9.4 函数展开为泰勒级数
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∞
x ∈ ( −1,1].
(端点收敛性的讨论不作要求.)
用间接展开法求函数的幂级数展开式 间接展开法求函数的幂级数展开式. 以上介绍的直接展开法, 可得出一些基本初等函数 的展开式. 但是, 直接展开法的计算量比较大, 对于 一般的函数不常采用此法. 下列函数的麦克劳林展开式在间接展开法中作为常用公式： 下列函数的麦克劳林展开式在间接展开法中作为常用公式：
在 (3) 式中, 若令 x0 = 0 , 则所得的展开式
∞ f ′′(0) 2 f ( n ) (0) n f ( n ) (0) n f ( x ) = f (0) + f ′(0) x + x +⋯ + x +⋯ = ∑ x n! n! 2! n=0
定理 (初等函数展开定理) 设 f ( x) 为初等函数, 它的泰勒级数 ∑
介绍两个常用的名称: ① 称 (2)式中的幂级数为 f ( x)在 x = x0处的泰勒级数 处的泰勒级数 (Taylor Series). 以上推导说明: 若一个函数可表示为 幂级数, 则此幂级数必为该函数的泰勒级数. ② 若 f ( x) 可以表示为它的泰勒级数 (即 f ( x) 是它的泰 勒级数的和函数): f ′′( x0 ) f ′′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 + ( x − x0 )3 + ⋯ 2! 3! f (n) ( x0 ) ( x − x0 )n + ⋯, + n! ∞ f (n) ( x0 ) ( x − x0 )n , (3) 即 f ( x) = ∑ n! n =0 f ( x ) x = x 则称 在 0 处可展开为泰勒级数. 而 (3) 式就称为 f ( x) 的泰勒展开式(Taylor Expansion). 注意分清 注意分清 f ( x) 的泰勒级数与 f ( x) 的泰勒展开式的区别.
f ′ (0) Байду номын сангаас α ,
= lim
n →∞
α (α − 1)⋯ (α − n + 1) n!
α (α − 1)⋯ (α − n ) ( n + 1)!
= lim
n →∞
⋯⋯⋯ α 所以 (1 + x ) 麦克劳林数为 α (α − 1) 2 α (α − 1)⋯ (α − n + 1) n 1+ α x + x +⋯ + x +⋯, 2! n!
用直接法将初等函数 直接法将初等函数 f ( x ) 展开为麦克劳林级数的步骤： 展开为麦克劳林级数的步骤：
( n) ⑴ 求出 f ( x ) 在 x = 0 处的各阶导数值 f ( 0 ) ；
⑵ 作出麦克劳林级数
∑
∞
n=0
f (n) ( 0) n x ； n!
⑶ 求出级数的收敛半径 R ，确定收敛区间 ( − R, R )； ⑷ 写出 f ( x ) 的麦克劳林展开式, 并写上成立的区间:
问题 1 的讨论: 设 f ( x) 在点 x 0 的某个邻域内可以表示为一个 ( x − x0 ) 的 幂级数, 即有:
f (x) = a0 + a1(x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 +⋯+ an (x − x0 )n +⋯, (1)
那么根据幂级数在收敛区间内可逐项求导的性质, 可得:
f ( x) = ∑
n=0
∞
f (n) ( x0 ) ( x − x0 )n , x − x0 < R, n!
(4)
在端点 x = x0 ± R 处, 如果 f ( x) 有定义且 (4) 式右端的 级数收敛, 则 (4) 式在该端点处也成立. (证明略)
问题 3 的讨论. 我们通过例子来说明: 如何求给定函数的泰勒展开式, 我们以麦克劳林展开式为主来讨论. 有两种不同的方法: 直接展开法和间接展开法. 下面分别举例说明. 注: “将函数展开成它的泰勒 (Taylor) 级数” 级数” 也常说 成是“ 成是“将函数展开成 ( x − x0 ) 的幂级数” 的幂级数” 而“将函数展开成它的麦克劳林 (Maclaurin) 级数” 级数” 也常说成是“ 也常说成是“将函数展开成 x 的幂级数” 的幂级数”.
x2 + ⋯ +
( 2n + 1)!
( −1)
n
( n − 1)!
x n−1 + x n
x 2 n +1 , x ∈ ( −∞, +∞ )
1 2 2 = 1 + Cn x + Cn x + ⋯ + +Cnn−1 x n −1 + x n .
这就是中学代数里的二项式定理.
再设 α 为非零常数， 为非零常数，且α 不是自然数， 不是自然数，则有
x
∞
故 sin x 的麦克劳林级数为
x−
( −1) x 2 n+1 + ⋯, 1 3 1 5 x + x +⋯ + 3! 5! 2 ( n + 1)!
n
例3 将二项式 f ( x ) = (1 + x ) 展开成 x 的幂级数.
α
解 当 α 为正整数 n 时， f ( 0 ) = 1,
求得该级数的收敛半径为 R = +∞, 于是,
1
在以上各式中取 x = x0 , 得
a0 = f ( x0 ), a1 = f ′( x0 ), a2 = an = f ( n ) ( x0 ) ,⋯ n! f ′′( x0 ) f ′′′( x0 ) , a3 = , ⋯, 2! 3!
也就是说: 如果 f ( x)能表示为 ( x − x0 ) 的幂级数, 则此 幂级数的形式是唯一确定的, 它必为:
n =0 ∞
f ( n ) ( x0 ) ( x − x0 ) n n!
的收敛
称为 f ( x)的麦克劳林展开式(Maclaurin Expansion) 问题 2 的讨论: 函数 f ( x) 具备什么样的条件, 它可展开为泰勒级数呢? 以下的定理给出了函数可展开为泰勒级数的一个充分条件.
半径为 R , 则在区间 x − x0 < R 内, 下列展开式成立:
= lim
n →∞
( n + 1)α (α − 1)⋯ (α − n + 1) α (α − 1)⋯ (α − n )
n +1 = 1, α −n
3
由此得到如下的二项展开式
α=
α (α − 1) 2 α (α − 1) ⋯ (α − n + 1) n x +⋯+ x + ⋯, (1 + x ) = 1 + α x + 2! n!
(1 + x ) −1 = 1 = 1 − x + x 2 − x 3 + ⋯ + ( −1) n x n + ⋯ , 1+ x x ∈ ( −1,1).
1 1 1× 3 2 1× 3 × 5 3 x + x −⋯ = 1− x + 2 2×4 2×4×6 1+ x
= 1+ ∑
( −1) n (2n − 1)!! n x (2n )!! n =1
f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + f ′′( x0 ) f ′′′( x0 ) ( x − x0 )2 + ( x − x0 )3 + ⋯ 2! 3! ∞ f ( n ) ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) + ( x − x0 )n + ⋯ (= ∑ ( x − x0 )n ) , (2) n! n! n =0
∴ f ( 0 ) = 1,
f ( n) ( x ) = α (α − 1)⋯ (α − n + 1)(1 + x )
α −n
此级数的收敛半径
R = lim
n →∞
an an +1
f ′′ ( 0 ) = α (α − 1) , ⋯⋯⋯ f ( n ) ( 0 ) = α (α − 1)⋯ (α − n + 1)
f ( k ) ( x ) = n ( n − 1)⋯ ( n − k + 1)(1 + x )
n−k
, ( k = 1, 2,⋯ , n ) ,
f ( x ) = sin x 的麦克劳林展开式为
f
(k)
( 0 ) = n ( n − 1)⋯ ( n − k + 1) , ( k = 1, 2,⋯ , n ) ,
α
1 1 2 1× 3 3 1+ x = 1+ x − x + x −⋯ 2 2×4 2×4×6
∞ 1 ( −1) n −1 (2n − 1)!! n = 1+ x + ∑ x . 2 (2n )!! n=2 1 α =− 2
1 2
x ∈ ( −1,1)
几个特例:
x ∈ [ −1,1]
α = −1, 则得:
f ( x) = ∑
∞
n=0
f ( n) ( 0 ) n x n!
x ∈ ( − R, R ) .
⑸最后判别收敛区间端点处的收敛性.
2
例1 将 f ( x ) = e x 展开成 x 幂级数. 解 因 f 级数为
( n)
∞
例2 将f ( x ) = sin x 展开成 x 幂级数.
( x) = e
n ( n − 1) 2! n ( n − 1)⋯ 2
sin x = x −
=∑
n =0 ∞
( −1) x 2 n+1 + ⋯ , 1 3 1 5 x + x +⋯ + 3! 5! ( 2n + 1)!
n
k 而当 k > n 时，有 f ( ) ( x ) = 0. 故
(1 + x )
n
= 1 + nx +
1
x
,故f
(n)
( 0 ) = 1, 所以
1
e 的麦克劳林
x
解
n =0
∑ n ! x n = 1 + x + 2! x 2 + ⋯ + n ! x n + ⋯
1
此级数的收敛半径为 R = +∞, 于是由上述的初等函数展开定理, 即得 函数 f ( x ) = e 的麦克劳林展开式为
x
π f ′ ( x ) = cos x = sin x + , 2 2π π f ′′ ( x ) = cos x + = sin x + , 2 2 ⋯⋯ nπ ( n) f ( x ) = sin x + , n = 0,1, 2,⋯ 2
f ′( x) = a1 + 2a2 ( x − x0 ) + 3a3 ( x − x0 ) 2 + 4a4 ( x − x0 )3 + ⋯ , f ′′( x) = 2a2 + 2 ⋅ 3a3 ( x − x0 ) + 3 ⋅ 4a4 ( x − x0 ) 2 + ⋯ , f ′′′( x) = 2 ⋅ 3a3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4a4 ( x − x0 ) + ⋯ , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ f ( n ) ( x) = 2 ⋅ 3 ⋅⋯ ⋅ nan + 2 ⋅ 3 ⋅⋯ ⋅ (n + 1)an +1 ( x − x0 ) + ⋯ ,
1 , x ∈ (-1,1) 1− x
将函数表示为幂级数的优越性: 计算幂级数的部分和只需进行加法和乘法两种运算, 这是计算机最擅长的. 对于复杂函数的函数值的计算, 这种表示法十分有利.
几个问题: (1) 对给定的函数 f ( x) , 如果它能够表示为一个幂级 数, 这个幂级数的应具有什么样的形式? (2) 在什么条件下函数可以表示为一个幂级数? (3) 怎样求出给定函数的幂级数表示式? 下面我们就来讨论这些问题.
1 = 1 + x + x2 + x3 + ⋯ + xn + ⋯ , x ∈ (-1,1) 1− x
这个逆向思维给我们带来了一个“ 这个逆向思维给我们带来了一个“新天地” 新天地” : 给定一个函数 f ( x), 能否将它表示为一个幂级数?
我们已求得, 当 x < 1 时它的和函数为: 即有
1 + x + x 2 + x3 + ⋯ + x n + ⋯ =
0, f ( n) ( 0 ) = m ( −1) , n = 2m, n = 2m + 1, m = 0,1, 2,⋯ m = 0,1, 2,⋯
1 1 1 e = ∑ x n = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + ⋯, x ∈ ( −∞, ∞) 2! n! n =0 n !
∞ 1 = ∑ x n = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + ⋯. x ∈ ( −1,1) 1 − x n=0
第九章 无穷级数
第四节 函数展开成泰勒级数
本节要点 1. 泰勒级数的概念; 2. 函数展开成泰勒级数的方法.
泰勒级数的概念 引例 给定以下的幂级数:
1 + x + x 2 + x3 + ⋯ + x n + ⋯
1 . 1− x
1 现在我们换一个角度来提这个问题: 给定函数 1 − x , 将它表示为一个幂级数. 根据上述结果有:
x ∈ ( −1,1].
(端点收敛性的讨论不作要求.)
用间接展开法求函数的幂级数展开式 间接展开法求函数的幂级数展开式. 以上介绍的直接展开法, 可得出一些基本初等函数 的展开式. 但是, 直接展开法的计算量比较大, 对于 一般的函数不常采用此法. 下列函数的麦克劳林展开式在间接展开法中作为常用公式： 下列函数的麦克劳林展开式在间接展开法中作为常用公式：
在 (3) 式中, 若令 x0 = 0 , 则所得的展开式
∞ f ′′(0) 2 f ( n ) (0) n f ( n ) (0) n f ( x ) = f (0) + f ′(0) x + x +⋯ + x +⋯ = ∑ x n! n! 2! n=0
定理 (初等函数展开定理) 设 f ( x) 为初等函数, 它的泰勒级数 ∑
介绍两个常用的名称: ① 称 (2)式中的幂级数为 f ( x)在 x = x0处的泰勒级数 处的泰勒级数 (Taylor Series). 以上推导说明: 若一个函数可表示为 幂级数, 则此幂级数必为该函数的泰勒级数. ② 若 f ( x) 可以表示为它的泰勒级数 (即 f ( x) 是它的泰 勒级数的和函数): f ′′( x0 ) f ′′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 + ( x − x0 )3 + ⋯ 2! 3! f (n) ( x0 ) ( x − x0 )n + ⋯, + n! ∞ f (n) ( x0 ) ( x − x0 )n , (3) 即 f ( x) = ∑ n! n =0 f ( x ) x = x 则称 在 0 处可展开为泰勒级数. 而 (3) 式就称为 f ( x) 的泰勒展开式(Taylor Expansion). 注意分清 注意分清 f ( x) 的泰勒级数与 f ( x) 的泰勒展开式的区别.
f ′ (0) Байду номын сангаас α ,
= lim
n →∞
α (α − 1)⋯ (α − n + 1) n!
α (α − 1)⋯ (α − n ) ( n + 1)!
= lim
n →∞
⋯⋯⋯ α 所以 (1 + x ) 麦克劳林数为 α (α − 1) 2 α (α − 1)⋯ (α − n + 1) n 1+ α x + x +⋯ + x +⋯, 2! n!
用直接法将初等函数 直接法将初等函数 f ( x ) 展开为麦克劳林级数的步骤： 展开为麦克劳林级数的步骤：
( n) ⑴ 求出 f ( x ) 在 x = 0 处的各阶导数值 f ( 0 ) ；
⑵ 作出麦克劳林级数
∑
∞
n=0
f (n) ( 0) n x ； n!
⑶ 求出级数的收敛半径 R ，确定收敛区间 ( − R, R )； ⑷ 写出 f ( x ) 的麦克劳林展开式, 并写上成立的区间:
问题 1 的讨论: 设 f ( x) 在点 x 0 的某个邻域内可以表示为一个 ( x − x0 ) 的 幂级数, 即有:
f (x) = a0 + a1(x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 +⋯+ an (x − x0 )n +⋯, (1)
那么根据幂级数在收敛区间内可逐项求导的性质, 可得:
f ( x) = ∑
n=0
∞
f (n) ( x0 ) ( x − x0 )n , x − x0 < R, n!
(4)
在端点 x = x0 ± R 处, 如果 f ( x) 有定义且 (4) 式右端的 级数收敛, 则 (4) 式在该端点处也成立. (证明略)
问题 3 的讨论. 我们通过例子来说明: 如何求给定函数的泰勒展开式, 我们以麦克劳林展开式为主来讨论. 有两种不同的方法: 直接展开法和间接展开法. 下面分别举例说明. 注: “将函数展开成它的泰勒 (Taylor) 级数” 级数” 也常说 成是“ 成是“将函数展开成 ( x − x0 ) 的幂级数” 的幂级数” 而“将函数展开成它的麦克劳林 (Maclaurin) 级数” 级数” 也常说成是“ 也常说成是“将函数展开成 x 的幂级数” 的幂级数”.
x2 + ⋯ +
( 2n + 1)!
( −1)
n
( n − 1)!
x n−1 + x n
x 2 n +1 , x ∈ ( −∞, +∞ )
1 2 2 = 1 + Cn x + Cn x + ⋯ + +Cnn−1 x n −1 + x n .
这就是中学代数里的二项式定理.
再设 α 为非零常数， 为非零常数，且α 不是自然数， 不是自然数，则有
x
∞
故 sin x 的麦克劳林级数为
x−
( −1) x 2 n+1 + ⋯, 1 3 1 5 x + x +⋯ + 3! 5! 2 ( n + 1)!
n
例3 将二项式 f ( x ) = (1 + x ) 展开成 x 的幂级数.
α
解 当 α 为正整数 n 时， f ( 0 ) = 1,
求得该级数的收敛半径为 R = +∞, 于是,
1
在以上各式中取 x = x0 , 得
a0 = f ( x0 ), a1 = f ′( x0 ), a2 = an = f ( n ) ( x0 ) ,⋯ n! f ′′( x0 ) f ′′′( x0 ) , a3 = , ⋯, 2! 3!
也就是说: 如果 f ( x)能表示为 ( x − x0 ) 的幂级数, 则此 幂级数的形式是唯一确定的, 它必为:
n =0 ∞
f ( n ) ( x0 ) ( x − x0 ) n n!
的收敛
称为 f ( x)的麦克劳林展开式(Maclaurin Expansion) 问题 2 的讨论: 函数 f ( x) 具备什么样的条件, 它可展开为泰勒级数呢? 以下的定理给出了函数可展开为泰勒级数的一个充分条件.
半径为 R , 则在区间 x − x0 < R 内, 下列展开式成立:
= lim
n →∞
( n + 1)α (α − 1)⋯ (α − n + 1) α (α − 1)⋯ (α − n )
n +1 = 1, α −n
3
由此得到如下的二项展开式
α=
α (α − 1) 2 α (α − 1) ⋯ (α − n + 1) n x +⋯+ x + ⋯, (1 + x ) = 1 + α x + 2! n!
(1 + x ) −1 = 1 = 1 − x + x 2 − x 3 + ⋯ + ( −1) n x n + ⋯ , 1+ x x ∈ ( −1,1).
1 1 1× 3 2 1× 3 × 5 3 x + x −⋯ = 1− x + 2 2×4 2×4×6 1+ x
= 1+ ∑
( −1) n (2n − 1)!! n x (2n )!! n =1
f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + f ′′( x0 ) f ′′′( x0 ) ( x − x0 )2 + ( x − x0 )3 + ⋯ 2! 3! ∞ f ( n ) ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) + ( x − x0 )n + ⋯ (= ∑ ( x − x0 )n ) , (2) n! n! n =0
∴ f ( 0 ) = 1,
f ( n) ( x ) = α (α − 1)⋯ (α − n + 1)(1 + x )
α −n
此级数的收敛半径
R = lim
n →∞
an an +1
f ′′ ( 0 ) = α (α − 1) , ⋯⋯⋯ f ( n ) ( 0 ) = α (α − 1)⋯ (α − n + 1)
f ( k ) ( x ) = n ( n − 1)⋯ ( n − k + 1)(1 + x )
n−k
, ( k = 1, 2,⋯ , n ) ,
f ( x ) = sin x 的麦克劳林展开式为
f
(k)
( 0 ) = n ( n − 1)⋯ ( n − k + 1) , ( k = 1, 2,⋯ , n ) ,
α
1 1 2 1× 3 3 1+ x = 1+ x − x + x −⋯ 2 2×4 2×4×6
∞ 1 ( −1) n −1 (2n − 1)!! n = 1+ x + ∑ x . 2 (2n )!! n=2 1 α =− 2
1 2
x ∈ ( −1,1)
几个特例:
x ∈ [ −1,1]
α = −1, 则得:
f ( x) = ∑
∞
n=0
f ( n) ( 0 ) n x n!
x ∈ ( − R, R ) .
⑸最后判别收敛区间端点处的收敛性.
2
例1 将 f ( x ) = e x 展开成 x 幂级数. 解 因 f 级数为
( n)
∞
例2 将f ( x ) = sin x 展开成 x 幂级数.
( x) = e
n ( n − 1) 2! n ( n − 1)⋯ 2
sin x = x −
=∑
n =0 ∞
( −1) x 2 n+1 + ⋯ , 1 3 1 5 x + x +⋯ + 3! 5! ( 2n + 1)!
n
k 而当 k > n 时，有 f ( ) ( x ) = 0. 故
(1 + x )
n
= 1 + nx +
1
x
,故f
(n)
( 0 ) = 1, 所以
1
e 的麦克劳林
x
解
n =0
∑ n ! x n = 1 + x + 2! x 2 + ⋯ + n ! x n + ⋯
1
此级数的收敛半径为 R = +∞, 于是由上述的初等函数展开定理, 即得 函数 f ( x ) = e 的麦克劳林展开式为
x
π f ′ ( x ) = cos x = sin x + , 2 2π π f ′′ ( x ) = cos x + = sin x + , 2 2 ⋯⋯ nπ ( n) f ( x ) = sin x + , n = 0,1, 2,⋯ 2
f ′( x) = a1 + 2a2 ( x − x0 ) + 3a3 ( x − x0 ) 2 + 4a4 ( x − x0 )3 + ⋯ , f ′′( x) = 2a2 + 2 ⋅ 3a3 ( x − x0 ) + 3 ⋅ 4a4 ( x − x0 ) 2 + ⋯ , f ′′′( x) = 2 ⋅ 3a3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4a4 ( x − x0 ) + ⋯ , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ f ( n ) ( x) = 2 ⋅ 3 ⋅⋯ ⋅ nan + 2 ⋅ 3 ⋅⋯ ⋅ (n + 1)an +1 ( x − x0 ) + ⋯ ,
1 , x ∈ (-1,1) 1− x
将函数表示为幂级数的优越性: 计算幂级数的部分和只需进行加法和乘法两种运算, 这是计算机最擅长的. 对于复杂函数的函数值的计算, 这种表示法十分有利.
几个问题: (1) 对给定的函数 f ( x) , 如果它能够表示为一个幂级 数, 这个幂级数的应具有什么样的形式? (2) 在什么条件下函数可以表示为一个幂级数? (3) 怎样求出给定函数的幂级数表示式? 下面我们就来讨论这些问题.
1 = 1 + x + x2 + x3 + ⋯ + xn + ⋯ , x ∈ (-1,1) 1− x
这个逆向思维给我们带来了一个“ 这个逆向思维给我们带来了一个“新天地” 新天地” : 给定一个函数 f ( x), 能否将它表示为一个幂级数?
我们已求得, 当 x < 1 时它的和函数为: 即有
1 + x + x 2 + x3 + ⋯ + x n + ⋯ =
0, f ( n) ( 0 ) = m ( −1) , n = 2m, n = 2m + 1, m = 0,1, 2,⋯ m = 0,1, 2,⋯
1 1 1 e = ∑ x n = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + ⋯, x ∈ ( −∞, ∞) 2! n! n =0 n !
∞ 1 = ∑ x n = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + ⋯. x ∈ ( −1,1) 1 − x n=0
第九章 无穷级数
第四节 函数展开成泰勒级数
本节要点 1. 泰勒级数的概念; 2. 函数展开成泰勒级数的方法.
泰勒级数的概念 引例 给定以下的幂级数:
1 + x + x 2 + x3 + ⋯ + x n + ⋯
1 . 1− x
1 现在我们换一个角度来提这个问题: 给定函数 1 − x , 将它表示为一个幂级数. 根据上述结果有: