超静定结构内力计算

正负号规定：杆端弯矩以顺时针为正及转动 约束中的约束力矩也均以顺时针为正。
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力矩分配法的基本概念 一、力矩分配法的基本参数
1、转动刚度 SAB : 使AB杆的A端（也称近端）产
生单位转角时所需施加的力矩。
θ =1
θ =1
A
B
SAB = 4 i
θ =1
A
SAB = i
θ =1
= A
B
A
SAB = 3 i
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等于该结构的刚结点数！ 上图刚架只有一个结点转角
未知量。
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2、独立结点线位移
在微弯状态下，假定受弯直杆两端之间距离在变形前 后保持不变，即杆长保持不变。
C C'
D D'
A
B
由于杆AC、BD两端的距离假设
不变故C、D结点都没有竖向位移；
C、D结点虽然有水平位移，但由
于CD杆的长度不变，因此结点C
和D的水平位移相等。所以只有一
个独立结点线位移。
所以该刚架有三个基本未整知理课量件。
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*三.用力矩分配法计算超静定结构
力矩分配法是以位移法为基础的渐近解法， 在计算过程中采用逐步修正的步骤，最后收 敛于真实状态即求得每段杆两端的弯矩；再 运用迭加法画各段杆弯矩图。
力矩分配法的适用条件：无侧移刚架和连续梁。
而位移法则是先求结点位移，再计算内力。
在力法和位移法计算中都要建立求解基本未知量的典型方 程。
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1、计算途径的比较
力法以多余未知力为基本未知量，位移法以结点位移为基 本未知量。
从典型方程建立的过程看，力法的基本方程是位移协调方程； 位移法的基本方程是与附加约束相连的原结构的某一结点或一 部分的平衡方程。
B
当θ ≠ 1时:
MAB = SAB θ
B
转动刚度的大小不仅与该梁的线刚度i 有关
（i = EI/L），而且与远端的支承情况有关。
转动刚度反映了杆端抵抗转动的能力。转动刚度越
大，表示杆端产生单位转角所需施加的力矩越大。
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2、分配系数
令：μAk =
SAk
∑
A
SA
3、传递系数 C
μAk称为分配系数
2、适用范围的比较
凡多余约束数多而结点位移少的结构，宜采用位移法；反之 宜采用力法。
当两种方法的未知量数目差不多时，宜选用位移法。
力矩分配法计算较为简便，但单纯用力矩分配法只能计算无
结点线位移的结构。
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一、力法基本未知量的确定
结构中多余约束的数目即结构的超静定次数为力法基 本未知量数目。判断超静定次数的方法是去掉多余约束 使原结构变成静定结构。
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SBA= 4i SBC= 3i
20kN/m
32kN
分配系数： μBA= 4/7= 0.571 μBC= 3/7 = 0.429
A EI
B
EI
C
6m
3m 3m
分配弯矩：
0.571 0.429
C
MBμA= 0.571×(－24) = －13.7kNmA －60
60 －36
0
μ MBC=
0.429×(－24)
=
－10.3kNm
－6.85 －66.85
－13.7 －10.3 46.3 －46.3
0 0
传递弯矩：
c MCB= 0
MFBA = qL2/12 = 60kNm MFBC = －3PL/16 = －36kNm
MFCB = 0
2、放松结点B，这相当于在结点
B上加一个外力偶（－ MB ），按 分配系数分配于两杆的B端，并使
两杆的远端产生传递弯矩。具体
计算如下：
所以：MB= 60－36 = 24kNm 整理课件
设 i = EI/6
时，结点A上各杆近端得到 按各杆的分配系数乘以 m 的 近端弯矩，也称分配弯矩。
m
θA A
C
θA θA
D
各杆的远端则有传递系数乘以近端弯矩（或分配弯 矩）的远端弯矩，也称传递弯矩。
以上是用力矩的分配和传递的概念解决结点力偶荷 载作用下的计算问题，故称为力矩分配法。
远端支承情况 固定 铰支 滑动
转动刚度 4i 3i
汇交于同一结点各杆的分配系数之和 等于1，即：
∑μ
A
= μAB ＋ μAC＋μAD = 1
表示当杆件近端有转角时，杆件远端弯矩与近端 弯矩的比值。它的大小与远端的支承情况有关。
远端固定：C = 0.5 远端 铰支： C = 0
远端定向 支座：C = －1
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把上述问题归纳如下： 当结点A作用有力偶荷载 m B
i 整理课件
传递系数
0.5
0
－1
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单结点连续梁或刚架跨间有荷载作用时
例： 20kN/m
32kN
20kN/m
MB
32kN
A EI
B
6m
EI 3m 3m
C
A
MB
B
C
解：1、先在B点加
上阻止转动的约束力
B
矩MB，这时B点相当 MFBA
MFBC
＋
MB
于固端，查表6-1求
A
B
C
得各固端弯矩。
MFAB = －qL2/12 = －60kNm
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位移法基本未知量的确定
位移法的基本未知量为结点位移。结点位移分为结
点角位移和结点线位移两类。
P
1、结点角位移
D
A
C
A
P
B
C
D
B
由于A、D为铰支座，已知弯 矩为零，不取为基本未知量； B、C为刚结点，所以图示连 续梁 有两个结点角位移。
所以，结点角位移的数目
由于A、B、C为固定端支 座，所以其位移均已知为零， 不需作为未知量；而同一刚 结点处各杆的杆端转角相等， 所以每个刚结点处只有一个 独立的结点转角未知量。故
B
P
A
C
B
有一个多余约束，称为 一次超静定。
A
有两个多余约束，称为 二次超静定。
多余约束中产生的约束力称为“多余未知力”。
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二、超静定次数的确定 结构中多余约束的数目称为结构的超静定次数。判
断超静定次数的方法是去掉多余约束使原结构变成静 定结构。 常见的去掉多余约束方式有以下几种：
1、去掉支座处的一根支杆(可动铰支座)，相当于去 掉一个约束。
2、去掉一个固定铰支座，相当于去掉两个约束。
3、将固定端支座改成铰支座，相当于去掉一个约 束。
4、去掉一个固定端支座，相当于去掉三个约束。
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力法、位移法 概述
力法和位移法是计算超静定 结构的两种基本方法。
在力法中，通过综合考虑平衡条件、物理条件及几何条件 先求出多余约束力，进而求出内力和位移；
第六章 超静定结构内力计算
学习要求： 1、掌握超静定结构概念及超静定次数的确定。
2、了解力法、位移法解超静定结构基本未知量及原理。 3、掌握用力矩分配法的基本原理，会两个结点的分配。
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超静定结构概述
一、超静定结构的概念
有多余约束的几何不变体系，结构的支座反力和内 力仅用静力平衡条件不能确定或不能全部确定。