运筹学多属性决策分析

多属性决策与多目标决策
• 其共性在于：
1. 两者对事物好坏的判断准则都不是惟一的 ，且准则与准则之间常常会相互矛盾。
2. 不同的目标或属性通常有不同的量纲，因 而是不可比较的。
• 差别在于：
• 多属性的决策空间是离散的；多目标的 决策空间是连续的。多属性的选择范围 是有限的、已知的；多目标的选样范围 是无穷的、未知的。多属性的约束条件 隐含于准则之中。不直接起限制作用； 多目标的约束条件独立于准则之外，是 决策模型中不可缺少的组成部分
多属性决策分析
• 例：某中东国家拟从美国购买一种机型 的喷气式战斗机若干架，美五角大楼的 官员提供了准予出售的4种机型的有关 信息。该中东国家派出专家组对4种飞 机进行了详细考察，考察结果见表，问 应选购哪一种飞机以使决策的总效用值 最大
• 准则是决策事物或现象有效性的某种度 量，是事物或现象评价的基础。它在实 际问题中有两种基本的表现形式．即属 性与目标
r11
r21
r12 r2 2
r1n r2n 0
rm1
rm 2
rmn
将求出的最大特征根 带入其次线性方程组
(RmaxI)w0
从而解出 对应的特征向量
w( , , )T
如果判断矩阵R是1相容矩2阵，将特n征向量 作归一化处理 后即可作为属性的权向量。
• 但一般来说，R未必是相容矩阵，为了 度量判断矩阵R的相容性，Saaty定义了 下面的不相容指标：
式 中 c j m iin U j(x ij),j 1 ,2 .....n ?
• 折衷解（Compromise Solution）：距离 理想解最近或距离反理想解最远或以某 种方式将二者结合在一起的可行解被称 为折衷解。
属性指标的量化与转换
1 语言类属性指标的量化 在多属性决策问题中，方案的属性值通常有定量和定性两种不同的表示形式。 为了便于对属性值进行必要的数学处理，普遍采用 MacCrimimon 提出的双向比例标 尺（Bipolar Scaling）将定性指标转换为定量指标。其标尺形式见 10-1
• 一般来说，理想解是不存在的。否则， 理想解必是最优解，决策分析便不复存 在。其数学表示式为
A(c1....,cJ....,cn)
其中cj mai xUj(xij), j 1,2.....n，这里的Uj(xij)表示 第i个方案在第j个属性上基于xij的效用函数值。
理想解的概念在多属性决策的理论和实践中都
分别用算术平均法，几何平均法，向量法，最小 二乘法求其权值
基数型多属性决策方法
• 这一类方法要求决策者将属性值表示为 能反映实际情况的基数形式，通过规范 ，加权、合成、比较等技木求得决策的 最终结果。主要包括极大-极大型、极大 -极小型、赫威斯型和简单加权平均型4 种基本方法，以及折衷型和ELECTRE等 方法
1 n
n j1
rij
n
rkj
k1
i1,2, n
• 几何平均法： 与算术平均法类似，几 何平均法是采用判断矩阵R中全部列向 量的几何平均值作为权向量的估什。即
n
1
( rij ) n
i
j1
nn
1
( rkj ) n
k 1 j1
• 特征向量法
• 将权重向量右乘权重矩阵，则有：
1
1
2
rw
1
有着重要的意义，关于多属性决策的折衷模型及
算法便是以它为基础建立起来的。
• 反理想解（Anti-ideal Solution）：由各 属性在现有方案中可能具有的最坏结果 组合而成的解被称为反理想解。一般来 说，反理想解也是不存在的。否则，它 必可作为劣解而被淘汰。其数学裹示式 为
A(c1....,cJ....,cn )
rij
x ij
m
x
2 ij
i1
• 比例法。该方法对干不同类型的属性值 采用不同的转换方式。对于收益类属性 值，
• 其转换公式为
rij
x ij x m ax
j
rij
xij
xmin j
xmax j
xmin j
• 而对于成本性属性值，其转换公式为：
rij
x m in j x ij
rij
x max j
1 2 2 2
... ...
1
n 2 n
1 2
n
1 2
nw
m m
m
n
n
1 2
n
• 如果判断矩阵见是相容矩阵，由矩阵理 论可知，n是R的惟一非零的也是最大的 特征根，记为 ，而w是n所对应的特征 向量。如果判断矩阵正不完全具有相容 性，则上面的等式并不成立．但矩阵R 元素的微小变动则意味着根的微小变动 ．故可先求解R最大特怔根 ，即求解以 下用行列式形式表示的方程组的最大解 且；
• 属性是伴随着决策事物或现象的某些特 点、性质或效能
• 每一种属性应该能提供某种测量其水平 高低的方法
• 目标是决策者对决策事物或现象的某种 追求
• 一个目标通常表明决策者在未来针对某 一事物或现象确定的努力方向。
• 多准则决策（Multiple Criteria Decision Making．简称 MCDM）的研究领域被 划分成多属性决策（Multiple Attribute Decision Making简称 MADM）和多目标 决策（Multiple Objective Decision简称 MODM ）两个主要部分。
r11
R
r21
r12 r22
1
... ...
r1n r2n
1 2 1
1 2 2 2
...
1
n
...
2
n
rm1 rm2
rmn
m
m
m
1 2
n
• 算术平均法。由于判断矩阵R中的每一 列都近似地反映了权值的分配精形，故 可采用全部列向量的算术乎均值来估汁 权向量。即
i
简单加权平均型（SAW）
• 该方法的数学表达式为:
A * A kk (1 ,2,
n
m ),U (A k)m a ixj 1
jxij
例题
• 例：某中东国家拟从美国购买一种机型 的喷气式战斗机若于架，美五角大楼的 官员提供了准予出售的4种机型的有关 信息。该中东国家派出专家组对4种飞 机进行了详细考察，考察结果见表，问 应选购哪一种飞机以使决策的总效用值 最大
C(R) man n
n1
当 C(R)0.1时，认为判断矩阵R的相容性良好，可采用
特征向量W作为权向量，否则，需要对判断矩阵R重
新调整。由于特怔根对应的特怔向量一般不是惟一的，
为了确切起见，可采用归一化的特征向量作为权向量。
即
w
1
n
i
i 1
,
2
n
i
i 1
,
n
n
i 1
i
最小二乘法
• 由于判断矩阵R的相容性很难保证，故
一、决策矩阵 经过对决策问题的描述（包括设立多属性指标体系）、各
指标的数据采集，形成可以规范化分析的多属性决策矩阵。 个方设案有n个n个指决标策构指成标的f矩i（阵1≤j≤n），m个备选方案ai 1≤i≤m），m
X=(xij)m×n 称为决策矩阵。决策矩阵是规范性分析的基础。
决策指标分两类：效益型（正向）指标，数值越大越优； 成本型指标（逆向指标），数值越小越优。
xij
x max j
x min j
• 其中 xm jaxm axx1j,x2j,....xm j
xm jinm inx1j,x2j....,xm j
属性权值的比较与分配
• 在多属性决策问题中，相对于决策者来说， 不同属性的重要程度往往是不一样的。因此 ，在进行多属性决策分析之前，应首先确定 每一属性的权值。常用的权值确定方法主要 有两类：
极大－极大型（maximax）
• 该方法只考虑每个方案中最好的属性值 ，然后选出好中之好者对应的方案作为 决策的结果，它反映了某些特定的决策 情形，譬如运动员的选拔问题在许多情 况下只关注运动员成绩最好的某个单项 技能而不在乎运动员在其它项目中的表 现和水准。为了体现这一思想，乐观型 决策的优先解由以下公式确定：
Electre方法
Electre 是 Elimination et Choice Translating Reality 的缩写，最初是由 Benayoun 及其合 作者提出，后来经其他人多次改进，才有了现在的版本。 鉴于方案集上优先关系的连通性，在实际问题中由于决策者认识上的偏差或者信息 的不充分而难以保证，Electre 方法引进了“弱支配关系（Outranking Relationship)”
• 第一类是基于决策者自身认识和经验的主观 比较法，适用于决策矩阵未知的情况；
• 第二类是基于属性值特征的客观分析法。适 用于决策矩阵已知的情况
• 这一方法要求决策者将属性两两之间作
成对的比较，给出每对同性的权重比
i
， 比值的确定方式参见表
i, j1,2,....n
j
• 依据上述比较结果可构造权重比炬阵
的概念，记为 Ai Aj ，以表现方案之间的偏序结构。所谓弱支配关系是指虽然方案
与之间并不存在严格的支配关系，但决策者有理由相信 Ai 优于 Aj ，从而愿意承担由
此产生的风险。换言之， Ai Aj 被视为建立在某种风险之上的 Ai 优于 Aj 。
Electre 方法的基本思想是通过构造一系列的弱支配关系来淘汰劣方案．从而 逐步地缩小方案集，直到决策者能从中选出最满意的方案为止。由于弱支配关 系的构造方法是基于“和谐性”’与“不和谐性”的检验．故 Electre 方法也被 称为和谐性分析方法。
• 满意解（Satisfying Solution）在所有属性上都能满足 决策者要求的可行解披称为满意解。显然，满意解可 以不是有效解。
• 优先解（Preferred Solution）：最能满足决策者指定 条件的有效懈被称为优先解
• 理想解（Ideal Solution）：由各属性在现有方案中可 能具有的最好结果组合而成的解被称为理想解。
A * A kk ( 1 ,2 , m ) ,x k m a ix m a jx x ij
A * A kk ( 1 ,2 , m ) ,x k m a ix m j in x ij
• 极大－极小型决策方法体现了“坏中求 好”的保守原则，它先选出每个方案中 最差的属性值．令其中最好属性值所对 应的方案作为决策的结果。譬如人的寿 命取决于人体中受害最重、影响最大的 某个器官；链条的强度取决于其中最薄 弱的一个环节。这些都反映出了该决策 方法合理性的一面。下式将给出决策的 优先解。
最高 很高
高
01
3
平均
低
5
7
很低 最低
9
10
01 最低 很低
3
5
7
9
10
低
平均
高
很高 最高
属性值的规范化处理
• 所谓属性值的规范化处理就是要消除量 纲的影响，并将所有数值的大小全部统 一到单位区间内，这样才有比较的基础 。
• 在多属性决策分析中，最常用的数据 规范化方法主要有以下两种。
• 向量法。该方法的数值转换公式为：
具体计算过程
步骤 1：决策矩阵规范化：规范方式有向量法与比例法两种，其转换公式分别为
• 简而言之
• 从本质上来说，多属性是对事物的评价 选择问题：多目标决策是对方案的规划 设计问题。由多属性决策领域可自然延 伸到群决策领域；而从多目标决策空间 将会扩展到系统的优化与设计空间。
第一节 多属性决策的准备工作
多属性决策的准备工作包括：决策问题的描述、相关信息的采 集（即形成决策矩阵）、决策数据的预处理和方案的初选（或 称为筛选）。
• 在多属性决策问题中，由于属性指标之间的相互矛盾 与制衡，因而不存在通常意义下的最优解。取而代之 的是有效解（也称非劣解）、满意解、优先解、理想 解、负理想解和折衷解，它们被分别定义如下：
• 有效解（Efficient Solution）：不被任何其它可行解所 支配的可行解被称为。这里，所谓支配应理解为在所 有属性上得到的结果都不比对方差，而且至少在一个 属性上得到的结果比对方好。
一般情形下i rij。j 但可以根据最小二
乘法原理选择一组权值 1,2, n ，
使其误差的平方和最小。即
nn
m in Z =
( rij j i ) 2
i1 j1
n
s.t i 1 i1
i 0 i 1, 2, n
Leabharlann Baidu
例题
• 已知判断矩阵R为：
1 1 3 1 2
R
3
1
3
2 1 3 1
赫威斯型《Hurwicz）
• 为了克服极大－极大型决策和极大－极 小型决策的极端片面性，赫威斯型决策 采用线性组合的方式给决策者留下了自 行调节的余地。其优先解的表达式为
A * A k k ( 1 , 2 ,m ) , x k m a ix m a jx x i j ( 1 ) m i j n x i j