部分都没有电荷 定向运动的现象． 定向运动的现象．
导体静电平衡条件
导体静电平衡条件
导体静电平衡条件： 导体静电平衡条件： 1）导体内部任何一点的场强等于 0 。 2）导体表面任何一点的场强都垂直表面 。 反证法： 反证法： 设导体内部某点 E≠0， 则该处有 F = − eE 此力将驱动电子运动 导体未达静电平衡。 ∴ 导体未达静电平衡。 同理可证 2） 例如： 例如：在均匀场放入一导体的情况
静电场唯一性定理
叠加原理 在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予两 在给定各带电导体的几何形状、相对位置后， 组边界条件： 组边界条件： 或总电量Q 1：给定每个导体的电势 Ⅰk（或总电量 Ⅰk） ：给定每个导体的电势U 或总电量Q 2：给定每个导体的电势 Ⅱk（或总电量 Ⅱk) ：给定每个导体的电势U 满足上述两条件， 设UⅠ、 UⅡ满足上述两条件，则它们的线性组合 U=a UⅠ+b UⅡ必满足条件 必满足条件3: 3:给定每个导体的电势 k=a UⅠk+b UⅡ k 给定每个导体的电势U 给定每个导体的电势 或总电量Q （或总电量 k= QⅠk a k+b QⅡ k） 特例 ： 取UⅠk＝ UⅡ k，则U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)满 满 足 4：给定每个导体的电势为 ：给定每个导体的电势为0
例题:真空中有一半径为 的接地导体球 例题 真空中有一半径为R的接地导体球，距球心为 真空中有一半径为 的接地导体球， a(a>R)处有一点电荷 求空间各点电势 处有一点电荷Q,求空间各点电势 处有一点电荷
第一步:寻找像电荷 解: 第一步 寻找像电荷 对称性分析， 对称性分析，确定像电荷位 使球面上电势＝ 使球面上电势＝0 任取 P点，利用叠加原理求出像 点 电荷位置
导体上的电荷分布
导体表面的电荷分布
导体表面的的电荷面密度与导体表面的曲率半径有关： 导体表面的的电荷面密度与导体表面的曲率半径有关：曲率 半径大处电荷密度低； 表面上愈尖锐处电荷密度越大。 半径大处电荷密度低；即：表面上愈尖锐处电荷密度越大。 所以才有尖端放电现象。 所以才有尖端放电现象。 定性的证明： 定性的证明：
E E′
E内 = 0
导体静电平衡条件
静电平衡条件小结: 静电平衡条件小结: 电场表述 （1）导体内部场强处处为零； 导体内部场强处处为零； （2）导体表面附近的场强方向处处与它的 表面垂直． 表面垂直． 电势表述 导体是等势体； （1）导体是等势体； 导体表面是等势面． （2）导体表面是等势面． 问题:电势表述如何证明？ 问题:电势表述如何证明？
定理证明 引理一 在无电荷的空间里电势不 可能有极大值和极小值
极大 极小
思考：阅读教材，简述证明过程。 思考：阅读教材，简述证明过程。 引理二 若所有导体的电势为0,则导体外空间的电势处处为 若所有导体的电势为 则导体外空间的电势处处为0 则导体外空间的电势处处为 思考：阅读教材，简述证明过程。 思考：阅读教材，简述证明过程。 引理三 若所有导体都不带电,则各导体的电势都相等 若所有导体都不带电 则各导体的电势都相等 思考：阅读教材，简述证明过程。 思考：阅读教材，简述证明过程。
Sk Sk Sk
∂n
唯一性定理的应用
静电屏蔽的解释 唯一性定理表明： 唯一性定理表明： 一旦找到某种电荷分布，既不违背导体平衡特性,又 一旦找到某种电荷分布，既不违背导体平衡特性 又 是物理实在,则这种电荷分布就是唯一可能的分布 则这种电荷分布就是唯一可能的分布。 是物理实在 则这种电荷分布就是唯一可能的分布。
∵E = 0
∴ ∑ qi = o
可知：内表面电荷代数和为零。 可知：内表面电荷代数和为零。
+
S
+ 若内表面上有正负两种电荷， 若内表面上有正负两种电荷， + 则：必有电力线由正电荷指向 负电荷，与导体的静电平衡条件相矛盾。 负电荷，与导体的静电平衡条件相矛盾。+
+ + +
+
导体上的电荷分布
腔内有带电体： 腔内有带电体： 腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量等量 异号，腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定。 异号，腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定。 + + + + q + q + q + +1 2 + 2 + q + + + 1 + + + + + q 1 + + + + + + + + + + + + 思考：如何证明这个结论？ 思考：如何证明这个结论？