模糊数学课件(清晰易懂)

模糊彩色电视机——可根据室内的光线、距离 屏幕 的远近来自动调节屏幕的亮度和音量的大小。 模糊空调器——由于用微机进行模糊控制，到了 设定时刻，空调器能够根据室温需要，采用经济的 工作状态，调节合适的房间温度，既省电又省事。 模糊煮饭器——一次最多可煮1.8升米饭，内装 锅体温度、室温、蒸气三种传感器，用它煮饭时， 每分钟检测一次加热状况，根据检测结果采用模糊 理论对火力强弱进行微妙控制，使煮出来的米饭松 软可口。
A A, A , A U U , A U A
c c ( A ) A, 7. 还原律
c c c c c c ( A B ) A B , ( A B ) B A , 8. 对偶律
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三、隶属函数的确定 1、模糊统计法
模糊统计试验的四个要素： （1）论域U；
表示取大； 表示取小。
交： ( A B )( x ) A( x ) B( x ), x U
补： Ac ( x ) 1 A( x ), x U
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并交余计算的性质 1. 幂等律 2. 交换律
A A A, A A A, A B B A, A B B A,
（2）U中的一个固定元素 u0 ;
* A （3）U中的一个随机运动集合 ;
（4）U中的一个以 A* 作为弹性边界的模糊子集A，
* A 制约着 A 的运动。 可以覆盖 u0 , 也可以不覆盖 u0 , 致使 u0对A的隶属关系是不确定的。 *
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u0 是固定的，而 A* 在随机变动。 特点：在各次试验中，
称R为模糊单位矩阵。
0 0 0.1 1 0 例如： R 0 0.5 0.7 0.3 0
0 0 0 0 0 0
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（1）模糊矩阵间的关系及运算
定义：设 A (aij )mn , B (bij )mn 都是模糊矩阵，定义
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模糊数学绪论
•产生 1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》
(Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )
•基本思想
用属于程度（隶属度）代替属于或不属于。
如某员工属于优秀的程度为0.6, 属于良好的程度 为0.2，属于一般的程度为0.1，属于较差的程度 为0.1。
1
0
50
U
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模糊集合的运算
二、模糊集的运算 定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义 相等： A B A( x ) B( x ), x U
包含：A B A( x ) B( x ), x U
并：
( A B)( x) A( x) B( x), x U
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（3）模糊矩阵的转置
定义：设 A (aij )mn , 称 AT (aij )mn 为A的
T
转置矩阵，其中 aij a ji 。 性质：
T
1 2
3
( A ) A.
T T
( A B)T AT BT ;( A B)T AT BT ;
( A B ) B A ; ( A ) ( AT )n .
A B (cij )mn
(aik bkj ) 。 为A与B的合成，其中 cij k 1
即： C A B cij (aik bkj )
k 1 s s
定义： 设A为 n n 阶，则模糊方阵的幂定义为
A2 A A, A3 A2 A,, An An1 A
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常用的模糊分布
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24
3、其它方法
德尔菲法：专家评分法；
（1）选择专家； （2）确定影响债权价值的因素，设计价值分析对象征询意 见表； （3）向专家提供债权背景资料，以匿名方式征询专家意见； （4）对专家意见进行分析汇总，将统计结果反馈给专家； （5）专家根据反馈结果修正自己的意见； （6）经过多轮匿名征询和意见反馈，形成最终分析结论。
0 0 u 50 u 50 2 1 O(u ) (1 ( ) ) 50 u 100 5
1
0 50
U 100
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再如，Y= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属 于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：
1 0 u 25 u 25 2 1 Y (u ) (1 ( ) ) 25 u 100 5
R 苹果x1 乒乓球x2 书x3
苹果x1
乒乓球x2
书x3
篮球x4
花x5
桃x6
菱形x7
1.0 0.7 0
0.7 1.0 0
0 0 1.0
0.7 0.9 0
0.5 0.4 0
0.6 0.5 0
0 0 0.1
篮球x4
花x5 桃x6 菱形x7
0.7
0.5 0.6 0
0.9
0.4 0.5 0
0
0 0 0.1
1.0
模糊统计试验过程：
（1）做n次试验，计算出
u0 A*的次数 u0对A的隶属频率 n （2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为
u0 对A的隶属度：
u0 A*的次数 A( u0 ) lim n n
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对129人进行调查, 让他们给出“青年人”的年龄区间，
18-25 14-25 15-30 ┅ 15-30 17-30 18-30 18-35 ┅ 18-30 17-28 18-35 17-30 ┅ 17-25 18-25 18-35 18-25 ┅ 18-29 16-35 16-25 18-35 ┅ 18-28
T T T n T
4 5
( Ac )T ( AT )c . A B AT BT .
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（4）模糊矩阵的 截矩阵
问年龄 u0 27属于模糊集A（青年人）的隶属度。
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对年龄27作出如下的统计处理：
n 隶属次数 10 6 20 14 30 23 40 31 50 39 60 47 70 53
隶属频率
n
0.60
80
0.70
90
0.77
100
0.78
110
0.78
120
0.78
129
0.76
隶属次数
隶属频率
62
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设有七种物品：苹果、乒球、书、篮球、花，桃、菱形组成的一个论域U， 并设 x1 , x2 · · ·x7 分别为这些物品的代号，则 U x1 , x2 , , x7 现 在就物品两两之间的相似程度来确定它们的模糊关系。 假设物品之间完全相似者为“1”、完全不相似者为“0”，其余按具体相 似程度给出一个0~1之间的数，就可确定出一个U上的模糊关系R，列表如下
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0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 设A 例 5： , B 0.3 0.4 , 则 0.1 0.2 0.3 0.5 0.6 0.1 0.2 0.2 0.5 0.6 A B B A 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.4 0.5 0.5
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模糊数学绪论
• 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择； 人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐 • 模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯
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四、模糊关系与模糊矩阵
1.模糊关系的定义 所谓A，B两集合的直积 A B (a , b) a A , b B 中的一个模糊关系R，是指以 A B 为论域的一个模糊子 集，序偶 (a , b) 的隶属度为 R (a , b) 。 一般地，若论域为n个集合的直积 A1 A2 An ，则它所 对应的是n元模糊关系R，其隶属度函数为n个变量的函 数 。显然当隶属度函数值 R (a1 , a2 , , an ) 只取“0”或“1”时， 模糊关系就退化为普通关系。
0.4 0.5 0
0.4
1.0 0.4 0
0.5
0.4 1.0 0
0
0 0 1.0
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四、模糊矩阵 定义：设 R (rij )mn ,0 rij 1, 称R为模糊矩阵。 当 rij 只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。
当模糊方阵 R (rij )nn的对角线上的元素 rij 都为1时，
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下面我们正式走进 模糊的世界
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模糊集合
一、经典集合与模糊集合
.u .u A
u A

A
u A
非此及彼
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亦此亦彼
模糊集合 A , 元素 x ~
A U
若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部， 则用 x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。
所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人 认为x5 质量好
则模糊集A（质量好）
0.81 0.53 1 0 0.24 A x1 x2 x3 x4 x5
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例2：考虑年龄集U=[0,100]，O=“年老”，O也是一个年龄集， u = 20 ∉ A，40 呢？…札德给出了 “年老” 集函数刻画:
3. 结合律 A ( B C ) ( A B) C , A ( B C ) ( A B) C 4. 吸收律 A ( A B) A, A ( A B) A
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5. 分配律 A ( B C ) ( A B) ( A C ), A ( B C ) ( A B) ( A C ) 6. 0-1律
~ ~ ~
8
模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：
（1）Zadeh表示法
A( x1 ) A( x2 ) A( xn ) A x1 x2 xn
A( xi ) 这里 表示 xi 对模糊集A的隶属度是 A( xi ) 。 xi
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（2）序偶表示法
A {( x1 , A( x1 )), ( x2 , A( x2 )),, ( xn , A( xn ))}
（3）向量表示法
A ( A( x1 ), A( x2 ),, A( xn ))
若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：
A( x ) A x xU
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例1. 有100名消费者，对5种商品 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 评价，
结果为：81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好，
0.78
68
0.76
76
0.76
85
0.75
95
0.79
101
0.78
A(27) = 0.78
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2、指派方法
这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种 方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模 糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。
一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小 型，中间型。 偏小型：适合描述 “小”“少”“冷”“浅”“疏”“青年”等 偏大型：适合描述 “大”“多”“热”“深”“密”“老年”等 中间型：适合描述“中”“不太多”“不太
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定义：设U是论域，称映射
A : U [0,1],
~
x A ( x ) [0,1]
A 称为 A 隶属函 确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 ~ ~ ~
~
A ( x ) 称为 x 对 A 数， 的隶属程度，简称隶属度。 ~
~
A ( x ) 越接近于0, 表示 x 隶属于A 的程度越小； A ( x ) 越接近于1, 表示 x 隶属于A 的程度越大； A ( x )＝0.5, 最具有模糊性，过渡点
相等：A B aij bij 包含： A B aij bij 并： A B (aij bij )mn
交： A B (aij bij )mn
余： Ac (1 aij )mn
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（2）模糊矩阵的合成 定义：设 A (aij )ms , B (bij )sn , 称模糊矩阵