离散傅里叶变换及其快速算法汇编

二、DFS离散付里级数的推导 意义
❖ 用数字计算机对信号进行频谱分析时，要求信号必须以离散值作为输入，而且 上面讨论可知：只有第四种形式(DFS)对数字信号处理有实用价值。
❖ 但如果将前三种形式要么在时域上采样，要么在频域上采样，变成离散函数， 就可以在计算机上应用。所以我们要先了解如何从以上三种形式推出DFS.
x 3 0 x 4 3 j 3 x 5 9 j3 3
例:已知序列x n =R4 n 将x n以8周期进行周期延拓成x n， 试求x n的DFS。
解：
N 1
X (k) DFS[x(n)] x(n)WNnk n0
7
3
3
x(n)W8nk x(n)W8nk x(n)e j2 /8nk
x(t)2.周期性连续时间信号函数 X(ejw)
采样
w t
3.非周期离散时间信号
非周期离散时间信号经过序列付里时变换(即单位园上的Z变换 )DTFT,得到周期连续谱密度函数，再经采样为周期离散频谱密度 函数(DFS)。
x(t) DTFT
X(ejΩT)
t
X(ejw)
Ω
采
样 w
三、推导DFS正变换
以下由第三种付里叶级数形式为例推导出离散付里叶级数变换。 非周期信号x(n),其DTFT(单位园上Z变换)为
其频为 谱周函期数连。X续设~频在(谱一e密周jw度期)函内数采，样对N个其点进，x行则(采两n样采)，e样使点其j间n成w 距为为周：期性离散 n
得到频间距为：
代入DTFT式子中得：
w 2 k
N源自文库
2
N
k 0,1,2 N 1
X~ (k )
X~(e jw)
w 2 k N
N
1
~x (n)e
第二章 离散傅里叶变换 及其快速算法
Fourier
❖ 1753年，Bernoulli就推断一振动的弦可以表示成正弦加权和的形式， 但是他未能给出所需的加权系数。
❖ Jean-Baptiste-Joseph Fourier于1768年3月出生在法国的Auxerre，当 他8岁时不幸成了一名孤儿，被收养在一个宗教界主办的军事学校中。 在此期间，Fourier对数学产生了浓厚的兴趣。21岁那年，Fourier在 巴黎学术界论述了有关数值方程解的著名论作，这一工作使他在巴黎 的数学界出名。Fourier不仅是公认的大数学家，而且他还是一位杰出 的教师。他灵活运用历史典故使得他的讲座非常生动。实际上， Fourier所研究的主要领域是数学史。Fourier是最早以应用的眼光来解 释抽象数学概念的研究者之一。
jn 2 N
k
n0
k 0,1,2 N 1
四、DFS的反变换
即证： 证明：已知
两边同乘以
X~ (k ) I D FT ~x (n)
X~
(k
)
N
1
~x (n)e
jn 2 N
k
j 2 kr ,n并0对一个周期求和
eN
k 0,1,2N 1
N
1
X~
(k
)e
j
2
N
kr
N
1 N
(
1
~x (n)e
j
1.由非周期连续时间信号推出DFS
X(t)经过抽样为x(nT),对离散的时间信号进行DTFT得 到周期连续频谱密度函数。再经过抽样，得到周期性 离散频谱密度函数即为DFS.
x(t)
取样
x(t)
X(ejw) t
采样
w
D T F T t X(ejΩT)
Ω
周期性连续时间信号函数经采样后，得到周期性的离散时 间函数(DFS)。
正变换
反变换X~(k)
DFS[~x (n)]
N
1
~x (n)e
j
2 N
nk
N 1 ~x (n)WNnk
n0
n0
~x(n其)中:IDFS[X~(k)]
1 N
N
1
X~
(k
)e
j
2 N
nk
k 0
N1 ~x (k)WNnk
k 0
j 2
WN e N
例:已知序列x n是周期为6的周期序列，
如图所示，试求其DFS的系数。
❖ 回国后，Fourier被任命为格勒诺布尔伊泽尔省的长官，就是在此期间， Fourier完成了其经典之作Theorie analytiquede la chaleur(热能数学 原理)。在该著作中，他证明了任一周期函数都可以表示成正弦函数和 的形式，其中正弦函数的频率为频率的整数倍。
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义， 相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是， 直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的 处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应 用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得 以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被 广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近 年来，计算机的处理速率有了惊人的发展， 同时在数字信号处理领域出现了许多新的方 法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里 叶变换及其快速算法。
n0
n0
n0
j2 k
j2 2k
j2 3k
1e 8 e 8 e
x 0 4 x 1 1 j 2 1 x 2 0 x 3 1 j 2 1
x 4 0 x 5 1 j 2 1 x 6 0 x 7 1 j 2 1
解：根据定义求解
N 1
X (k) DFS[x(n)] x(n)WNnk n0
5
5
x(n)W6nk x(n)e j2 /6nk
n0
n0
j2 k
j2 2k
j2 3k
j2 4k
j2 5k
14 12e 6 10e 6 8e 6 6e 6 10e 6
x 0 60 x 1 9 j3 3 x 2 3 j 3
2
N
nk
)e
j
2
N
rk
k 0
n0 k 0
N
N
1
~x
(n)(
用n置换nr得0 ：
1 N
N 1
e
k 0
N~x (r)
~x(n) 1
N
j 2 k ( r n )
N
根据正 交定理
N1 X~(k)e j
n0
)
2 kn N
1 0
n
rn rn
0,1,2 N
1
回顾DFS
设 x(n)为周 期 为 N 的 周 期 序 列 , 则 其 离 散 傅 里 叶 级 数 (DFS) 变 换 对 为 :
❖ 1798年，拿破仑侵略埃及，在侵略队伍中一些有名的数学家和科学家， Fourier就是其中的一位，他负责组织修建第一条从格勒诺布尔到都灵 的道路。Fourier也是一个拥有独特想法的一个怪才。例如，他认为酷 热是理想的环境，因此，他喜欢居住在严热的小屋里，并穿上厚厚的 衣服。1801，法国决心召回自己的军队，于是Fourier才得以重返家园。