框架的稳定分析

框架的稳定分析
1.1 概述
钢框架是钢结构的一种基本受力体系，广泛地用于工业与民用建筑（图 1.1），包括多高层建筑、工业厂房、海洋平台结构、电厂锅炉支撑结构、煤矿井架支撑结构等。

世界各地相继建成大量的钢框架工程，典型实例有：芝加哥家庭保险公司大楼（1885年，世界第一幢高层建筑，10层，55m），北京长富宫中心（27层，91m），北京京广中心大厦（55层，196m），深圳地王大厦（81层，384m），东京新宿三井大厦（58层，210m），日本ACT大厦（49层，210m）等（陈富生，2004）。

图1.1 钢框架的工程应用
根据结构形式、受力方式、材料性质不同，结构极限承载力可能取决于材料最大强度、结构稳定、材料疲劳或脆断等因素。

钢材强度很高，具有极好的延性，钢构件壁薄修长，构造轻巧。

在轴压或压弯作用下，结构可能出现局部或整体失稳，稳定因素控制钢结构和构件的极限承载力。

现代工程史上不乏因失稳而造成的工程事故。

1907年加拿大魁北克大桥发生施工事故，9000t钢结构全部坠入河中，75名施工人员遇难，破坏的原因是悬臂受压下弦杆失稳。

1978年美国哈特福特体育馆大跨度网架屋盖，平面尺寸92m×110m，因支撑杆件偏心和扭转屈曲而塌落。

1988年我国大连某机械厂会议室的梭形轻钢屋架，因受压腹杆的侧向支撑失效而屈曲，导致特大安全事故。

（Timoshenko，1961；吕烈武，1983；陈骥，2003）。

本文主要讨论钢框架体系的静力弹塑性稳定极限承载力计算方法以及框架临界支撑刚度的确定问题。

按照结构的抗侧力体系和构造形式，框架体系可以分为纯框架和支撑框架（图1.2~图1.5）两种形式。

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图1.2 纯框架 图1.3 框架-剪力墙
(a) 对角式 (b) 十字交叉式 (c) 人字形式 (d) K字形式
图1.4 中心支撑框架
(a) 单斜杆式 (b) 门架式 (c) 人字形式 (d) V字形式
图1.5 偏心支撑框架
1.1.1 纯框架
纯框架亦称抗弯框架，是沿纵横方向由多榀框架构成，用来承受竖向和水平荷载的结构。

梁柱节点常采用刚性连接。

它的优点是柱网布置灵活，延性好，塑性变形能力强，抗震性能优
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良，施工简便等。

对二十层以下的办公楼、旅馆及商场等公共建筑，纯框架具有良好的适应性。

在水平荷载作用下，纯框架的侧移由两部分组成。

第一部分侧移由层间剪力引起的梁柱弯曲变形产生。

框架下部梁柱内力大，层间变形也大，越到上部层间变形越小，结构整体呈现剪切型变形。

第二部分侧移由整体倾覆力矩引起的柱轴向拉伸和压缩变形产生。

这种侧移在上部各层较大，越到底部层间变形越小，结构整体呈现弯曲变形。

纯框架的第一部分侧移占主要地位，随着建筑高度加大，第二部分变形比例逐渐加大，但是总侧移仍然呈现剪切型变形特征。

纯框架是一种典型的柔性结构体系，抗侧刚度较小，因此限制了框架结构的使用高度。

1.1.2 支撑框架
为建造二十层以上的高层建筑，同时避免过多地加大梁柱截面及相应的用钢量，设置支撑可经济有效地提高结构的抗侧刚度和极限承载力。

支撑类型的选择与抗震设防、建筑层高、柱距，以及使用要求（如人行通道、门洞和空调管道布置等）有关，因此需要根据不同的设计条件选择适宜的支撑形式。

支撑框架体系是由纯框架体系演变而来，即在框架体系的部分框架柱之间设置竖向支撑。

在水平荷载作用下，通过楼板的变形协调与刚接框架共同工作形成双重抗侧力体系。

支撑是第一道防线，承担大部分水平剪力；框架是第二道防线，承担少部分水平剪力。

支撑框架中的支撑产生屈曲或破坏后，由于支撑杆件一般不承受竖向荷载，所以不影响结构的竖向荷载承载力，不致危及结构的基本安全要求。

按支撑构造形式，支撑框架体系分为中心支撑框架、偏心支撑框架、框架－剪力墙等。

中心支撑框架是指斜杆与横梁及柱汇交于一点或两根斜杆与横梁交于一点，也可与柱交于一点，但汇交时无偏心距。

中心支撑构造简单，侧向刚度较大；但在水平地震作用下，支撑容易产生重复塑性压屈，导致楼层受剪承载力和结构抗侧刚度迅速降低，层间侧移过大。

偏心支撑框架指将斜杆端部偏离框架对角线，产生预先设定的偏心率，利用偏心梁段剪切或弯曲屈服来保持支撑弹性，从而保证结构稳定承载力和良好耗能性，其抗侧刚度介于纯框架和中心支撑框架之间（Popov，1988；李国强，2006）。

框架－剪力墙体系由钢框架和混凝土剪力墙构成。

剪力墙抗弯刚度较大，作为主要抗侧力体系；而框架部分主要承担竖向荷载。

按支撑的受力和变形特性，支撑框架体系可分为剪切型支撑框架、弯剪型支撑框架和弯曲型支撑框架。

在水平力作用下，中心支撑和偏心支撑体系产生剪切变形，称为剪切型支撑；剪力墙支撑则以弯曲变形为主，称为弯曲型支撑。

当剪力墙开洞面积较大时，剪切变形影响不能忽视，其侧向稳定性受弯曲和剪切双重效应影响，此类介于理想的剪切型和弯曲型支撑之间的
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支撑被称为弯剪型支撑。

支撑框架变形由纯框架和支撑两个竖向分体系的变形共同构成。

对一般多高层建筑，考虑纯框架和支撑协同工作，中心支撑或偏心支撑框架的变形曲呈剪切型；剪力墙支撑框架的变形曲线呈弯剪型，只有当建筑高宽比很大且框架部分刚度很弱时，剪力墙支撑框架变形可能整体呈弯曲型。

剪切型支撑和弯曲型支撑的工作性能区别在于：在某层产生相对位移时，剪切型支撑体系相邻层内不产生剪力；而弯曲型支撑相邻层内必须施加剪力才能使其他层间不产生相对侧移。

Aristizabal（1997）和Tong（2001）采用层模型（图1.6）对交叉支撑框架进行分析，层模型包含计算楼层所有框架柱和支撑，以及上下楼层柱。

它假定所有支撑均为剪切型支撑，各楼层的支撑作用相互独立，从而起到简化计算分析作用。

在层数不多时，交叉支撑框架体系层间影响并不显著，可以归为剪切型支撑框架。

图1.6 剪切型支撑框架层模型
侧向荷载作用下，剪力墙体系弯曲变形显著，而弯曲变形的特点是层间相对侧移受到相邻楼层影响较大，上下层支撑单元存在相互支援作用。

若按层模型对剪力墙支撑框架进行分析，很难合理地考虑支撑作用，必须对弯曲型支撑框架进行整体稳定分析。

按支撑结构的抗侧刚度大小，钢结构规范GB50017-2003将支撑框架划分为强撑框架和弱支撑框架，并给出了两者的判定准则。

强支撑框架是指支撑抗侧刚度足够大，使得框架发生无侧移失稳；弱支撑是指支撑刚度不足以使框架发生无侧移失稳。

在竖向荷载作用下，强支撑框架发生无侧移失稳，框架柱计算长度系数按无侧移失稳确定；弱支撑框架发生混合失稳，失稳模式同时包含了有侧移和无侧移分量，框架稳定承载力的提高与支撑抗侧刚度成正比。

1.2 框架稳定分析方法
由框架分析方法的发展历程，可以清楚地看出其演变的基本趋势：平衡方程由一阶分析发- 4 -
- 5 -展到二阶分析，材料性能由弹性精确到弹塑性，研究对象由平面框架延伸到空间框架、由完善体系推广到缺陷体系，分析手段由理论分析、试验研究拓展到数值分析。

Nethercot （2000）总结了影响框架实际受力性能的主要因素，包括初始几何缺陷、塑性分布、残余应力、板件局部屈曲、节点域变形、荷载分布、连接特性以及支撑等（表1.1），系统地回顾了各种框架分析方法，并指出了它们之间最根本的区别有两条：（1）框架结构几何线性或非线性；（2）材料弹性、刚塑性或弹塑性。

结构若按变形前的轴线建立平衡方程，称为一阶分析，也称为几何线性分析；若按变形后的轴线建立平衡方程，称为二阶分析，也称为几何非线性分析。

几何非线性主要为P −Δ和P δ−效应。

图1.7给出了几种具有代表性的框架分析方法比较（吕烈武，1983）。

表1.1 影响框架性能的主要因素 几何
材料 节点形式 其它 线性 线弹性
铰接连接 楼板 P－△ 刚塑性
刚性连接 柱脚 非线性
弹塑性 半刚性连接
支撑
P E P
P P P 图1.7 典型框架分析方法 1.2.1 计算长度系数法
1.2.1.1 传统计算长度系数法
框架柱并不是作为孤立的构件而存在，而是框架的一部分，构件失稳与结构整体失稳之间存在相互影响。

对构件的稳定性，无论是理想情况还是近似实际模型，理论研究已经成熟（夏志斌，1988；陈惠发，1999）；而对结构整体的稳定性，由于受到构件之间相互作用以及几何、
- 6 - 材料非线性的影响，进行精确分析存在一定的困难。

国内外规范通常采用计算长度系数法进行框架柱设计和整体稳定性验算。

该法的基本步骤为：采用一阶弹性分析确定各种荷载组合下构件的最不利内力；根据中性平衡法、转角位移法、刚度矩阵法或有限元法（陈骥，2003），建立框架达到弹性临界状态时的特征方程，确定各柱的计算长度系数；将各杆件隔离出来，按压弯构件进行稳定承载力验算。

计算长度系数法的最大特点是结构与构件的相互影响通过计算长度系数来考虑，计算比较简单，对规则框架可以给出较好的结果。

Bleich （1952）将框架的失稳模态分为有侧移和无侧移两种。

Julian & Lawrence （1959）根据子结构模型提出有侧移和无侧移框架计算长度系数的计算方法，简化模型采用假定如下：（1）梁柱均为弹性等截面直杆；（2）忽略横梁轴力；（3）框架柱同时屈曲；（4）节点处横梁所提供的约束弯矩按各柱刚度比分配给各柱；（5）无侧移失稳时，横梁两端转角大小相等、方向相反（梁按单向曲率弯曲）；有侧移失稳时，横梁两端转角大小相等、方向相同（梁按双向曲率弯曲）。

钢结构规范GB50017-2003采用上述方法并考虑了不同杆端约束，得到框架柱计算长度系数的近似公式：
1、 无侧移失稳
()()221212121212πππππ24sin 24cos 80K K K K K K K K K K μμμμμ⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞++−−+++=⎢⎥⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣⎦
（1.1） 式中，1K 、2K 分别为相交于柱上端、柱下端的横梁线刚度之和与柱线刚度之和的比值。

当梁远端铰接时，横梁线刚度应乘以1.5；当横梁远端嵌固时，横梁线刚度则应乘以2。

2、 有侧移失稳
()21212ππππ36sin 6cos 0K K K K μμμμ⎡⎤⎛⎞−++=⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦
（1.2） 当梁远端铰接时，横梁线刚度应乘以0.5；当横梁远端嵌固时，横梁线刚度则应乘以23。

实际工程中的框架梁或多或少受到轴力，当轴力不大时，其影响可以忽略。

然而，当梁承受较大时，就不能忽视。

原因是压力使梁抗弯刚度下降，对柱失稳所起的约束作用相应减少。

考虑压力效应的方法是对梁的线刚度乘以折减系数。

无侧移失稳时，子结构模型梁呈一个屈曲半波长b l ，折减系数可取为
- 7 -b N Eb
1N N α=− （1.3a ） 有侧移失稳时，梁为两个屈曲半波，半波长b 2l ，刚度系数系数可取为
b N Eb
14N N α=− （1.3b ） 远端铰支梁，有侧移和无侧移屈曲半波长总等于跨长，折减系数均按式（1.3a ）；远端固定梁，屈曲半波长度接近b 0.7l ，刚度折减系数是
b N Eb
12N N α=− （1.3c ） 式中：b l 、b N 分别为横梁跨度和轴力；22Eb b πN EI l =为横梁欧拉临界力。

中国规范GB50017-2003提供了以梁柱线刚度比为参数的计算长度系数表格或曲线。

欧美各
国采用Giulio
（1983）提出的尺解图法（alignment charts ）及Wood （1974）的曲线表格（nomographs ）等。

1.2.1.2 改进计算长度系数法
计算长度系数不仅和结构的组成有关，而且与荷载分布有关。

当各柱刚度参数φ=不相同时，传统计算长度系数法并不能真实地反映框架稳定承载力。

对这种情形，GB50017虽然提出需要修正，但并未给出相应方法。

门式刚架轻型房屋技术规程CECS102:2002和冷弯薄壁型钢结构技术规范GB50018-2002给出了计算长度系数的修正公式。

i μ= （1.4）
式中：K 为框架计算楼层的弹性层间抗侧刚度；22E0πi i i N EI H =为柱i 欧拉弹性屈曲荷载，i I 、i H 分别为柱i 截面惯性矩和高度。

1.2.1.3 支撑框架计算长度系数
当支撑体系具有足够刚度时，支撑框架将发生无侧移失稳。

规范GB50017-2003判定强支撑框架的准则是
()b b 031.2i i S N N =−∑∑ （1.5）
式中：b S 为支撑结构的临界侧移刚度；b i N ∑、b i N ∑分别为第i 层层间所有框架柱用无侧移和有侧移框架柱计算长度系数算得的轴压杆稳定承载力之和。

- 8 - 框架设置支撑后，要使临界荷载由有侧移失稳模式提高到无侧移失稳模式，则支撑结构的侧移刚度至少等于两种失稳模式临界荷载的差值。

系数3是为了考虑各种缺陷和不确定性因素的影响，而系数1.2则是考虑两种失稳方式的P δ−效应的区别。

当支撑结构的侧移刚度b S 不满足上式要求时，为弱支撑框架。

弱支撑的计算长度系数应在无侧移和有侧移两种模式之间。

为了简便，规范GB50017-2003没有给出弱支撑框架确定计算长度系数的方法，而是直接给出轴压杆稳定系数ϕ的计算公式
()()
b 010b 031.2i i S N N ϕϕϕϕ=+−−∑∑ （1.6） 式中：1ϕ、0ϕ分别为采用无侧移和有侧移框架柱计算长度系数算得的轴心压杆稳定系数。

计算长度系数法实质上是基于构件极限承载力状态的设计，存在如下缺陷（郑廷银，2003；
刘永华，2005）
：（1）结构内力计算模式与构件承载力计算模式不一致；（2）结构整体失稳模式与实际失稳状态不一致，即“同一层柱同时按照相同模式发生对称或反对称失稳”的假定与个别或者少数构件首先达到弹塑性失稳的实际形式不一致；（3）不能准确预测结构体系的破坏模
式和极限承载力；（4）不能准确反映结构整体和构件之间的相互作用；
（5）不能准确描述结构的弹塑性内力重分布；（5）构件可靠度水平不一致；
（6）计算长度系数的确定和构件承载力计算过程繁琐。

1.2.2 高等分析法
要彻底克服计算长度系数法的缺陷，必须建立以结构整体承载极限状态为目标的结构设计
方法，随着计算机技术和有限元理论的发展，出现了高等分析法（Advanced Analysis ）
（Chen ，1994）。

高等分析法主张在结构分析中充分考虑所有重要的非线性因素，直接计算结构的整体极限承载力，以彻底免除构件计算长度和构件相关方程的概念，它实质是结构的二阶弹塑性全过程分析。

澳大利亚钢结构标准AS4100（1990）和欧洲钢结构规范Eurocode 3（2003）已经包含了高等分析的试用性条文。

高等分析将强度理论、稳定理论和塑性理论统一在结构整体分析中，与传统设计方法相比，
具有如下特点（郑廷银，2003）
：（1）可以准确预测结构体系及其组件的破坏模式与极限荷载； （2）可以跟踪结构体系的非弹性内力分布；
（3）可以准确跟踪构件的塑性渐变全过程；（4）免除了传统设计方法中的构件验算步骤；（5）解决了传统设计方法中的结构弹性分析与构件极限状态设计不一致的矛盾；（6）消除了传统设计方法中的结构整体失稳计算模式与结构实际失稳
状态不一致的矛盾。

（7）可以准确计算各种荷载作用下结构的真实弯矩分布，并根据构件的塑性弯矩承载力有目的地在结构中设置一些“断点”，并以这些结构“保险丝”的作用，来确保整体结构及连接在大震作用下的整体安全性。

根据几何非线性的考虑方式，高等分析法可以分为有两类：一类是假定位移或内力插值场的有限单元法，另一类是通过直接求解梁柱单元的平衡微分方程推导出来的稳定函数方法。

而根据材料弹塑性的处理方式，高等分析法可以分为三大类：弹塑性铰法、改进塑性铰法和塑性区法。

1.2.2.1 弹塑性铰法
弹塑性铰法（Liew，1992；White，1993）假定塑化集中在零长度的塑性铰处，既不考虑沿构件长度和截面高度的塑性扩展，也不考虑残余应力的影响。

塑性铰法可以分为一阶塑性铰和二阶塑性铰方法。

对于一阶塑性铰方法，忽略了框架结构的几何非线性，平衡方程建立在变形前的单元上。

对于二阶塑性铰方法，平衡方程中考虑了单元变形后的几何特性，运用稳定函数或采用几何非线性分析以考虑框架的二阶效应。

弹塑性铰法简单高效，但计算精度较低。

弹塑性铰法认为单元边缘屈服，截面即完全进入塑性，形成塑性铰。

对于细长的梁柱单元，其破坏模式接近于弹性失稳，塑性铰法具有很好的精度。

对于粗短的梁柱单元，由于不能考虑塑性开展导致单元刚度的逐渐减小过程，塑性铰法会得到过高的单元强度和刚度。

1.2.2.2 改进塑性铰法
改进塑性铰法以二阶弹塑性铰法为基础，采用稳定函数来考虑二阶效应，包括精化塑性铰法（Liew，1993）和名义荷载塑性铰法（Liew，1994），这两种方法均可考虑塑性铰截面的刚度退化和两塑性铰之间构件的刚度退化。

为考虑构件纵向的塑性扩展，将单元沿长度方向等分，在单元等分点处截面进行塑性校核。

当截面形成塑性铰时，自动把原有单元以塑性铰形成处为边界划分成两个单元，从而原来位于单元内部的塑性铰被转化为两个子单元端部的塑性铰。

将两个子单元的刚度矩阵缩聚即可得到原有单元的刚度矩阵。

精化塑性铰法（图1.8）采用CRC切线模量概念来考虑梁柱残余应力分布的影响；引入弯曲刚度折减系数来考虑单元两端截面的渐变塑性。

单元两端内力和位移增量满足关系式
- 9 -
- 10 - ()()22A 1B A B 21A A 2t 2B A B 2B 1A B 1101000S S S S M E I S M S S L S P e A I ηηηηθηηηηθ⎡⎤⎡⎤−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥=−−⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎩⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（1.7） 式中：A M 、B M 、P 和A θ 、B
θ 、e 分别为单元两端内力增量和位移增量；1S 、2S 为稳定函数；A η、B η为单元两端的弯曲刚度折减系数，按下式计算
()41ηαα=− （1.8）
()y p y 890.2P P M M P P α=+≥"" （1.9a ）
()y p y 20.2P P M M P P α=+<"" （1.9b ）
式中：P 、M 为柱二阶轴力和二阶弯矩；y P 为屈服压力；p M 为全塑性弯矩。

当0.5α=时，1η=，截面处于弹性；当
α=y )+M /M p P /P y M /M p
图1.8 精化塑性铰的塑性模型
同时切线模量采用CRC 柱子强度公式计算
t y 0.39E E P P =<"" （1.10a ）
t y y y
2.724ln 0.39P P E P P P P =−≥ （1.10b ） 名义荷载塑性铰法与欧洲规范Eurocode 3（1993）的放大几何缺陷的概念相似，人为地在
结构或构件中施加等效的名义荷载来考虑残余应力、初始几何缺陷和分布塑性等非线性因素的不利影响。

对有侧移框架，在柱顶处施加0.005P（P为竖向荷载）的名义横向荷载；对无侧移的支撑框架和构件，在杆件中间施加0.01P的名义横向荷载。

这种方法计算简单，但对于受轴力和共同作用的倾斜柱极限承载力与精确值相比低20%以上，对单个梁柱构件则产生大于精确值10%的误差（Attalla，1994）。

改进塑性铰法既保留了弹塑性铰法的计算效率，同时具有较高的计算精度；在结构性能真实描述与便于应用之间寻找到了平衡点，因此成为了高等分析法的研究热点。

1.2.2.3 塑性区法
塑性区法（Toma，1992；Lip，1999；Avery，2000）的基本思想是将构件沿长度方向离散，截面划分成纤维单元。

构件节点处变形通过数值积分法得到，在每一荷载步更新坐标使得增量荷载变形响应能充分描述二阶效应。

由于截面网格较密，纤维元内残余应力可认为是常数，并可直接跟踪单元应力状态，从而反映构件塑性渐变过程。

塑性区模型包括两种：一是基于塑性变形理论的三维壳单元，当单元屈服时，在增量应力－应变关系中用弹塑性本构关系取代弹性矩阵，可以考虑正应力和剪应力作用，整体和局部几何缺陷以及板间局部失稳等。

另一种是基于梁柱理论，任一单元形心处正应力达到材料单轴应力强度作为单元屈服条件。

塑性区法能够考虑二阶效应、初始几何缺陷、残余应力、分布塑性等因素的影响。

由于荷载－变形的非线性关系，荷载增量引起的弹塑性刚度的不断变化，使得平衡方程需要反复迭代求解，计算量很大。

尽管作为“精确解”，还是不便工程应用，仅限用于以下几个方面（Kim，1996）：（1）对结构性能的详细研究；（2）对简化方法精度的检验；（3）对实验结果的验证；（4）导出设计方法或制定实用图表；（5）用于特殊的设计问题。

塑性区法通常可以模拟甚至代替试验，作为评价经验公式或实用高等分析法精度的依据。

许多大型非线性分析软件采用了塑性区法，它们包括ABAQUS、ANSYS和MARC等通用商业软件。

1.2.3 假想荷载法
为避免计算长度系数法和高等分析法的繁琐计算过程，假想荷载法以计算简便、精度较高的优点受到重视，研究成果已经反映到了各国的设计规范。

中国钢结构规范GB50017-2003、澳大利亚标准AS4100（1990）、加拿大标准CSA-S16（1994）、欧洲规范Eurocode 3（2003）和美国规范AISC LRFD（2005）都规定了相应的设计条款。

假想荷载法的主要特点是：通过施加与竖向荷载成一定比例的假想水平荷载，来综合考虑结构初始缺陷（初倾斜、初弯曲、残余应力
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等）和分布塑性的影响；结构内力采用二阶弹性分析方法计算；框架柱计算长度系数均取1.0，构件极限承载力按梁柱相关方程进行验算。

二阶弹性分析内力亦可近似地采用放大系数乘以一阶弹性分析内力得到。

假想荷载法仍属于两阶段设计法，即采用弹性内力分析和构件极限承载力设计；不能给出结构的精确内力、实际变形和破坏模式。

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