03-单自由度系统：阻尼自由振动解析
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– 粘性阻尼viscous damping – 库仑阻尼（干摩擦阻尼）Coulomb damping – 结构阻尼structural damping
• 我们将着重讨论粘性阻尼，如果没有特殊说明，有 阻尼系统就是粘性阻尼系统。
5 Theory of Vibration with Applications
2 2
xe
nt
(C1e
n2 - p2 t
C2 e
n2 - p2 t
)
临界阻尼(n = p )情形 r1 r2 n
Theory of Vibration with Applications
x e nt (C1 C2 t )
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第2章
单自由度系统--阻尼自由振动 运动微分方程
c－粘性阻尼系数或粘阻系数。它与物体的形状、尺寸
及介质的性质有关，单位是牛顿· 米/秒(N· s/m)。
6 Theory of Vibration with Applications
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第2章
单自由度系统--阻尼自由振动 运动微分方程
图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模 型。以静平衡位置O为坐标原点，选x轴铅直 向下为正，有阻尼的自由振动微分方程
• 阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的物理量。 在理论分析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻 尼，它是由于气体或液体在某些机械部件中运动， 因而扩散到气体或液体中的热量等能量耗散的度量。
Theory of Vibration with Applications
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--阻尼自由振动 第 2章 --阻尼自由振动 第 2章 单自由度系统 单自由度系统 引言 • 比如汽车上常用的液压 筒式减振器，其内部的 工作缸被活塞分成上下 两腔，并充满液体。当 活塞与工作缸有相对运 动时，强迫液体经过活 塞上的阀在上下腔运动， 液体经脱阀时产生的阻 力，使运动能量变为热 能耗散掉。
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--阻尼自由振动 第 2章 --阻尼自由振动 第 2章 单自由度系统 单自由度系统 引言
粘性阻尼－若物体以较大速度在空气或液体中运 动，阻尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在粘 性介质中运动（包括两接触面之间有润滑剂时）可以 认为阻尼与速度成正比。
物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系
Fc cx
r1 r2 n
x e nt (C1 C2 t )
这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减
Theory of Vibration with Applications
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第2章
单自由度系统--阻尼自由振动 运动微分方程
弱阻尼(z<1)情形 （n<p）
2 2 r n j p n n j p' 1 特征根 2 2 r n j p n n j p' 2
第2章 单自由度系统--计算固有频率的能量法
2.3 阻尼自由振动
Theory of Vibration with Applications
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第2章 单自由度系统--阻尼自由振动
阻尼自由振动
2
第2章
单自由度系统--阻尼自由振动 引言
• 什么是阻尼？
– “阻”和“尼”均有“阻碍”、“阻止”的意思
Ae－nt － 阻尼振动振幅；
这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的 衰减运动。衰减运动的频率为 p’，衰减速度取决于 zp’，二者分 别为本征值的虚部和实部。
衰减系数，单 位1/秒(1/s)
cx kx m x
c 2n m
2nx p x0 x
2
k p m
2
方程的解为
xe
rt
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Theory of Vibration with Applications
第2章 运动微分方程
单自由度系统--阻尼自由振动 运动微分方程
p'
p2 n2
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第2章 另一种形式
单自由度系统--阻尼自由振动 运动微分方程
x Ae nt sin( p' t )
振 幅
A
2 （ x nx ) 2 x0 0 2 0 p'
初 相 位 角
教材P29（2.17） 式有误！
x0 p' t an 0 nx0 x
Theory of Vibration with Applications
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第2章
单自由度系统--阻尼自由振动 运动微分方程 x
z＝1
z>1
2
n 引入阻尼比 z p
强阻尼(z>1)情形
wk.baidu.com
r zp p z 1
x C1e
r1t
C2 e
r2t
O
t
临界阻尼(z＝1)情形
r －zp j p'
xe
nt
(C1 cos p' t C2 sin p' t )
其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。 设t = 0时， x x0，x x 0 可解 0 nx0 x C1=x0 C 2 其中 j 1 p'
Theory of Vibration with Applications
临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状 态。这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上 发生变化的重要临界值。 设cc为临界阻尼系数，由于z =n/p =1，即
cc 2nm 2 pm 2 km
cc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由
c 2nm n z cc 2 pm p
z 阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是z 称为阻尼比的原因。
2 x 2nx p x 0
特征方程 r 2 2nr p 2 0
2 2 r n n p 1 特征根 2 2 r2 n n p
特征根与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关 强阻尼（n>p）情形
r n n p
4 Theory of Vibration with Applications
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--阻尼自由振动 第 2章 --阻尼自由振动 第 2章 单自由度系统 单自由度系统 引言
• 振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。 如果现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在 无休止的运动中。客观实际是和谐的，有振动又有 阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。 • 最常见的阻尼是
• 我们将着重讨论粘性阻尼，如果没有特殊说明，有 阻尼系统就是粘性阻尼系统。
5 Theory of Vibration with Applications
2 2
xe
nt
(C1e
n2 - p2 t
C2 e
n2 - p2 t
)
临界阻尼(n = p )情形 r1 r2 n
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x e nt (C1 C2 t )
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第2章
单自由度系统--阻尼自由振动 运动微分方程
c－粘性阻尼系数或粘阻系数。它与物体的形状、尺寸
及介质的性质有关，单位是牛顿· 米/秒(N· s/m)。
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第2章
单自由度系统--阻尼自由振动 运动微分方程
图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模 型。以静平衡位置O为坐标原点，选x轴铅直 向下为正，有阻尼的自由振动微分方程
• 阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的物理量。 在理论分析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻 尼，它是由于气体或液体在某些机械部件中运动， 因而扩散到气体或液体中的热量等能量耗散的度量。
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--阻尼自由振动 第 2章 --阻尼自由振动 第 2章 单自由度系统 单自由度系统 引言 • 比如汽车上常用的液压 筒式减振器，其内部的 工作缸被活塞分成上下 两腔，并充满液体。当 活塞与工作缸有相对运 动时，强迫液体经过活 塞上的阀在上下腔运动， 液体经脱阀时产生的阻 力，使运动能量变为热 能耗散掉。
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--阻尼自由振动 第 2章 --阻尼自由振动 第 2章 单自由度系统 单自由度系统 引言
粘性阻尼－若物体以较大速度在空气或液体中运 动，阻尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在粘 性介质中运动（包括两接触面之间有润滑剂时）可以 认为阻尼与速度成正比。
物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系
Fc cx
r1 r2 n
x e nt (C1 C2 t )
这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减
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第2章
单自由度系统--阻尼自由振动 运动微分方程
弱阻尼(z<1)情形 （n<p）
2 2 r n j p n n j p' 1 特征根 2 2 r n j p n n j p' 2
第2章 单自由度系统--计算固有频率的能量法
2.3 阻尼自由振动
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阻尼自由振动
2
第2章
单自由度系统--阻尼自由振动 引言
• 什么是阻尼？
– “阻”和“尼”均有“阻碍”、“阻止”的意思
Ae－nt － 阻尼振动振幅；
这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的 衰减运动。衰减运动的频率为 p’，衰减速度取决于 zp’，二者分 别为本征值的虚部和实部。
衰减系数，单 位1/秒(1/s)
cx kx m x
c 2n m
2nx p x0 x
2
k p m
2
方程的解为
xe
rt
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第2章 运动微分方程
单自由度系统--阻尼自由振动 运动微分方程
p'
p2 n2
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单自由度系统--阻尼自由振动 运动微分方程
x Ae nt sin( p' t )
振 幅
A
2 （ x nx ) 2 x0 0 2 0 p'
初 相 位 角
教材P29（2.17） 式有误！
x0 p' t an 0 nx0 x
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单自由度系统--阻尼自由振动 运动微分方程 x
z＝1
z>1
2
n 引入阻尼比 z p
强阻尼(z>1)情形
wk.baidu.com
r zp p z 1
x C1e
r1t
C2 e
r2t
O
t
临界阻尼(z＝1)情形
r －zp j p'
xe
nt
(C1 cos p' t C2 sin p' t )
其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。 设t = 0时， x x0，x x 0 可解 0 nx0 x C1=x0 C 2 其中 j 1 p'
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临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状 态。这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上 发生变化的重要临界值。 设cc为临界阻尼系数，由于z =n/p =1，即
cc 2nm 2 pm 2 km
cc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由
c 2nm n z cc 2 pm p
z 阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是z 称为阻尼比的原因。
2 x 2nx p x 0
特征方程 r 2 2nr p 2 0
2 2 r n n p 1 特征根 2 2 r2 n n p
特征根与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关 强阻尼（n>p）情形
r n n p
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• 振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。 如果现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在 无休止的运动中。客观实际是和谐的，有振动又有 阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。 • 最常见的阻尼是