段正敏主编《线性代数》习题解答(重庆大学版)

线性代数习题解答1

张应应 胡佩 2013-3-1

目 录

第一章 行列式 .................................................................................................................... 1 第二章 矩阵 ...................................................................................................................... 22 第三章 向量组得线性相关性 .......................................................................................... 50 第四章 线性方程组 .......................................................................................................... 69 第五章 矩阵得相似对角化 .............................................................................................. 91 第六章

二次型 (114)

附录：习题参考答案 (129)

第一章 行列式

1．填空题：

（1）3421得逆序数为 5 ； 解：该排列得逆序数为、

（2）517924得逆序数为 7 ； 解：该排列得逆序数为、 （3）设有行列式 =，

含因子得项为 -1440，0 ； 解：(23154)

31223314554(1)

(1)526831440t a a a a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅=-

(24153)41224314553(1)(1)506810t a a a a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅=

所以含因子得项为-1440与0、

（4）若阶行列式=-∆==∆=)(,)(ij ij n a D a a D 则； 解：行列式中每一行可提出一个公因子，

()()()1()1n n

ij ij D a a a ∴=∆-=-∆=-、

1

教材：段正敏，颜军，阴文革:《线性代数》，高等教育出版社，2010。

（5）设，则得根为 1，2，-2 ； 解：就是一个Vandermonde 行列式，

()(1)(2)(2)(21)(22)(21)0f x x x x ∴=--+-----=得根为1，2，-2、

（6）设就是方程得三个根，则行列式 0 ；

解：根据条件有332

123123123()()()()x px q x x x x x x x x x x x ax x x x ++=---=-+++-

比较系数可得：， 再根据条件得：

原行列式333

123123123=3()33()0x x x x x x p x x x q q ++-=-++--⋅-=、

（7）设有行列式=0，则= 1，2 ；

解：223

1

032(1)(2)00

1

x

x x x x x x -=-+=--= 、

（8）设，则多项式中得系数为 0 ；

解：按第一列展开11112121313141()f x a A a A a A xA =+++， 中最多只含有项，含有得项只可能就是

()()12

13414122

2433

34

3

123413242233132234122433(1)a a x xA x a x a x

a a x x a a a a a a x a a a a a a +=-⎡⎤ =-++-++⎣⎦

不含项，中得系数为0、

（9）如果=0，则= 2 ；

解：

1234

6543122(512)(63)000265330033

x

x x =⋅=--=

、

（10）= -abcd ； 解：将行列式按第一行展开：

14

00000

000(1)0000000000

a b b a c abcd c d

d

+=⋅-=-、 （11）如果=1，则= 1 ；

解：1323

3231

333

01

302524121

111

111

T

r r A

A r r a a b c a b c b c -=+---

=、 （12）如=2，则= -16 ，

= -4 ，= -4 ；

解：11

121311213121

222312312223212331

32

33

13

23

33

2T a a a a a a A a a a A a a a a a a a a a αααβββ======

()()11121213

32122222312231223

31323233

1221232222222222222222288016

a a a a a a a a a a a a A αααααααααααααα--=-=-- =+-=-=-

()1121112131

1222122232121231212313

2313

2333

122311232323232323232a a a a a a a a a a a a a a a ββββββββββββββββββ----=--=---- =-+-- =()

1

2

2312

212

3224

T A ββββββββββ-=- =-=-11213114

1222321323330002

12423

T a a a A a a a a a a + ⋅=-按第一行展开（-1）、

（13）设阶行列式=，且中得每列得元素之与为，则行列式中得第二行得代数余子式之与为=；

解：

11

1211112111121212221

2

1212

1

1

1=n n n n n n nn

n n nn

n n nn

a a a a a a a a a a a a

b b

b b

a a a a a a a a a 每行元素加到第二行

()212220n b A A A a

++

+=≠按第二行展开

212220,0n b A A A ≠++

+≠且

实际上，由上述证明过程可知任意行代数余子式之与12,1,2,,i i in a

A A A i n b

+++=

=、