高数 隐函数的微分法 知识点与例题精讲

y z2
)
z F1 x F1 y F2
z y


F1

(
F2

1 z
x z2
)

F2

(
y z2
)
z F2 x F1 y F2
故
dz

z dx x

z dy y
z x F1
y F2 (F1dxzx
F2FFdxzy)
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a13 x3 a23 x3

b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0,
a31 a32 a33
aa2111xx11Fra bibliotek a12 x2 a22 x2

a13 x3 a23 x3
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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则 两边对 x 求导
在 d y Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
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若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,则还有
二阶导数 :
d2 y dx2

( Fx ) ( Fx ) d y x Fy y Fy dx
1 1 1
1 2 1 11 1 2 2 1 1 31
5 0,
二、方程组的情形
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.

a13 x3 a23 x3

b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11

a12 x2 a22 x2

a13 x3 a23 x3

b1 , b2 ,
aa2111xx11

a12 x2 a22 x2

a13 x3 a23 x3

b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11

a12 x2 a22 x2

( cos y x )2
3
x0 y0 y 1
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y e x x y 1 0, y y( x) 两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x0
ex y cos y x (0,0)
则二元线性方程组的解为
b1
x1

D1 D

b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
x2

D2 D

a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
注意 分母都为原方程组的系数行列式且 不等于0.
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2

12, 1.
解
3 2
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
z Fx , z Fy x Fz y Fz 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
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则
F(x, y, f (x, y) ) 0
两边对 x 求偏导
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2 y dx2
3 x0
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定理2 . 若函数F ( x, y, z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F ( x0 , y0, z0 ) 0 ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
两边对 x 求偏导
2z x2

( x x 2
) z

(2
z)2 (2 z)3
x2
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例3. 设F( x , y)具有连续偏导数,已知方程
解法1 利用偏导数公式.
确定的隐函数, 则
z x


F1
F1

1 z
(
x z2
)

F2

(
即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11 副对角线 a12
a12
a11a22 a12a21
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1

a12 x2 a22 x2
b1, b2 .
若记
D a11 a12 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11

a12 x2 a22 x2

a13 x3 a23 x3

b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;

b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
若记 或
b1 b2 b1
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
aa2111xx11
再对 x 求导
2

2z 4x2

0
1 ( z )2 x
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解法2 利用公式
设
F ( x, y, z) x2 y2 z2 4z
则 Fx 2x , Fz 2z 4
z Fx x x x Fz z 2 2 z
Fx Fz
z x
0
z Fx x Fz 同样可得 z Fy
y Fz
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例2. 设 解法1
x2 y2 z2 4z 利用隐函数求导

0
,
求
2z x2
.
2x 2z z 4 z 0 x x
z x x 2 z

b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
aa1211xx11

a12 x2 a22 x2

b1 , b2 .
D1

b1 b2
a12 , a22
aa1211xx11

a12 x2 a22 x2

b1 , b2 .
D2

a11 a21
b1 . b2
a31 a32 b3
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
a11 b1 a13 D2 a21 b2 a23 ,
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1

b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21

a12 x2 a22 x2

a13 x3 a23 x3

b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
b1 a12 a13
记
D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
b1 a12 a13
即
D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
Fx Fy
xy
x


FxxFy Fy Fy2
x Fx

Fx
yFy Fy Fy2
y Fx
(
Fx Fy
)


Fx x Fy 2

2Fx yFxFy Fy3

Fy
y Fx 2
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例1. 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
dy
d2 y
dx
且
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dy dx
Fx x 0 Fy
x


0

ex y cos y x
d2 y dx2 x 0
d ( ex y ) dx cos y x
x 0, y 0
( e x y)(cos y x) (e x y)( sin y y 1)
行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1

a12 x2 a22 x2

b1 , b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
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一、一个方程的情形
定理1. 设函数
在点
① 具有连续的偏导数;
的某一邻域内满足
则方程
② F ( x0 , y0 ) 0; ③ Fy ( x0 , y0 ) 0
的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
并有连续
导数
d y Fx (隐函数求导公式) dx Fy
D
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2
3
1 14, D2 2
12 21, 1

x1

D1 D

14 7

2,
x2

D2 D
21 3. 7
利用三阶行列式求解三元线性方程组 如果三元线性方程组
aa2111
x1 x1

a12 x2 a22 x2
, x0
dx2
x0
解: 令F ( x, y) sin y e x x y 1, 则
① Fx e x y, Fy cos y x 连续 , ② F (0,0) 0,
③ Fy (0,0) 1 0
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
导的隐函数
隐函数的微分法
一、一个方程的情形 二、方程组的情形
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本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3

b1 , b2 ,

D3

a11 a21
a12 a22
b1 b2 .
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
x2

a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
定义1 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
行列式，并记作 a11 a12
(5)
a21 a22
系数行列式
a21 a22
aa1211
x1 x1

a12 x2 a22 x2

b1 , b2 .
D a11 a12 a21 a22
aa1211xx11

a12 x2 a22 x2

b1 , b2 .
D1

b1 b2
a12 , a22
aa1211xx11

a12 x2 a22 x2
a31 b3 a33
则三元线性方程组的解为:
x1

D1 D
,
x2

D2 D
,
x3

D3 D
.
例4 解线性方程组
2xx112xx22
x3 3x3
2, 1,
x1 x2 x3 0.
解 由于方程组的系数行列式
1 2 1
D 2 1 3 11 1 2 3 1
解法2 微分法. 对方程两边求微分:
F1

d(
x) z

F2

d(
y) z

0
F1(
zd
x
z2
xdz)
F2

( zd
y z2
ydz)

0
xF1 yF2 z2
dz

F1d x
F2d y z
dz

z x F1
y F2 (F1dx

F2d y)
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