三角恒等变换课件

第6课时 三角恒等变换
工具
第三章
三角函数
栏目导引
工具
第三章
三角函数
栏目导引
1．化简三角函数式的基本要求：
(1)能求出值的要求出值来； (2)使三角函数式的项数、三角函数的种类及角的种类尽可能少； (3)使三角函数式的次数尽可能低； (4)分母中尽量不含三角函数式和根式．
工具
第三章
三角函数
栏目导引
700＋900 2π ＝800，A＝100，且 T＝12＝ ω . 2 π ∴ω＝ .∵图象过点(0,700)， 6
工具
第三章
三角函数
栏目导引
π 故有 100sin6×0＋φ＋800＝700，
π π π ∴ ×0＋φ＝2kπ－ ⇒φ＝2kπ－ ，k∈Z. 6 2 2 π 取绝对值最小的，故 φ＝－ . 2
工具
第三章
三角函数
栏目导引
2．求值：主要有三类求值问题
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是 很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用 观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数 而得解．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角
α α 4sin cos cos α 2 2
α α α α α cos －sin cos ＋sin sin 2 2 2 2 2
＝
α cos cos α 2
2α α α cos －sin2 sin 2 2 2
＝
α cos cos α 2
α ＝tan 2
工具
第三章
工具
第三章
三角函数
栏目导引
1 2cos x－2cos x＋2 【变式训练】 1.化简： π π 2tan4－xsin2x＋4
4 2
1 4cos4x－4cos2x＋1 2 解析： 原式＝ π sin4－x 2π 2· · 4－x cos π cos4－x 2cos2x－12 ＝ π π 4sin4－xcos4－x cos22x cos22x 1 ＝ ＝ ＝ cos 2x. π 2cos 2x 2 2sin2－2x
工具
第三章
三角函数
栏目导引
三角函数实际应用问题的解题步骤 (1)确立三角函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋b. (2)建立变量关系，根据题意确立A、ω、φ、b. (3)解决实际问题，作出结论．
工具
第三章
三角函数
栏目导引
如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地
面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆 时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h. (1)求h与θ间的函数关系式； (2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，
工具
第三章
三角函数
栏目导引
π (2)点 A 在圆上转动的角速度是 rad/s， 30 π 故 t 秒转过的弧度数为30t， πt ∴h＝5.6－4.8cos ，t∈[0，＋∞)． 30 到达最高点时，h＝10.4 m. π π 由 cos30t＝－1，得30· T＝π，∴t＝30， ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为 30 秒．
工具
第三章
三角函数
栏目导引
cos 2α＋sin 2α＋1 1 3．已知 tan α＝2，由 等于( cos2α A．3 C．12 B．6 3 D.2
)
cos 2α＋sin 2α＋1 解析： cos2α 2cos2α＋2sin α· α cos ＝ cos2α ＝2＋2tan α＝3.
答案： A
工具
工具
第三章
三角函数
栏目导引
【变式训练】
3.某昆虫种群数量在1月1日时低至700只，而在当
年7月1日时高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变 化． (1)求出种群数量关于时间t的函数解析式(t以月为单位)； (2)画出种群数量关于时间t的函数图象．
解析：
(1)设所求的函数解析式为 y＝Asin(ωt＋φ)＋B，则 B＝
的目的．
(3)给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判 断该角对应区间的单调性，从而达到解题的目的．
工具
第三章
三角函数
栏目导引
1．在△ABC中，已知2sin A·cos B＝sin C，那么△ABC一定是(
A．直角三角形 C．等腰直角三角形 B．等腰三角形 D．正三角形
)
解析： ∵2sin Acos B＝sin(A＋B)，且A，B∈(0，π)， ∴sin(A－B)＝0，且－π<A－B<π， ∴A＝B为等腰三角形． 答案： B
∴sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α
工具
第三章
三角函数
栏目导引
7 2 3 2 4 ＝ 10 ×5＋ 10 ×5 ＝ 25 2 2 ＝ . 50 2
π 3 由 ＜β＜π 得 β＝ π. 2 4
2 3 或求cos β＝－ ，得β＝ π 2 4
π π π π sin sin －x＋cos cos －x ＝2 2 6 4 6 4 π π ＝2 2cos6－4＋x π x－ . ＝2 2cos 12
工具
第三章
三角函数
栏目导引
(2)方法一：原式＝
α α α α 2α 2α 2sin cos －2sin 2sin cos ＋2sin 2 2 2 2 2 2
工具
第三章
三角函数
栏目导引
π π 化简：(1) 2sin4－x＋ 6cos4－x；
sin α＋cos α－1sin α－cos α＋1 (2) . sin 2α
解析：
1 π π 3 (1)原式＝2 2 sin －x＋ · －x cos 4 2 2 4
工具
第三章
三角函数
栏目导引
cos β＝cos α－1， ③ 2 (2)由 a＝b＋c 可得 sin β＝sin α＋1. ④ 2
1 3 ③ ＋④ 得 cos α－sin α＝2，∴2sin αcos α＝4.
2 2
3 ∴sin 2α＝ . 4
工具
第三章
三角函数
栏目导引
π α 1 【变式训练】 2.已知 0＜α＜2＜β＜π，tan2＝2， 2 cos(β－α)＝ 10 . (1)求 sin α 的值；(2)求 β 的值．
工具
第三章
三角函数
栏目导引
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简所求式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
工具
第三章
三角函数
栏目导引

已知 α、β 为锐角，向量 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
2．三角函数式的求值
三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求
角． (1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函 数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数． (2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差 异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时 也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题
并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？
工具
第三章
三角函数
栏目导引
解析： (1)以圆心 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则 π 以 Ox 为始边，OB 为终边的角为 θ－ ， 2 故点 B 的坐标为
π π 4.8cosθ－ ，4.8sinθ－ ， 2 2 π ∴h＝5.6＋4.8sinθ－2＝5.6－4.8cos θ(θ≥0)．
三角函数
栏目导引
[sin α＋cos α－1][sin α－cos α－1] 方法二：原式＝ sin 2α sin2 α－cos2 α＋2cos α－1 2cos α－2cos2 α ＝ ＝ 2sin αcos α sin 2α 2cos α1－cos α 1－cos α ＝ ＝ 2sin αcos α sin α α 2 α ＝ α α＝ α＝tan2 2sin cos cos 2 2 2 2sin2 sin α 2
1 1 a· c＝(cos α，sin α)· ，－2 2
①
3－1 1 1 ＝ cos α－ sin α＝ . 2 2 4
工具
②
第三章
三角函数
栏目导引
π π π π 又∵0＜α＜ ，0＜β＜ ，∴－ ＜α－β＜ . 2 2 2 2 π 由①得 α－β＝± ， 4 π 5π 由②得 α＝6.由 α、β 为锐角，得 β＝12. 2 从而 2β－α＝3π.
工具
第三章
三角函数
栏目导引
2．已知 π＜α＜2π，则 cos A．－ C．－ 1－cos α 2 1＋cos α 2
α 等于( 2 B. D.
) 1－cos α 2 1＋cos α 2
π α 解析： ∵π＜α＜2π，∴2＜2＜π， α ∴cos2＜0， α ∴cos ＝－ 2
答案： C
1＋cos α . 2
α 1 解析： (1)∵tan2＝2，
α α α ∴sin α＝sin2·＝2sin2cos2 2
α α α 2sin2cos2 2tan2 ＝ α α＝ α sin22＋cos22 1＋tan22
工具
第三章
三角函数
栏目导引
1 2× 2 4 ＝ ＝ . 12 5 1＋2 π 4 3 (2)∵0＜α＜ ，sin α＝ ，∴cos α＝ . 2 5 5 π 又 0＜α＜2＜β＜π，∴0＜β－α＜π. 2 π 由 cos(β－α)＝ 10 ，得 0＜β－α＜2. ∴sin(β－α)＝ 98 7 2 ＝ ， 10 10
答案： π
工具
第三章
三角函数
栏目导引
π cos 2θ 5．若 tan4－θ＝3，则 ＝________. 1＋sin 2θ
解析：
π 1－tan θ －θ＝ ∵tan 4 ＝3， 1＋tan θ
1 ∴tan θ＝－2. cos2θ－sin2θ cos 2θ ∴ ＝ 1＋sin 2θ sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ cos θ－sin θ ＝ cos θ＋sin θ
第三章
三角函数
栏目导引
1 3 2 4．函数 y＝ sin 2x＋ 3cos x－ 的最小正周期等于________． 2 2
解析：
1 3 3 1 3 y＝ 2sin 2x＋ 2 (1＋cos 2x)－ 2 ＝ 2 sin 2x＋ 2 cos 2x＝
π sin2x＋3.所以 T＝π.
工具
第三章
三角函数
栏目导引
1－tan θ ＝ 1＋tan θ 1 1＋ 2 ＝ 1＝3 1－2
答案： 3
工具
第三章
三角函数
栏目导引
工具
第三章
三角函数
栏目导引
三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，
把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的 公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的 方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
1 1 c＝2，－2.
3－1 2 (1)若 a· b＝ ，a· c＝ ，求角 2β－α 的值； 2 4 (2)若 a＝b＋c，求 sin 2α 的值．
解析： (1)∵a· b＝(cos α，sin α)· β，sin β) (cos 2 ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝ ， 2
π π ∴所求的函数解析式为 y＝100sin6t－2＋800
π ＝－100cos t＋800. 6
工具
第三章
三角函数
栏目导引
(2)其图象为：
工具
第三章
三角函数
栏目导引
1．三角恒等变换的原则 (1)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为 同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式； (2)消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各 项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．