第三节 二叉树模型

资产定价的基本定理： 无套利假设等价于存在对未来不确定状态 的某一等价概率测度，使得每一种金融资 产对该等价概率测度的期望收益都等于无 风险证券的收益率
表明了无套利定价与风险中性定价的关系
（4）无风险对冲组合与套期保值比率： 无风险对冲组合复制为无风险债券，所以 其收益率等于无风险利率， 无风险套利策略：在本节例题中 如果期权报价$1，套利策略是什么？ 如果期权报价$0.5，套利策略是什么？
考虑两期二叉树
20 1.2823 B点处的delta值：
D 3.2 0 0.73 24.2 19.8
A
D
22
24.2 3.2
B E
2.0257
18
0.0
19.8 0.0
16.2 0.0
C
F
A点处的delta值：
2.0257 0 D 0.51 22 18
结论：不同时期不同股价获得完 全保值需要的股票数量是不同的， 因此，现实的套期保值策略是一 个动态调整的过程。
二、两期二叉树模型与delta动态保值
Delta (D)
由单步二叉树的套利定价法知：
Delta (D)为期权价值变化与股票价值变 化的比值，对于单步二叉树：
表示了看涨期权获得完全保值时，所需要的 股票的数量。 思考：当二叉树步数增加时，delta是否会变化？
二、两期二叉树模型与delta动态保值
e rDt d T p ,Dt u d n
主要内容
第二节：二叉树模型 5.2.1.二叉树模型简介 5.2.2.更符合实际的二叉树模型 5.2.3.奇异期权的二叉树定价
5. 更实际的二叉树
若到期时只有两种状态，可用单步二叉树模拟：
P
S 1-P
Su
Sd
rDt 1 e d Dt Dt ue ,d e ,p , Dt T u ud 其中：为股价收益波动率， Dt为步长
rT
21.059 p S
二、两期二叉树模型与delta动态保值
美式看跌期权的定价：
X=21 22 B 0.4049
A E
24.2 D 0
20 1.2686
18
19.8 1.2
16.2 F 4.8
>1.0591=p
C
3
练习：试计算美式看涨期权的价格，并比较美式看涨期权与 欧式看涨期权间的关系。

进一步解读

所以对于所有投资者来说，无论他对未来股 票价格涨跌的概率有什么预期，或他对风险 厌恶程度如何，都能对看涨期权的“公平” 或“正确”价格达成一致。
（3）p 称为股票价格上涨的风险中性概率 risk nerutral probability 不要与股票价格上涨的实际概率相混肴，实际 概率并不影响期权价格，P 也称为等价鞅测度 概率
D3 C2 B1 C1 D2 D1 B0 C0 D0 E0 E2 E1
E4
E3
A
二叉树模型的基本假设
• • •
资本市场完全竞争的 市场无摩檫的（无交易费用和税收) 市场交易可以连续进行
•
•
不存在无风险套利机会
股票和期权是无限可分
•
下一期的股票价格只取两种可能的值。
一、单期二叉树
例：假设一种不支付红利股票目前的市价为 20元，我们知道在3个月后，该股票价格要 么是22元，要么是18元。假设现在的无风 险年利率等于10%（连续复利），现在我 们要找出一份3个月期协议价格为21元的该 股票欧式看涨期权的价值。
一、单期二叉树
无套利定价法的思路

首先，构造一个由Δ股股票多头和一个期权 空头组成的证券组合，使得该组合为无风险 组合，即：
Su D – ƒu Sd D – ƒd
由此计算出该组合为无风险时的Δ值。
Dsu f u Dsd f d
一、单期二叉树

如果无风险利率用r表示，则该无风险组合的现 值一定是（SuΔ-fu）e-rT,而构造该组合的成本是 SΔ-f，在没有套利机会的条件下，两者必须相 等。即SΔ-f=（SuΔ-fu）e-rT ，所以
f e
其中：
rT
[ Pfu (1 P) f d ]
e d P ud
rT
一、单期二叉树
风险中性定价的思路

假定风险中性世界中股票的上升概率为P，由 于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必 须等于该股票目前的价格，因此该概率可通过 下式求得：
S e
rT
[SuP Sd(1 P)]
4.39元
由于该组合中有一单位看涨期权空头和 0.25 单位 股票多头，而目前股票市场为20元，因此：
20 0.25 f 4.39 f 0.61元
一、单期二叉树
2. 风险中性定价思想
在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为 P，下跌的概率为1-P，则 e0.10.25 [22P 18(1 P)] 20 得： P=0.6266 这样，根据风险中性定价原理，我们就可以给出该 期权的价值：
二、两期二叉树模型与delta动态保值 总结：欧式期权的二期定价：
f ( p 2 fu 2 p( 1 p )fud ( 1 p )2 fd )e rT
2 2
总结：美式期权的二期定价
f2 j
0 ),看涨 max( S 2 j X , ,j 0 , 1, 2 0 ),看跌 max( X S 2 j ,
e0.10.25 [1 0.6266 0 0.3734] 0.61
一、单期二叉树
一般的例子

假设一个无红利支付的股票，当前时刻t 股票价格为S，基于该股票的某个期权的 价值是f，期权的有效期是T，在这个有 效期内，股票价格或者上升到Su，或者 下降到Sd（d<exp(rT)<u）。当股票价格 上升到Su时，我们假设期权的收益为fu， 如果股票的价格下降到Sd时，期权的收 益为fd。
S $20 1-p
$22 Su
p
$18
Sd
总结：期权的单期定价：
1. f ( pfu (1 p) f d )e e d 2. p ud
rT
rT

其实
u,d 就反映了股票的波动率
二、两期二叉树模型与delta动态保值 股价的变化如图：
22 24.2
20 18
19.8
16.2
一、单期二叉树
分析

为了找出该期权的价值， 可构建一个由一单位看 涨期权空头和Δ 单位的标的股票多头组成的组合。 为了使该组合在期权到期时无风险，Δ 必须满足下 式：
22D – 1
18D
22 Δ －1=18 Δ Δ =0.25
一、单期二叉树
分析

该无风险组合的现值应为：
4.5e

0.10.25
启示： 组合保险策略




引入无风险债券，与股票适当搭配头寸形 成资产组合，能否复制出与衍生产品相同 的现金流？ 组合保险策略 如果可以，那么表现出衍生产品的冗余性 质。 为什么还需要衍生产品？
一、单期二叉树
注意：对于单步二叉树，美式期权和欧式期权 的价格是相同的，因为只有一个执行机会。
练习：求看跌期权的价值，X=21 T=3个月，r=0.1
。
一、单期二叉树
利用两式联立的方程组，可解得N和B，即：
N 0.25 B 4.39 将其代入初始组合，即 可得到期权的价值： C 0.25 * 20 4.39 0.61
无套利定价思想2.－（复制无风险组合）

建立一个包含衍生品头寸和基础资产头寸 的无风险的资产组合。若数量适当，基础 资产多头的赢利就会与衍生品的空头亏损 相抵，瞬间无风险。无风险组合的收益率 必须等于无风险利率。
一、单期二叉树
无套利定价思想1.（复制待定价的产品）

我们构造这样一个投资组合，以便使它与看涨期权的价 值特征完全相同：以无风险利率r借入一部分资金B（相 当于做空无风险债券），同时在股票市场上购入N股标 的股票。该组合的成本是20N-B，到了期末，该组合的 3 价值V是N S1- exp{0.1 * 12 } B。对应于S1的两种可能，V有两 个取值： 3 exp{ 0 . 1 * } 如果S1=22,则V=1= 22N12 B， 如果S1=18, 则V=0= 18Nexp{0.1 * 3 } 12 B

每个步长为 3 个月，u=1.1， d=0.9，r=12%
二、两期二叉树模型与delta动态保值
欧式看涨期权定价

X = 21
22 20 1.2823
A B
E
D
24.2 3.2
19.8 0.0 16.2 0.0
2.0257
18 0.0
C
F

B结点处的价值
= e–0.12*0.25(0.6523*3.2 + 0.3477*0) = 2.0257
S
Su p
所以 f e
e d P ud
rT
rT
fu
f
Pfu (1 P) fd
1-p
fd
Sd
小结
在二叉树模型计算欧式看涨期权价值中，不 难发现： （1）风险中性概率只依赖股票价格S变动范围 （即u,d的值），u，d衡量的是股票价格的 波动率，以后会在BS模型中看到波动率的重 要性 （2）计算公式中没有出现股票实际上涨或下 跌的概率，也没有描述投资者对于风险偏好 程度的变量。
第五讲 期权的价值决定
第一节：期权与期权产品简介
第二节：期权的定价原则
第三节： 二叉树模型 第四节：Black-Scholes定价公式
主要内容
第三节：二叉树模型 3.1 二叉树模型简介
单期二叉树模型 两期二叉树模型 多期二叉树模型
3.2.更符合实际的二叉树模型 3.3 二叉树的其他应用

1979年，J. C. Cox, S. A. Ross & M. Rubin – stein将二叉树模型用于期权定价中，迄今 为止，这种模型已经成为金融界最基本的 期权定价方法之一。
133.1
121
110 100 90 108.9
99
89.1
81
Pu=0.76, Pd=0.24
72.9
34
28.1
21.12
15.85 2.81 11.87 2.02 0 3.9
0
0
欧式看涨期权价值为11.87
35
总结：欧式期权的多期定价：
n! j n j f e ( p ( 1 p ) fu jd n j ) j 0 j! ( n j )!
e rDt d T p ,Dt u d 2
股票价格的多期二叉树模型
Su4 Su3 Su2 Su Sud S Sd Sd2 Sd3 Sd
4
Su3d Su2d Su2d2
Sud2 Sud3
类似地可以通过倒推方式计算期权的价值
三步二叉树模型下期权的定价
例3：假设标的资产为不付红利股票,其当前市 场价为100元, 无风险连续复利wenku.baidu.com5%，u=1.1, d=0.9,二叉树步长为1年，试计算该股票3年 期的，协议价格为105元的欧式看涨期权的 价值。
若到期时只有三种状态，可用两步二叉树模拟：
Su2
D
Su S
A
B
E
Sud
Sd
C
Sd2
ue
Dt
,d e
Dt
1 e d T ,p , Dt u ud 2
F
rDt
Girsanov’s Theorem
Volatility is the same in the real world and the risk-neutral world We can therefore measure volatility in the real world and use it to build a tree for the an asset in the risk-neutral world
rT
n

美式期权的多期定价：
fnj
0 ),看涨 max( S nj X , , 0 j n 0 ),看跌 max( X S nj ,
rDt max( S X , (( 1 p ) f pf ) e ），看涨 1j i 1 ,j i 1 ,j 1 fij ， rDt (( 1 p )fi 1 ,j pfi 1 ,j 1 )e ），看跌 max( X - S 1 j , 0 j i, 0 i n 1
A 结点处的价值
= e–0.12*0.25(0.6523*2.0257 + 0.3477*0) = 1.2823
二、两期二叉树模型与delta动态保值
欧式看跌期权的定价
X=21 20 1.0591
A
22 B 0.4049
E
24.2 D 0
19.8 1.2 16.2 F 4.8
18
C
2.3793
c Xe
rDt max( S X , (( 1 p ) f pf ) e ），看涨 1j i 1 ,j i 1 ,j 1 fij ， rDt (( 1 p )fi 1 ,j pfi 1 ,j 1 )e ），看跌 max( X - S 1 j , 0 j i ,i 0 , 1