一个不等式问题的探究

［４］刘瑞美．对２００９￣高考 中一道 圆锥 曲线
３．结束 语
问题的探究 ［Ｊ］．中学数学杂志，２００９（１１）：５８．
一 ｉ８
数．学教 学
２０１１年第 ７期
２ａ。＋（ｂ＋ｃ） ≥ （０＋ｂ＋ｃ） ，…………（５）
同理 ２ｂ ＋（ｃ＋ｎ）。≥ （０＋ｂ＋ｃ）。，··（６）
２ｃ。＋（ｎ＋６）。≥ （ｎ＋ｂ＋ｃ） ．………－·（７）
究能 力和探究意识．也许学生 的探 究成果 比较
２
简单或是错误的，这并无大碍，关 键是学 生能从
１，即ＹｉＹ２＝ ４ｐ ．所以 一２ｐａ＝ ４ｐ ，ａ＝ 一 ． 故 直线 Ｂ的方程为 ｘ—ｍｙ＋２ｐ＝ ０，因而直 线ＡＢ过定点 （～ ，０）．
此 题 刚 一 探 究 完 ，有 同学 就 提 出，能 不 能 再 将 问题更一般化呢？即：
现有的知识水平 出发，通过不断地探 索来体验数 学探究过程 中的执着、多元、不畏艰难、富有理 智的创造性思考，这正是数学探究所具有的独特 育 人 功 能和 魅 力 所 在 ．
参考文献
问题 ８ 直线与抛物线 Ｙ２＝ ２ｐｘ ＞ ０）交
［１］朱胜强．在纠错 中引导学生发现 ［Ｊ］．数
于 、Ｂ两点，设直线 ＯＡ、０Ｂ的倾斜角分别为 、 ， 若 ＋ ＝ ０，则直线 ＡＢ过定点吗？ 学 生们寻着 问题 ６的思路，经过小组合作探
仔细分析上述 问题 的证明过程，我们将解决 问题的思路倒退 回去，看能 否将 问题予以推广？ 经过进一步探究，获得了新的结果．
按照上述问题 ３和问题 ４的证 明方法，首先 设 ＞０，则 （５）、（６）、（７）式可推广为：
＋（６＋ｃ） ≥ （ｎ ＋ｃ … （９）
Ａｂ２＋（ｃ＋ｎ）。≥ （。＋６＋ｃ …（１０）
——
——
—
——
—一
一
≤ １
舌（ ＋６＋ｃ）
错 ３（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）≤（ａ＋ｂ＋ｃ）
甘 ａｂ＋ ｂｃ＋ ｃａ ≤ ａ ＋ ｂ ＋ Ｃ。
铮 （ａｗ６） ＋（６一ｃ） ＋（ｃ—ｎ）。≥０．…·（８） 由于 （８）式显然成立，从 而可知 （４）式成立， 即可知 （２）式成立，由 （２）和 （３）式成立，可知 （１）
学通报，２０１０（４）：３７． ［２］陈久贵．数学探究的鲜活资源 ［Ｊ］．数学
通 报，２００８（４）：２５．
究，很快得出类似地结论．
［３］刘瑞美．一道高考向量题的推广 ［Ｊ］Leabharlann Baidu中
设疑：能否将 以上这些结论 推广到椭圆和双 学数学教学参考，２０１０（５）：６９．
曲线 中，有兴趣 的同学可以在课后继续探究．
２。： ６＋ｃ）’２。。２ｂ ＋（ｃ＋０）
若藉（ ） 牟 子 第二个平方项展开，
＋ 苦 笨≤８．…………………（１） 并进行整理，则问题２可等价转化为：
对（１）式，已有不少数学杂志给出了各具特 问题 已 ０、ｂ、ｃ 正实墼，证明：
色的证 明．
＋
然然 后利用雾分 拆法，则问题１ 可分解为下列两个子 ＋。 ２ｃ２ ＋ｆａ ＋ ｂ）２ ……一………（４）
若给 （１３）式的两边乘以２之后再加上３，则
问题 ６又等价转化为：
问题 ７ 已知 ａ、ｂ、Ｃ、 是正实数，证明：
（ 一１）ａ ＋（ａ＋ｂ＋ｃ）
Ａａ２＋ （ｂ＋ｃ）。
一 １）ｂ ＋ｆｂ＋Ｃ＋ａ
＋
＋ （Ｃ＋０）
一 １）ｃ。＋ｆＣ＋ａ＋ｂ ２≤ １３Ａ＋４
＋
ｃ。＋（ａ＋６） 一 一≤
三，所以ｔａｎ ＝ｔａｎ（三一 ）＝ｃｏｔ ．因而有 这样一堂探究性习题课的教学，使我们充分
ｔａｎ ｏ￣．ｔａｎ ： １，即 ｋ０Ａ．ｋｏＢ ： １，所 以 Ｙ＿Ｌ． 认识到课本 习题的重要性，通过适度的对课本 习
１
题 的探 究，有利于开 阔学生视野，培养学生的探
ＹＥ
＿
墓一＝鬈，故 ＝ ＝
问题 ２ 已知 ｎ、ｂ、ｃ是正 实数，证 明：
采用如下的“统 一分母法’’进行：
！±！ ± ± ：一． ±（ ±！±
由二元 值不等式得
２２ ＋，（６＋ｃ）２ 。 ２ｂ。＋（ｃ＋０）。 ，、。
２ａ２＋ （６＋ｃ）。≥２ａ（ｂ－ ６ ｃ）， 两边 同时加上
＋ 占 ≤５．………………（２） ｎ２＋（６＋ ２，并整理得
≤ ———— —一 ． ·…………………………………… （… １ｏ） 当 ＝２时，问题 ８即为问题 １，所 以，问题 ８ 又是 问题 １的一 个 推 广． 我们从 问题 ｌ的证 明开始，到得到它的一个
开”，又有分母 的“大统 一，’，既包含 着分子与分 母 同时化归的思想，又体现了数学解题 的“和谐 性”．
由（５）、（６）、（７）式可知，（３）式左端 ≤ ａ（ａ＋ｂ＋ｃ）＋６（６＋Ｃ＋ａ）＋ｃ（ｃ＋ａ＋ｂ） ３
（ｎ＋ｂ＋ｃ）２ 即 （３）式成立．。
而要证 明（４）式，只需证 明： ａ（ｂ＋ｃ）＋ｂ（ｃ＋ａ）＋ｃ（ａ＋ｂ）
≤ １
詈（。＋６＋ｃ）
错 ２（ａｂ＋ ｂｃ ＋ ｃａ）≤１
广—
． ’． 一． （１４）
将问题 ５和 问题 ７相结合，容易得到
问题 ８ 已知 ａ、ｂ、ｃ、 是正实数，证明 （ ０＋ｂ＋ｃ）（２ａ＋ｂ＋ｃ）
ａ ＋ （ｂ＋ｃ） （ ６＋Ｃ＋ａ）（２ｂ＋Ｃ＋ａ）
．
’ Ａｂ２＋ｆＣ－４－ａ）２ （ ｃ＋ａ＋ｂ）（２ｃ＋ａ＋ｂ）
。
。 Ａｃ２＋ ｆａ＋ ６１
２０１１年第 ７期
数 学教学
７＿．ｆ７
一 个不等式 问题的探究
７１２２００ 陕西省武功县教育局教研室 李 歆
一 道不等式的证明题，原题是：
（ ± ±！！一一． （ ±！± ！
（ ２ａ ＋ ｂ ＋ｃ）２ 、 ． （ ２篓ｂ ＋ｃ＋口）２ 叽 ＋２ａ ２ －６ （÷ｂ －６｝ｃ） ２≤ ．……………ｉ…………· （３ ）
式 成 立．问题 １得证 ． 评析：以上证 明，如果没有 （３）和 （４）式 的支
撑，直接对 （１）或 （２）式采用 “统一分母法”，有可 能误入 歧途． 所 以上述方法 既有分子 的“小展
ａ（ｂ＋Ｃ）
ｂ（ｃ＋ａ）
．Ｘａ２＋（ｂ＋ｃ） Ａｂ２＋ｆｃ＋ａ）２
＋
≤
．… … …（１３）